2022-2023学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高二下学期期中数学（文）试题含答案

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2022-2023学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题
1．已知为虚数单位，且，则复数的虚部为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出z，直接写出的虚部.
【详解】解：由，
得，
∴复数的为.
故选：B.
【点睛】复数的计算常见题型：
(1) 复数的四则运算直接利用四则运算法则；
(2) 求共轭复数是实部不变，虚部相反；
(3) 复数的模的计算直接根据模的定义即可.
2．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
3．下列说法正确的是（    ）
A．投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”
B．若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据稳定
C．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式
D．一组数据1､2､5､5､5､3､3的中位数和众数都是5
【答案】B
【分析】根据统计量，对各项分析判断即可得解.
【详解】对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误；
对于B，因为方差越小越稳定，故B正确；
对于C，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C错误；
对于D，数据1､2､5､5､5､3､3按从小到大排列后为1､2､3､3､5､5､5，
则其中位数为3，故D错误，
故选：B.
4．某学校为组建校运动会教师裁判组，将100名教师从1开始编号，依次为1，2，…，100，从这些教师中用系统抽样方法等距抽取10名教师作为裁判．若23号教师被抽到，则下面4名教师中被抽到的是（    ）
A．1号教师 B．32号教师
C．56号教师 D．73号教师
【答案】D
【分析】根据给定条件，系统抽样的定义求出被抽到的编号作答.
【详解】依题意，将100名教师编号后，从1号开始每10个号码一组，分成10组，显然第23号在第3组，
因此其它各组抽到的编号依次为，A，B，C不正确；D正确.
故选：D
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可
【详解】由可知，该函数为偶函数，不对；可考虑的情况，
，因为，又
.函数在上为增函数，
故选：A.
6．已知集合,在平面直角坐标系中，点集，在Ｋ中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆的内部的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】列举法表示出集合K，判断集合K中在圆内部的点，从而利用古典概型计算公式求解即可.
【详解】，点在圆内部
在Ｋ中随机取出两个不同的元素共有6种可能，
两个元素中恰有一个元素在圆的内部共有3种可能，
所以这两个元素中恰有一个元素在圆的内部的概率为.
故选：B
【点睛】本题考查古典概型，涉及点与圆的位置关系判断，属于基础题.
7．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（    ）
A．与是互斥事件 B．与是互斥事件
C．与是对立事件 D．，，两两互斥
【答案】B
【解析】根据互斥事件、对立事件的概念，对三个事件进行分析，由此确定正确选项.
【详解】由于事件包含于事件，与是既不是对立也不是互斥事件，与是互斥事件，与是互斥事件.所以A,C,D三个选项错误.
故选：B
【点睛】本小题主要考查对立事件和互斥事件的辨析，属于基础题.
8．相传黄帝在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度上减去三分之一，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度上增加三分之一，即变为原来的三分之四.下图的程序框图算法思路源于“三分损益”，执行该程序框图，若输入，则输出的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的x的值．
【详解】解：由题意，执行循环结构的程序框图，可得：，，
满足条件，，，不满足判断条件；
满足条件，，，不满足判断条件；
满足条件，，，满足判断条件，退出循环，输出的值为.
故选：C.
【点睛】框图类问题的解题策略：
(1) 模拟程序框图的运行过程；
(2)循环结构的题目要注意循环终止的条件．
9．已知函数，，如果成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得函数是奇函数，由导数可判断该函数在上是增函数，将不等式化为，即可由单调性求解.
【详解】，，
在上恒成立，
在上是增函数．
又是奇函数，不等式可化为，
从而可知，需满足，解得．
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是利用导数判断出函数的单调性，并得出函数是奇函数.
10．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出函数的导数，再根据在上不单调可得在上有零点，且在该零点的两侧附近函数值异号，就和分类讨论后可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】，
若在上不单调，令，
对称轴方程为，则函数与
轴在上有交点．当时，显然不成立；
当时，有解得或．
四个选项中的范围，只有为的真子集，
∴在上不单调的一个充分不必要条件是.
故选：C．
11．已知在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件得出在上恒成立，利用参变量分离法得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】由可得，
由条件只需，即在上恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当，即时，取等号，
故的最小值为4，故只需.
故选：B.
【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；
（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；
（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；
（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；
（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.
12．已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，由已知得在上的奇函数且单调递减，即可将不等式变形为，利用函数的单调性求解即可.
【详解】设，则
又上，，则，即函数在上单调递减，
又是定义在上的奇函数，则函数为上的奇函数，故在上单调递减，
又
，即
可得：，解得：
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是根据题目条件构造与之对应的函数，再利用函数求导，结合函数的单调性来转化解决问题，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于一般题.

二、填空题
13．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的概率为 ．
【答案】
【分析】先求面积，再根据几何概型概率公式求解.
【详解】.
故答案为：
14．已知函数，则在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】先求导，再求出和，结合点斜式即可求解
【详解】，所以.又，所以在点处的切线方程为.
故答案为：
15．从，2，5，9中任取两个不同的数，分别记为，，则“”的概率为 .
【答案】
【解析】利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】从四个数中任取两个不同的数，，共有12种方法，
其中使的方法为：
时，取，，
时，取，，
时，取，，
共种，
则概率.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.
16．已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 .
【答案】
【分析】分别求两条曲线的切线方程，比较系数得a的值.
【详解】函数的图象在处的切线的切点为，
因为，所以切线斜率为，切线方程为，即，
设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为，
切线方程为，即，
由题，解得，，斜率为.
故答案为：.

三、解答题
17．函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为y＝3x+1
（1）若y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，求函数y＝f（x）在[﹣3，1]上的最大值；
（2）若函数y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b的取值范围．
【答案】(1) f（x）在[﹣3，1]上最大值为13 (2) [0，+∞）．
【分析】（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x＝﹣2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式，求函数的导数f′（x），通过f′（x）＞0，及f′（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．
（2）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f′（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，分离出参数b，构造新函数m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．
【详解】解：（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c，求导数得f′（x）＝3x2+2ax+b，
过y＝f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1）
即y﹣（a+b+c+1）＝（3+2a+b）（x﹣1）
故，即，∵有y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，
故f′（﹣2）＝0，
∴﹣4a+b＝﹣12，则，解得a＝2，b＝﹣4，c＝5，
f（x）＝x3+2x2﹣4x+5．
f′（x）＝3x2+2ax+b＝3x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x+2）
x
﹣3
（﹣3，﹣2）
﹣2
（﹣2，）

（，1）
1
f′（x）

+
0
﹣
0
+

f（x）
8
增函数
极大值13
减函数
极小值
增函数
4
f（x）极大＝f（﹣2）＝（﹣2）3+2（﹣2）2﹣4（﹣2）+5＝13,f（1）＝13+2×1﹣4×1+5＝4
∴f（x）在[﹣3，1]上最大值为13．
（2）方法一：y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
又f'（x）＝3x2+2ax+b，由（1）知2a+b＝0，∴f'（x）＝3x2﹣bx+b，
依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，
即g（x）＝3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立．
①在x1时，即b≥6，g（x）最小值＝g（1）＝3﹣b+b＞0，∴b≥6，
②在x2时，即b≤﹣12，g（x）最小值＝g（﹣2）＝12+2b+b≥0，则b∈∅，
③在﹣21时，即﹣12＜b＜6，g（x）最小值0，
综合上述讨论可知，b取值范围是：[0，+∞）．
解法二：（1）y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
又f'（x）＝3x2+2ax+b，由（1）知2a+b＝0，∴f'（x）＝3x2﹣bx+b，
依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）＝3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立∴b3（x﹣1）6（x≤1），
令m（x）＝3（x﹣1）3[﹣（x﹣1）+（）]≤﹣3（2）＝﹣6，（x≤1），
∴3（x﹣1）6最大值为0，∴（）max＝0，∴b≥0，
∴b取值范围是：[0，+∞）．
【点评】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．
18．为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为，抽取的学生中男生有名对讲座活动满意，女生中有名对讲座活动不满意．
(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；

满意
不满意
合计
男生



女生



合计



(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取名学生，再在这名学生中抽取名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中名男生与名女生的概率．
附：，．









【答案】(1)填表见解析；有的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”
(2)

【分析】（1）根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）分析可知，抽取的名学生中，男生人，分别记为、，女生人，分别记为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）根据题目所给数据得到如下的列联表：

满意
不满意
合计
男生



女生



合计



所以有的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”.
（2）解：由题意，抽取的名学生中，男生人，分别记为、，女生人，分别记为、、、，
则在这名学生中抽取名学生，所有的基本事件有：、、、、、
、、、、、、、、、，共种，
其中，事件“恰好抽中名男生与名女生”所包含的基本事件有：、、、
、、、、，共种，
故所求概率为.
19．已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．

（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
（3）在（2）的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤（≥73公斤）的职工，求体重76公斤的职工被抽到的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】试题分析：
(Ⅰ)利用系统采用的结论可得：抽出的10名职工的号码分别为2，7，12，17，22，27，32，37，42，47．
(Ⅱ)利用茎叶图确定10名职工的体重，然后计算样本的平均数、中位数和方差即可；
(Ⅲ)利用题意列出所有可能的情况，然后结合古典概型公式可得： .
试题解析：
（Ⅰ）由各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样，且第5组抽出的号码为22，
设+5×（5-1）=22，解得，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2，7，12，17，22，27，32，37，42，47．
（Ⅱ）样本数据的中位数为，
平均数为，
方差为．
（Ⅲ）从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81），（79，81）．
故所求概率为
点睛：(1)本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息，进行统计与概率的正确计算．
(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这都是得分的重点．
20．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，，，，，后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求分数在，内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计本次考试的平均分及中位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为，的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段，内的概率.
【答案】（1）0.3，直方图见解析；（2）121，；（3）.
【分析】（1）利用频率和为1求解；（2）利用小矩形中点乘以各组频率求和得平均数，利用左右面积平分求中位数；（3）利用古典概型结合间接法求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，得：
分数在，内的频率为：.
，补全后的直方图如图所示.

（2）由频率分布直方图得：
平均分为：
，的频率为，
，的频率为：，
中位数为：.
（3）用分层抽样的方法在分数段为，的学生中抽取一个容量为6的样本，
则分数段为，中抽取的学生数为：人，
分数段为，中抽取的学生数为：人，
将该样本看成一个总体，从中任取2个，基本事件总数，
至多有1人在分数段，内包含的基本事件为：，
至多有1人在分数段，内的概率（A）.
21．已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求出导函数后，分类讨论，得到导函数的符号，从而可得结果.
【详解】（1）当时，，
则，
所以曲线在点处的切线方程：,即
（2）的定义域为，
由题意得，
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，由得，由得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
22．某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.















表中，
（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到0.01)；
（3）若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】（1）更适合；（2）；（3）至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元.
【分析】(1)由散点图可知成反比例函数模型,故更适合;
(2) 令,根据表中的数据计算即可得y关于u的线性回归方程为,进而得y关于x的回归方程为;
(3)根据题意只需解不等式即可得答案.
【详解】（1）由散点图判断，更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量(单位：千册)的回归方程.
（2）令，先建立y关于u的线性回归方程，
由于，
所以，
所以y关于u的线性回归方程为，
所以y关于x的回归方程为
（3）假设印刷千册，依题意得，
解得，
所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元.
【点睛】本题考查非线性回归方程及其应用，考查将非线性回归问题转化为线性回归问题求解，考查运算能力，数据分析处理能力，属于中档题.其中在解题的过程中，要注重回归方程的公式的正确计算，注意所给数据的正确应用.