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2022-2023学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）
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这是一份2022-2023学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高二（下）期中数学试卷（文科）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知i为虚数单位，且(1−i)z=i3，则复数z的虚部为( )
A. −12i B. −12 C. 12 D. 12i
2. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
3. 下列说法正确的是( )
A. 投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”
B. 若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定
C. 为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式
D. 一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5
4. 某学校为组建校运动会教师裁判组，将100名教师从1开始编号，依次为1，2，…，100，从这些教师中用系统抽样方法等距抽取10名教师作为裁判.若23号教师被抽到，则下面4名教师中被抽到的是( )
A. 1号教师 B. 32号教师 C. 56号教师 D. 73号教师
5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数f(x)=x2+xsinx的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 已知集合A={−1,1}，在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x,y)|x∈A，y∈A}，在K中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆(x−2)2+(y+2)2=10的内部的概率为( )
A. 14 B. 12 C. 34 D. 13
7. 书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．设事件M表示“两本都是《红楼梦》”；事件N表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件P表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是( )
A. M与P是互斥事件 B. M与N是互斥事件
C. N与P是对立事件 D. M，N，P两两互斥
8. 相传黄帝在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度上减去三分之一，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度上增加三分之一，即变为原来的三分之四.右图的程序框图算法思路源于“三分损益”，执行该程序框图，若输入x=2，则输出x的值为( )
A. 32
B. 89
C. 1627
D. 3227
9. 已知函数f(x)=2x−sinx，x∈(−1,1)，如果f(1−a)+f(1−a2)>0成立，则实数a的取值范围为( )
A. (0,1) B. (−2,1) C. (− 2, 2) D. (0, 2)
10. 已知函数f(x)=ax2−4ax−lnx，则f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )
A. a∈(−∞,16) B. a∈(−12,+∞) C. a∈(−12,16) D. a∈(12,+∞)
11. 已知f(x)=2x2+lnx−ax在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,2] B. (−∞,4] C. [2,+∞) D. [4,+∞)
12. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，f′(x)是函数f(x)的导函数且在[0,+∞)上f′(x)<1，若f(2020−m)−f(m)≥2020−2m，则实数m的取值范围为( )
A. [−1010,1010] B. [1010,+∞)
C. (−∞,−1010] D. (−∞,−1010]∪[1010,+∞)
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|<1的概率为______．
14. 已知函数f(x)=x2lnx+x+1，则f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．
15. 从13，2，5，9中任取两个不同的数，分别记为m，n，则“logmn>0”的概率为______．
16. 已知f(x)=ax2(a>0)的图象在x=1处的切线与函数g(x)=ex的图象也相切，则该切线的斜率k= ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)上点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1．
(1)若y=f(x)在x=−2时有极值，求函数y=f(x)在[−3,1]上的最大值；
(2)若函数y=f(x)在区间[−2,1]上单调递增，求b的取值范围．
18. (本小题12.0分)
为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．
(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率．
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
100
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
19. (本小题12.0分)
已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．
(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重76公斤的职工被抽到的概率．
20. (本小题12.0分)
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计本次考试的平均分及中位数；
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，
(1)当a=1时，求y=f(x)曲线在x=1处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性．
22. (本小题10.0分)
某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了如图的散点图及一些统计量的值．
x−
y−
u−
i=18(xi−x−)2
i=18(xi−x−)⋅(yi−y−)
i=18(ui−u−)2
i=18(ui−u−)⋅(yi−y−)
15.25
3.63
0.269
2085.5
−230.3
0.787
7.049
表中ui=1xi，u−=18i=18ui
(1)根据散点图判断：y=a+bx与y=c+dx哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到0.01)；
(3)若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)
附：对于一组数据(ω1,v1)，(ω2,v2)，…，(ωn,vn)，其回归直线v =a +β ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=i=1n(ωi−ω−)(vi−v−)i=1n(ωi−ω−)2，v−=a +β ω−．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由(1−i)z=i3=−i，
得z=−i1−i=−i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i12+(−1)2=12−12i，
∴复数z的虚部为−12．
故选：B．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查古典概型计算公式，属于基础题．
首先求得3个1和2个0随机排成一行的数量和2个0不相邻的数量，然后利用古典概型计算公式，求出2个0不相邻的概率．
【解答】
解：将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种方法，
满足题意的概率为610=0.6，
故选：C．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了随机事件的概率性质、方差的性质、抽样调查、中位数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以大约有500次“正面朝上”，即可判断出正误；
对于B，根据方差的性质即可判断出正误；
对于C，由于我国中学生人数比较大，应采取抽样调查的方式，即可判断出正误；
对于D，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，根据中位数的定义即可判断出正误．
【解答】
解：对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误；
对于B，因为方差越小越稳定，故B正确；
对于C，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C错误；
对于D，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，则其中位数为3，故D错误．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：依题意，将100名教师编号后，从1号开始每10个号码一组，分成10组，显然第23号在第3组，
因此其它各组抽到的编号依次为3，13，33，43，53，63，73，83，93，A，B，C不正确；D正确．
故选：D．
根据给定条件，系统抽样的定义求出被抽到的编号作答．
本题主要考查系统抽样方法，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)=x2+xsinx，其定义域为R，
有f(−x)=(−x)2+(−x)sin(−x)=x2+xsinx=f(x)，
则函数f(x)为偶函数，排除A，
f′(x)=2x+sinx+xcosx=x+sinx+x(1+cosx)，
在区间(0,+∞)上，x+sinx≥0，1+cosx≥0，
则f′(x)≥0，即函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，排除CD．
故选：B．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除A，再利用导数分析f(x)的单调性，排除CD，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，注意分析函数的奇偶性以及单调性，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可得K={(−1,−1)，(−1,1)，(1,1)，(1,−1)}，其中在圆(x−2)2+(y+2)2=10内的点有(1,−1)，
记A(−1,−1)，B(−1,1)，C(1,1)，D(1,−1)，从ABCD4个点中取出2个的所有取法有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种情况，
其中两个元素中恰有一个元素在圆(x−2)2+(y+2)2=10的内部的有AD，BD，CD共3种情况
概率p=36=12．
故选：B．
分别求出从K中取出两个不同元素的个数及恰好一个点在圆内的事件个数，然后结合古典概率的求解公式可求．
本题主要考查了古典概率的求解，解题的关键是找准基本事件的个数．
7.【答案】B
【解析】解：∵书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．
设事件M表示“两本都是《红楼梦》”；事件N表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；
事件P表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”．
∴在A中，M与P是既不是对立也不是互斥事件，故A错误；
在B中，M与N是互斥事件，故B正确；
在C中，N与P是互斥事件，故C错误．
在D中，M与P是既不是对立也不是互斥事件，故D错误．
故选：B．
M与P是既不是对立也不是互斥事件，M与N是互斥事件，N与P是互斥事件．
本题考查互斥事件的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，执行循环结构的程序框图，可得：
x=2，i=1，
满足条件x≥1，x=43，i=2，不满足判断条件i≥4；
满足条件x≥1，x=89，i=3，不满足判断条件i≥4；
满足条件x≥1，x=1627，i=4，满足判断条件i≥4，退出循环，输出x的值为1627．
故选：C．
执行循环结构的程序框图，根据判断条件，逐次循环计算，即可得到结果．
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出结果问题，其中解答中模拟执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=2x−sinx，x∈(−1,1)，
∴f′(x)=2−cosx>0在x∈(−1,1)上恒成立，
∴f(x)在(−1,1)上是增函数，
又f(x)是奇函数，
∴不等式f(a−a)+f(1−a2)>0可f(1−a)>f(a2−1)，
从而可知a需满足−1<1−a<1−1a2−1，解得0
由题可得函数是奇函数，由导数可判断该函数在(−1,1)上是增函数，不等式化为f(1−a)>f(a2−1)，即可由单调性求解．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】解：f′(x)=2ax−4a−1x=2ax2−4ax−1x，
若f(x)在(1,3)上不单调，
令g(x)=2ax2−4ax−1，
则函数g(x)=2ax2−4ax−l与x轴在(1,3)有交点，
a=0时，显然不成立，
a≠0时，只需△=16a2+8a≥0g(1)g(3)<0，
解得：a<−12或a>16，
因为题目要求充分不必要，因此只有D选项符合要求，
故选：D．
求出函数的导数，问题转化为函数f(x)=ax2−4ax−lnx与x轴在(1,3)有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．
11.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=2x2+lnx−ax，
所以f′(x)=4x+1x−a，
因为f(x)=2x2+lnx−ax在(0,+∞)上单调递增，
所以f′(x)=4x+1x−a≥0在(0,+∞)上恒成立，
即a≤4x+1x在(0,+∞)上恒成立，
由基本不等式可得4x+1x≥2 4x⋅1x=4，当且仅当4x=1x，即x=12时，取等号，
所以4x+1x的最小值为4，
所以a≤4，
故选：B．
求导得f′(x)=4x+1x−a，则f′(x)=4x+1x−a≥0在(0,+∞)上恒成立，即a≤4x+1x在(0,+∞)上恒成立，只需a≤(4x+1x)min，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】解：令g(x)=f(x)−x，
因为f(x)为奇函数，所以g(x)也为奇函数，
因为当x∈[0,+∞)时，f′(x)<1，
所以g′(x)=f′(x)−1<0，
所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，根据奇函数对称性可知g(x)在R上单调递减，
由f(2020−m)−f(m)≥2020−2m得f(2020−m)−(2020−m)≥f(m)−m，
即g(2020−m)≥g(m)，
所以2020−m≤m，
解得m≥1010．
故选：B．
构造函数g(x)=f(x)−x，结合已知先判断g(x)的奇偶性，然后结合导数与单调性关系判断g(x)的单调性，再由单调性及奇偶性可求解不等式．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用单调性解不等式，体现了转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】π4
【解析】
【分析】
本题着重考查了正方形与扇形的面积公式、几何概型计算公式等知识点，属于基础题．
根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，以及动点P到定点A的距离|PA|<1对应的平面区域面积，代入几何概型计算公式加以计算，可得所求概率．
【解答】
解：作出满足条件的正方形ABCD，如图所示．
其中使得动点P到定点A的距离|PA|<1的平面区域，是以A为圆心半径等于1的扇形ABD内部，如图中阴影所示．
∵正方形的面积S=1，扇形ABD的面积S′=14π⋅AB2=π4．
∴动点P到定点A的距离|PA|<1的概率P=S′S=π4．
故答案为：π4
14.【答案】y=2x
【解析】解：由f(x)=x2lnx+x+1，得f′(x)=2xlnx+x+1，
∴f′(1)=1+1=2，又f(1)=2，
∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−2=2(x−1)，即y=2x．
故答案为：y=2x．
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
15.【答案】12
【解析】解：从四个数中任取两个不同的数m，n，共有A42=12种方法．
其中使logmn>0的方法有3×2=6种，
则“logmn>0”的概率为P=612=12．
故答案为：12．
从四个数中任取两个不同的数m，n，共有A42=12种方法．其中使logmn>0的方法有6种，由此能求出“logmn>0”的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】e32
【解析】解：对函数f(x)=ax2(a>0)，求导可得f′(x)=2ax2，
则在x=1处的切线的斜率为k=2a，
又f(1)=a，
所以切线方程为y−a=2a(x−1)，即y=2ax−a，
对函数g(x)=ex，求导可得g′(x)=ex，设切点为(m,n)，
则2am−a=nem=n2a=em，解得n=e32a=e322m=32，
所以k=2a=e32．
故答案为：e32．
对函数f(x)求导，可得f(x)在x=1处的切线方程为y=2ax−a，再对函数g(x)求导，设切点为(m,n)，可建立关于m，n，a的方程组，解出后即可得到答案．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c，求导数得f′(x)=3x2+2ax+b，
过y=f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：y−f(1)=f′(1)(x−1)，即y−(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x−1)，
故3+2a+b=3a+b+c−2=1，即2a+b=0a+b+c=3，
∵y=f(x)在x=−2时有极值，故f′(−2)=0，
∴−4a+b=−12，则2a+b=0a+b+c=3−4a+b=−12，解得a=2，b=−4，c=5，
∴f(x)=x3+2x2−4x+5．
f′(x)=3x2+2ax+b=3x2+4x−4=(3x−2)(x+2)
x
−3
(−3,−2)
−2
(−2,23)
23
(23,1)
1
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
8
增函数
极大值13
减函数
极小值
增函数
4
f(x)极大=f(−2)=(−2)3+2(−2)2−4(−2)+5=13，f(1)=13+2×1−4×1+5=4
∴f(x)在[−3,1]上的最大值为13．
(2)方法一：y=f(x)在区间[−2,1]上单调递增，
又f′(x)=3x2+2ax+b，由(1)知2a+b=0，∴f′(x)=3x2−bx+b，
依题意f′(x)在[−2,1]上恒有f′(x)≥0，即g(x)=3x2−bx+b≥0在[−2,1]上恒成立．
①在x=b6≥1时，即b≥6，g(x)最小值=g(1)=3−b+b>0，∴b≥6，
②在x=b6≤−2时，即b≤−12，g(x)最小值=g(−2)=12+2b+b≥0，则b∈⌀，
③在−2
方法二：(1)y=f(x)在区间[−2,1]上单调递增，
又f′(x)=3x2+2ax+b，由(1)知2a+b=0，∴f′(x)=3x2−bx+b，
依题意f′(x)在[−2,1]上恒有f′(x)≥0，即g(x)=3x2−bx+b≥0在[−2,1]上恒成立，
∴b≥3x2x−1=3(x−1)+3x−1+6(x≤1)，
令m(x)=3(x−1)+3x−1=−3[−(x−1)+(−1x−1)]≤−3(2 −(x−1)×(−1x−1))=−6(x≤1)，
∴3(x−1)+3x−1+6的最大值为0，∴(3x2x−1)max=0，∴b≥0，
∴b取值范围是：[0,+∞)．
【解析】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．
(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f(x)在x=−2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f (x)的表达式，求函数的导数f′(x)，通过f′(x)>0，及f′(x)<0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．
(2)方法一：求出导函数，令导函数大于等于0在区间[−2,1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f′(x)的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
方法二：求出导函数，令导函数大于等于0在区间[−2,1]上恒成立，分离出参数b，构造新函数m(x)，利用基本不等式求出m(x)的最大值，即可求解．
18.【答案】解：根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
满意
不满意
合计
男生
20
20
40
女生
40
20
60
合计
60
40
100
K2=100×(20×20−40×20)260×40×40×60≈2.778>2.706，
所以有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
(2)由题意，抽取的6名学生中，男生2人，女生4人，
则在这6名学生中抽取2名学生恰好抽中1名男生与1名女生的概率为C21C41C62=815．
【解析】(1)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论；
(2)根据古典概型概率公式计算即可．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，
样本间隔为：5010=5，
∵第5组抽出的号码为22，
∴每组中的第2个号码被抽出，
∴所有被抽出职工的号码为：02，07，12，17，22，27，32，37，42，47．
(2)该样本的平均数为：
x−=110(59+62+65+67+70+73+76+78+79+81)=71．
∴该样本的方差为：
S2=110[(59−71)2+(62−71)2+(65−71)2+(67−71)2+(70−71)2+(73−71)2+(76−71)2+(78−71)2+(79−71)2+(81−71)2]=52．
(3)这10名职工中体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工有5人，
从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，基本事件总数n=C52=10，
体重76公斤的职工被抽到包含的基本事件个数m=C11C41=4，
∴体重76公斤的职工被抽到的概率p=410=25．
【解析】(1)先求出样本间隔为5，由第5组抽出的号码为22，得到每组中的第2个号码被抽出，由此能求出所有被抽出职工的号码．
(2)先求出该样本的平均数，由此能示出该样本的方差．
(3)这10名职工中体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工有5人，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，基本事件总数n=C52=10，体重76公斤的职工被抽到包含的基本事件个数m=C11C41=4，由此有求出体重76公斤的职工被抽到的概率．
本题考查样本号码的求法，考查样本方差的求法，考查概率的求法，考查茎叶图、样本号码、样本方差、概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
20.【答案】解：(1)由频率分布直方图，得：
分数在[120,130)内的频率为：1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=0.3．
频率组距=0.310=0.03，补全后的直方图如右图所示．
(2)由频率分布直方图得：
平均分为：95×0.010×10+105×0.015×10+115×0.015×10+125×0.030×10+135×0.025×10+×0.005×10=121．
∵[90,120)的频率为(0.010+0.015+0.015)×10=0.4，
[120,130)的频率为：0.030×10=0.3，
∴中位数为：120+0.5−0.40.3×10=3703．
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，
则分数段为[110,120)中抽取的学生数为：0.0150.015+0.030×6=2人，
分数段为[120,130)中抽取的学生数为：0.0300.015+0.030×6=4人，
将该样本看成一个总体，从中任取2个，基本事件总数n=C62=15，
至多有1人在分数段[120,130)内包含的基本事件为：m=C62−C42=9，
∴至多有1人在分数段[120,130)内的概率P(A)=mn=915=35．
【解析】(1)由频率分布直方图，能求出分数在[120,130)内的频率，并能补全这个频率分布直方图．
(2)由频率分布直方图能估计本次考试的平均分及中位数．
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为[110,120)中抽取的学生数为2人，分数段为[120,130)中抽取的学生数为4人，从中任取2个，基本事件总数n=C62=15，至多有1人在分数段[120,130)内包含的基本事件为：m=C62−C42=9，由此能求出至多有1人在分数段[120,130)内的概率．
本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
21.【答案】解：(1)a=1时，f(x)=lnx+x2+3x，
则f′(x)=1x+2x+3，
故f(1)=4，f′(1)=6，
故切线方程是：y−4=6(x−1)，即y=6x−2；
(2)因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，
则f′(x)=1x+2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x(x>0)，
①当a=0时，f′(x)=1x+1>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当a>0，由于x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，
此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；
③当a<0时，令f′(x)=0，解得x=−12a，
因为当x∈(0,−12a)，f′(x)>0，y=f(x)在(0,−12a)上单调递增，
当x∈(−12a,+∞)，f′(x)<0，y=f(x)在(−12a,+∞)上单调递减．
综上可知：当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，f(x)在(0,−12a)上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减．
【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间(含参)，求曲线上一点的切线方程，属于中档题．
(1)代入a的值，求出函数的导数，求出f(1)，f′(1)，由点斜式即可求出切线方程；
(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，利用导数即可求出函数的单调区间．
22.【答案】解：(1)由散点图判断，y=c+dx更适合．
(2)令u=1x，先建立y关于u的线性回归方程，
由于d =7.0490.787≈8.957≈8.96，
所以c =y−−d ⋅u−=3.63−8.957×0.269≈1.22，
所以y关于u的线性回归方程为y =1.22+8.96u，
所以y关于x的回归方程为y =1.22+8.96x．
(3)假设印刷x千册，依题意得9.22x−(1.22+8.96x)x≥80，
解得x≥11.12，
所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元．
【解析】本题考查回归直线方程的求解与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
(1)由散点图判断y=c+dx更适合作为回归方程．
(2)令u=1x，先建立y关于u的线性回归方程，求出回归直线的斜率，与截距，然后得到回归直线方程．
(3)假设印刷x千册，依题意得9.22x−(1.22+8.96x)x≥80，求解即可．
2022-2023学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高二（下）期中数学试卷（文科）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知i为虚数单位，且(1−i)z=i3，则复数z的虚部为( )
A. −12i B. −12 C. 12 D. 12i
2. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
3. 下列说法正确的是( )
A. 投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”
B. 若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定
C. 为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式
D. 一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5
4. 某学校为组建校运动会教师裁判组，将100名教师从1开始编号，依次为1，2，…，100，从这些教师中用系统抽样方法等距抽取10名教师作为裁判.若23号教师被抽到，则下面4名教师中被抽到的是( )
A. 1号教师 B. 32号教师 C. 56号教师 D. 73号教师
5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数f(x)=x2+xsinx的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 已知集合A={−1,1}，在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x,y)|x∈A，y∈A}，在K中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆(x−2)2+(y+2)2=10的内部的概率为( )
A. 14 B. 12 C. 34 D. 13
7. 书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．设事件M表示“两本都是《红楼梦》”；事件N表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件P表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是( )
A. M与P是互斥事件 B. M与N是互斥事件
C. N与P是对立事件 D. M，N，P两两互斥
8. 相传黄帝在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度上减去三分之一，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度上增加三分之一，即变为原来的三分之四.右图的程序框图算法思路源于“三分损益”，执行该程序框图，若输入x=2，则输出x的值为( )
A. 32
B. 89
C. 1627
D. 3227
9. 已知函数f(x)=2x−sinx，x∈(−1,1)，如果f(1−a)+f(1−a2)>0成立，则实数a的取值范围为( )
A. (0,1) B. (−2,1) C. (− 2, 2) D. (0, 2)
10. 已知函数f(x)=ax2−4ax−lnx，则f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是( )
A. a∈(−∞,16) B. a∈(−12,+∞) C. a∈(−12,16) D. a∈(12,+∞)
11. 已知f(x)=2x2+lnx−ax在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,2] B. (−∞,4] C. [2,+∞) D. [4,+∞)
12. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，f′(x)是函数f(x)的导函数且在[0,+∞)上f′(x)<1，若f(2020−m)−f(m)≥2020−2m，则实数m的取值范围为( )
A. [−1010,1010] B. [1010,+∞)
C. (−∞,−1010] D. (−∞,−1010]∪[1010,+∞)
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|PA|<1的概率为______．
14. 已知函数f(x)=x2lnx+x+1，则f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．
15. 从13，2，5，9中任取两个不同的数，分别记为m，n，则“logmn>0”的概率为______．
16. 已知f(x)=ax2(a>0)的图象在x=1处的切线与函数g(x)=ex的图象也相切，则该切线的斜率k= ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)上点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1．
(1)若y=f(x)在x=−2时有极值，求函数y=f(x)在[−3,1]上的最大值；
(2)若函数y=f(x)在区间[−2,1]上单调递增，求b的取值范围．
18. (本小题12.0分)
为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．
(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率．
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
100
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
19. (本小题12.0分)
已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．
(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重76公斤的职工被抽到的概率．
20. (本小题12.0分)
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计本次考试的平均分及中位数；
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，
(1)当a=1时，求y=f(x)曲线在x=1处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性．
22. (本小题10.0分)
某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了如图的散点图及一些统计量的值．
x−
y−
u−
i=18(xi−x−)2
i=18(xi−x−)⋅(yi−y−)
i=18(ui−u−)2
i=18(ui−u−)⋅(yi−y−)
15.25
3.63
0.269
2085.5
−230.3
0.787
7.049
表中ui=1xi，u−=18i=18ui
(1)根据散点图判断：y=a+bx与y=c+dx哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到0.01)；
(3)若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)
附：对于一组数据(ω1,v1)，(ω2,v2)，…，(ωn,vn)，其回归直线v =a +β ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=i=1n(ωi−ω−)(vi−v−)i=1n(ωi−ω−)2，v−=a +β ω−．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由(1−i)z=i3=−i，
得z=−i1−i=−i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i12+(−1)2=12−12i，
∴复数z的虚部为−12．
故选：B．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查古典概型计算公式，属于基础题．
首先求得3个1和2个0随机排成一行的数量和2个0不相邻的数量，然后利用古典概型计算公式，求出2个0不相邻的概率．
【解答】
解：将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种方法，
满足题意的概率为610=0.6，
故选：C．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了随机事件的概率性质、方差的性质、抽样调查、中位数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以大约有500次“正面朝上”，即可判断出正误；
对于B，根据方差的性质即可判断出正误；
对于C，由于我国中学生人数比较大，应采取抽样调查的方式，即可判断出正误；
对于D，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，根据中位数的定义即可判断出正误．
【解答】
解：对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误；
对于B，因为方差越小越稳定，故B正确；
对于C，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C错误；
对于D，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，则其中位数为3，故D错误．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：依题意，将100名教师编号后，从1号开始每10个号码一组，分成10组，显然第23号在第3组，
因此其它各组抽到的编号依次为3，13，33，43，53，63，73，83，93，A，B，C不正确；D正确．
故选：D．
根据给定条件，系统抽样的定义求出被抽到的编号作答．
本题主要考查系统抽样方法，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)=x2+xsinx，其定义域为R，
有f(−x)=(−x)2+(−x)sin(−x)=x2+xsinx=f(x)，
则函数f(x)为偶函数，排除A，
f′(x)=2x+sinx+xcosx=x+sinx+x(1+cosx)，
在区间(0,+∞)上，x+sinx≥0，1+cosx≥0，
则f′(x)≥0，即函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，排除CD．
故选：B．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除A，再利用导数分析f(x)的单调性，排除CD，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，注意分析函数的奇偶性以及单调性，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可得K={(−1,−1)，(−1,1)，(1,1)，(1,−1)}，其中在圆(x−2)2+(y+2)2=10内的点有(1,−1)，
记A(−1,−1)，B(−1,1)，C(1,1)，D(1,−1)，从ABCD4个点中取出2个的所有取法有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种情况，
其中两个元素中恰有一个元素在圆(x−2)2+(y+2)2=10的内部的有AD，BD，CD共3种情况
概率p=36=12．
故选：B．
分别求出从K中取出两个不同元素的个数及恰好一个点在圆内的事件个数，然后结合古典概率的求解公式可求．
本题主要考查了古典概率的求解，解题的关键是找准基本事件的个数．
7.【答案】B
【解析】解：∵书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．
设事件M表示“两本都是《红楼梦》”；事件N表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；
事件P表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”．
∴在A中，M与P是既不是对立也不是互斥事件，故A错误；
在B中，M与N是互斥事件，故B正确；
在C中，N与P是互斥事件，故C错误．
在D中，M与P是既不是对立也不是互斥事件，故D错误．
故选：B．
M与P是既不是对立也不是互斥事件，M与N是互斥事件，N与P是互斥事件．
本题考查互斥事件的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，执行循环结构的程序框图，可得：
x=2，i=1，
满足条件x≥1，x=43，i=2，不满足判断条件i≥4；
满足条件x≥1，x=89，i=3，不满足判断条件i≥4；
满足条件x≥1，x=1627，i=4，满足判断条件i≥4，退出循环，输出x的值为1627．
故选：C．
执行循环结构的程序框图，根据判断条件，逐次循环计算，即可得到结果．
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出结果问题，其中解答中模拟执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=2x−sinx，x∈(−1,1)，
∴f′(x)=2−cosx>0在x∈(−1,1)上恒成立，
∴f(x)在(−1,1)上是增函数，
又f(x)是奇函数，
∴不等式f(a−a)+f(1−a2)>0可f(1−a)>f(a2−1)，
从而可知a需满足−1<1−a<1−1
由题可得函数是奇函数，由导数可判断该函数在(−1,1)上是增函数，不等式化为f(1−a)>f(a2−1)，即可由单调性求解．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】解：f′(x)=2ax−4a−1x=2ax2−4ax−1x，
若f(x)在(1,3)上不单调，
令g(x)=2ax2−4ax−1，
则函数g(x)=2ax2−4ax−l与x轴在(1,3)有交点，
a=0时，显然不成立，
a≠0时，只需△=16a2+8a≥0g(1)g(3)<0，
解得：a<−12或a>16，
因为题目要求充分不必要，因此只有D选项符合要求，
故选：D．
求出函数的导数，问题转化为函数f(x)=ax2−4ax−lnx与x轴在(1,3)有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．
11.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=2x2+lnx−ax，
所以f′(x)=4x+1x−a，
因为f(x)=2x2+lnx−ax在(0,+∞)上单调递增，
所以f′(x)=4x+1x−a≥0在(0,+∞)上恒成立，
即a≤4x+1x在(0,+∞)上恒成立，
由基本不等式可得4x+1x≥2 4x⋅1x=4，当且仅当4x=1x，即x=12时，取等号，
所以4x+1x的最小值为4，
所以a≤4，
故选：B．
求导得f′(x)=4x+1x−a，则f′(x)=4x+1x−a≥0在(0,+∞)上恒成立，即a≤4x+1x在(0,+∞)上恒成立，只需a≤(4x+1x)min，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】解：令g(x)=f(x)−x，
因为f(x)为奇函数，所以g(x)也为奇函数，
因为当x∈[0,+∞)时，f′(x)<1，
所以g′(x)=f′(x)−1<0，
所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，根据奇函数对称性可知g(x)在R上单调递减，
由f(2020−m)−f(m)≥2020−2m得f(2020−m)−(2020−m)≥f(m)−m，
即g(2020−m)≥g(m)，
所以2020−m≤m，
解得m≥1010．
故选：B．
构造函数g(x)=f(x)−x，结合已知先判断g(x)的奇偶性，然后结合导数与单调性关系判断g(x)的单调性，再由单调性及奇偶性可求解不等式．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用单调性解不等式，体现了转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】π4
【解析】
【分析】
本题着重考查了正方形与扇形的面积公式、几何概型计算公式等知识点，属于基础题．
根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，以及动点P到定点A的距离|PA|<1对应的平面区域面积，代入几何概型计算公式加以计算，可得所求概率．
【解答】
解：作出满足条件的正方形ABCD，如图所示．
其中使得动点P到定点A的距离|PA|<1的平面区域，是以A为圆心半径等于1的扇形ABD内部，如图中阴影所示．
∵正方形的面积S=1，扇形ABD的面积S′=14π⋅AB2=π4．
∴动点P到定点A的距离|PA|<1的概率P=S′S=π4．
故答案为：π4
14.【答案】y=2x
【解析】解：由f(x)=x2lnx+x+1，得f′(x)=2xlnx+x+1，
∴f′(1)=1+1=2，又f(1)=2，
∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−2=2(x−1)，即y=2x．
故答案为：y=2x．
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
15.【答案】12
【解析】解：从四个数中任取两个不同的数m，n，共有A42=12种方法．
其中使logmn>0的方法有3×2=6种，
则“logmn>0”的概率为P=612=12．
故答案为：12．
从四个数中任取两个不同的数m，n，共有A42=12种方法．其中使logmn>0的方法有6种，由此能求出“logmn>0”的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】e32
【解析】解：对函数f(x)=ax2(a>0)，求导可得f′(x)=2ax2，
则在x=1处的切线的斜率为k=2a，
又f(1)=a，
所以切线方程为y−a=2a(x−1)，即y=2ax−a，
对函数g(x)=ex，求导可得g′(x)=ex，设切点为(m,n)，
则2am−a=nem=n2a=em，解得n=e32a=e322m=32，
所以k=2a=e32．
故答案为：e32．
对函数f(x)求导，可得f(x)在x=1处的切线方程为y=2ax−a，再对函数g(x)求导，设切点为(m,n)，可建立关于m，n，a的方程组，解出后即可得到答案．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c，求导数得f′(x)=3x2+2ax+b，
过y=f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：y−f(1)=f′(1)(x−1)，即y−(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x−1)，
故3+2a+b=3a+b+c−2=1，即2a+b=0a+b+c=3，
∵y=f(x)在x=−2时有极值，故f′(−2)=0，
∴−4a+b=−12，则2a+b=0a+b+c=3−4a+b=−12，解得a=2，b=−4，c=5，
∴f(x)=x3+2x2−4x+5．
f′(x)=3x2+2ax+b=3x2+4x−4=(3x−2)(x+2)
x
−3
(−3,−2)
−2
(−2,23)
23
(23,1)
1
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
8
增函数
极大值13
减函数
极小值
增函数
4
f(x)极大=f(−2)=(−2)3+2(−2)2−4(−2)+5=13，f(1)=13+2×1−4×1+5=4
∴f(x)在[−3,1]上的最大值为13．
(2)方法一：y=f(x)在区间[−2,1]上单调递增，
又f′(x)=3x2+2ax+b，由(1)知2a+b=0，∴f′(x)=3x2−bx+b，
依题意f′(x)在[−2,1]上恒有f′(x)≥0，即g(x)=3x2−bx+b≥0在[−2,1]上恒成立．
①在x=b6≥1时，即b≥6，g(x)最小值=g(1)=3−b+b>0，∴b≥6，
②在x=b6≤−2时，即b≤−12，g(x)最小值=g(−2)=12+2b+b≥0，则b∈⌀，
③在−2
方法二：(1)y=f(x)在区间[−2,1]上单调递增，
又f′(x)=3x2+2ax+b，由(1)知2a+b=0，∴f′(x)=3x2−bx+b，
依题意f′(x)在[−2,1]上恒有f′(x)≥0，即g(x)=3x2−bx+b≥0在[−2,1]上恒成立，
∴b≥3x2x−1=3(x−1)+3x−1+6(x≤1)，
令m(x)=3(x−1)+3x−1=−3[−(x−1)+(−1x−1)]≤−3(2 −(x−1)×(−1x−1))=−6(x≤1)，
∴3(x−1)+3x−1+6的最大值为0，∴(3x2x−1)max=0，∴b≥0，
∴b取值范围是：[0,+∞)．
【解析】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．
(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f(x)在x=−2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f (x)的表达式，求函数的导数f′(x)，通过f′(x)>0，及f′(x)<0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．
(2)方法一：求出导函数，令导函数大于等于0在区间[−2,1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f′(x)的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
方法二：求出导函数，令导函数大于等于0在区间[−2,1]上恒成立，分离出参数b，构造新函数m(x)，利用基本不等式求出m(x)的最大值，即可求解．
18.【答案】解：根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
满意
不满意
合计
男生
20
20
40
女生
40
20
60
合计
60
40
100
K2=100×(20×20−40×20)260×40×40×60≈2.778>2.706，
所以有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；
(2)由题意，抽取的6名学生中，男生2人，女生4人，
则在这6名学生中抽取2名学生恰好抽中1名男生与1名女生的概率为C21C41C62=815．
【解析】(1)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论；
(2)根据古典概型概率公式计算即可．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，
样本间隔为：5010=5，
∵第5组抽出的号码为22，
∴每组中的第2个号码被抽出，
∴所有被抽出职工的号码为：02，07，12，17，22，27，32，37，42，47．
(2)该样本的平均数为：
x−=110(59+62+65+67+70+73+76+78+79+81)=71．
∴该样本的方差为：
S2=110[(59−71)2+(62−71)2+(65−71)2+(67−71)2+(70−71)2+(73−71)2+(76−71)2+(78−71)2+(79−71)2+(81−71)2]=52．
(3)这10名职工中体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工有5人，
从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，基本事件总数n=C52=10，
体重76公斤的职工被抽到包含的基本事件个数m=C11C41=4，
∴体重76公斤的职工被抽到的概率p=410=25．
【解析】(1)先求出样本间隔为5，由第5组抽出的号码为22，得到每组中的第2个号码被抽出，由此能求出所有被抽出职工的号码．
(2)先求出该样本的平均数，由此能示出该样本的方差．
(3)这10名职工中体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工有5人，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，基本事件总数n=C52=10，体重76公斤的职工被抽到包含的基本事件个数m=C11C41=4，由此有求出体重76公斤的职工被抽到的概率．
本题考查样本号码的求法，考查样本方差的求法，考查概率的求法，考查茎叶图、样本号码、样本方差、概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
20.【答案】解：(1)由频率分布直方图，得：
分数在[120,130)内的频率为：1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=0.3．
频率组距=0.310=0.03，补全后的直方图如右图所示．
(2)由频率分布直方图得：
平均分为：95×0.010×10+105×0.015×10+115×0.015×10+125×0.030×10+135×0.025×10+×0.005×10=121．
∵[90,120)的频率为(0.010+0.015+0.015)×10=0.4，
[120,130)的频率为：0.030×10=0.3，
∴中位数为：120+0.5−0.40.3×10=3703．
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，
则分数段为[110,120)中抽取的学生数为：0.0150.015+0.030×6=2人，
分数段为[120,130)中抽取的学生数为：0.0300.015+0.030×6=4人，
将该样本看成一个总体，从中任取2个，基本事件总数n=C62=15，
至多有1人在分数段[120,130)内包含的基本事件为：m=C62−C42=9，
∴至多有1人在分数段[120,130)内的概率P(A)=mn=915=35．
【解析】(1)由频率分布直方图，能求出分数在[120,130)内的频率，并能补全这个频率分布直方图．
(2)由频率分布直方图能估计本次考试的平均分及中位数．
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为[110,120)中抽取的学生数为2人，分数段为[120,130)中抽取的学生数为4人，从中任取2个，基本事件总数n=C62=15，至多有1人在分数段[120,130)内包含的基本事件为：m=C62−C42=9，由此能求出至多有1人在分数段[120,130)内的概率．
本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
21.【答案】解：(1)a=1时，f(x)=lnx+x2+3x，
则f′(x)=1x+2x+3，
故f(1)=4，f′(1)=6，
故切线方程是：y−4=6(x−1)，即y=6x−2；
(2)因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，
则f′(x)=1x+2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x(x>0)，
①当a=0时，f′(x)=1x+1>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当a>0，由于x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，
此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；
③当a<0时，令f′(x)=0，解得x=−12a，
因为当x∈(0,−12a)，f′(x)>0，y=f(x)在(0,−12a)上单调递增，
当x∈(−12a,+∞)，f′(x)<0，y=f(x)在(−12a,+∞)上单调递减．
综上可知：当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，f(x)在(0,−12a)上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减．
【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间(含参)，求曲线上一点的切线方程，属于中档题．
(1)代入a的值，求出函数的导数，求出f(1)，f′(1)，由点斜式即可求出切线方程；
(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，利用导数即可求出函数的单调区间．
22.【答案】解：(1)由散点图判断，y=c+dx更适合．
(2)令u=1x，先建立y关于u的线性回归方程，
由于d =7.0490.787≈8.957≈8.96，
所以c =y−−d ⋅u−=3.63−8.957×0.269≈1.22，
所以y关于u的线性回归方程为y =1.22+8.96u，
所以y关于x的回归方程为y =1.22+8.96x．
(3)假设印刷x千册，依题意得9.22x−(1.22+8.96x)x≥80，
解得x≥11.12，
所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元．
【解析】本题考查回归直线方程的求解与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
(1)由散点图判断y=c+dx更适合作为回归方程．
(2)令u=1x，先建立y关于u的线性回归方程，求出回归直线的斜率，与截距，然后得到回归直线方程．
(3)假设印刷x千册，依题意得9.22x−(1.22+8.96x)x≥80，求解即可．
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