2020届四川省眉山市仁寿县高三上学期期中数学（文）试题（解析版）

2020届四川省眉山市仁寿县高三上学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A．或 B．或

C．或 D．

【答案】C

【解析】先计算，，再计算得到答案.

【详解】

，

故选：

【点睛】

本题考查了并集的计算，属于简单题.

2．已知，，则的值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【解析】直接化简得到，对比得到答案.

【详解】

，所以，解得.

故选：

【点睛】

本题考查了复数的运算，意在考查学生的计算能力.

3．若，且a为整数，则“b能被5整除”是“a能被5整除”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】分别考虑充分性和必要性，得到答案.

【详解】

若a能被5整除，则必能被5整除；

若b能被5整除，则未必能被5整除

故答案选B.

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分别计算与，，的大小关系得到答案.

【详解】

，，，所以.

故选：

【点睛】

本题考查了数值的大小比较，意在考查学生对于函数性质的综合应用.

5．函数的部分图象大致为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求得函数的定义域，然后判断出函数为奇函数，再用特殊值确定正确选项.

【详解】

首先函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，图象应该关于原点对称，排除C和D，当时，，故A正确

【点睛】

本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，属于基础题.

6．已知等比数列的前项和为，若，则（    ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】B

【解析】变换得到，得到方程，计算得到答案.

【详解】

，所以，解得.

故选：

【点睛】

本题考查了等比数列的前项和公式，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.

7．已知函数，要得到的图象，只需将的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】D

【解析】根据三角函数平移法则直接得到答案.

【详解】

.将的图象向左平移个单位长度可得到的图象.

故选

【点睛】

本题考查了三角函数的平移，属于常考题型.

8．若函数有两个极值点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】求导得到，方程有两个不同的解，得到，计算得到答案.

【详解】

，所以

因为函数有两个极值点，所以有两个不等的根

则，解得.

故选：

【点睛】

本题考查了函数的极值点问题，转换为导函数的零点问题是解题的关键.

9．如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为，下列说法：

①平面；②平面；

③平面；④平面.

其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】根据条件依次判断每个选项的正误，判断得到答案.

【详解】

因为，所以平面，平面.

②③正确

，所以为锐角，所以不垂直于，所以不垂直于平面，同理不垂直于，所以不垂直于平面.

①④错误.

故②③正确，①④错误.

故选：

【点睛】

本题考查了线面垂直，意在考查学生的空间想象能力.

10．若函数在上有零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】化简得到，即函数的图象与直线在上有公共点，画出图像得到答案.

【详解】

，即

即函数的图象与直线在上有公共点

直线过定点且斜率为，如图所示：

曲线在上的两个端点与点连线的斜率分别为，，结合图象分析可知.

故选：

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，转化为图像的交点是解题的关键.

11．已知定义在上的函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设，判断为奇函数，且在上为减函数，不等式转化为

，计算得到答案.

【详解】

，

令，

则，

即为奇函数，且在上为减函数.

不等式，等价于，

即，则，解得.

故选：

【点睛】

本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，构造函数是解题的关键.

二、填空题

12．若，满足约束条件，则的最小值为__________.

【答案】-2

【解析】首先作出可行域，然后作出初始目标函数，然后判断目标函数的最小值.

【详解】

如图，作出可行域，由图象可知，当目标函数过点C时，函数取值最小值，

.

故答案为：-2

【点睛】

本题考查线性规划，意在考查基础知识和计算能力，属于基础题型.

13．已知向量，，，则______.

【答案】

【解析】根据向量垂直计算得到，再计算得到答案.

【详解】

，所以，

，所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查了向量的模的计算，意在考查学生的计算能力.

14．设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则=________.

【答案】

【解析】根据等比数列的性质，求出数列的基本量，再运用求和公式求解.

【详解】

因为各项均为正数的等比数列的前n项和为，，

所以，所以，又，

所以，，.故答案为40.

【点睛】

本题考查等比数列的性质，基本量的计算和求和问题，属于基础题..

15．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则______.

【答案】

【解析】根据正弦定理得到，解得，，代入余弦定理计算得到答案.

【详解】

，得，又因为，得，

则.

故答案为：

【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.

16．已知正的边长为1，为该三角形内切圆的直径，在的三边上运动，则的最大值为______.

【答案】

【解析】变换得到，则点为的顶点时取最大值，计算得到答案.

【详解】

正的边长为1，则高为，内切圆半径为

如图所示，，

当点为的顶点时，取得最大值，所以的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了向量的最值计算，变换得到是解题的关键.

三、解答题

17．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.

(1)求的解析式；

(2)求不等式的解集.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）设则，计算，利用奇函数性质可得，当时，即可求出解析式（2）分类讨论求解不等式即可.

【详解】

（1）若，则.

因为当时.，所以

因为是奇函数，所以.

因为是定义在R上的奇函数，所以.

故

（2）当时，，

解得

当时，，

则是不等式的解；

当时，.

解得.

又，所以.

故原不等式的解集为

【点睛】

本题主要考查了利用奇函数性质求解析式，解分段函数形式的不等式，分类讨论，属于中档题.

18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

求C；

若，求，的面积

【答案】(1)．(2)．

【解析】由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得，结合范围，可求A，根据三角形的内角和定理即可解得C的值．

由及正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．

【详解】

由已知可得，

又由正弦定理，可得，即，

，

，

，即，

又，

，或舍去，可得，

．

，，，

由正弦定理，可得，

，

．

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

19．已知数列的前项和为，且.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用公式代入计算得到答案.

（2）先计算得到，再利用错位相减法计算得到答案.

【详解】

（1）因为，所以，

所以当时，，即，

当时，，所以，

所以.

（2），

于是，①

，②

由①-②，得，

所以.

【点睛】

本题考查了数列的通项公式，利用错位相减法计算数列的前n项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

20．根据幼儿身心发展的特征，幼儿园通常着重在健康、科学、社会、语言、艺术五大领域对幼儿展开全方位的教育和培养.经调查发现，一个幼儿除了在幼儿园进行五大领域的系统学习之外，还会报一些课外兴趣班.而家长朋友们对于是否额外报这些课外兴趣班的态度也是不一样的.某调查机构对某幼儿园的100名幼儿家长就孩子是否报课外兴趣班的赞同程度进行调查统计，得到家长对幼儿报课外兴趣班赞同度的频数分布表：

（1）分别计算对幼儿报兴趣班的赞同度不低于的家长比例和对幼儿报兴趣班的赞同度低于的家长比例；

（2）求家长对幼儿报兴趣班的赞同度的平均数与方差的估计值.（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）

【答案】（1），； （2），.

【解析】（1）直接利用频数分布表计算得到答案.

（2）直接利用平均值和方差的公式代入数据计算得到答案.

【详解】

（1）根据家长对幼儿报课外兴趣班赞同度的频数分布表，

对幼儿报兴趣班的赞同度不低于的家长比例为；

对幼儿报兴趣班的赞同度低于的家长比例为.

（2）由题意，家长对幼儿报兴趣班的赞同度的平均数为

，

其方差为

，

所以家长对幼儿报兴趣班的赞同度的平均数与方差的估计值分别为0.70和0.0496.

【点睛】

本题考查了频数分布表，平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力.

21．如图，四棱锥的底面为矩形，侧面底面且，.

（1）证明：；

（2）若，且四棱锥的体积为，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）取的中点，连接，先证明，再证明得到平面，得到证明.

（2）根据体积公式得到，再计算，再利用等体积法计算得到距离.

【详解】

（1）证明：取的中点，连接.

因为，为的中点，所以，

又因为平面平面，且交线为，

所以平面，所以，

又因为，底面为矩形，

所以，且，

所以，所以，

则，即，

又，所以平面，

所以；

（2）因为，所以四棱锥的体积，

解得，

因为平面平面，且交线为，

所以平面，则，，

故，

设点到平面的距离为，因为，

所以，

解得，即点到平面的距离为.

【点睛】

本题考查了线线垂直，点到平面的距离，利用等体积法可以简化运算，是解题的关键.

22．已知函数 .

（1）求的单调区间与最值；

（2）若，不等式 恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为， 无最小值；（2）

【解析】（1）对f(x)求导，利用导函数的正负可得原函数的单调性及最值.

（2）利用（1）的结论得到，将所求不等式进行分类参数后得到，利用上述结论可得，再说明等号可以成立，即可得到结果.

【详解】

（1）因为，所以

所以当 时，；当 时，，

则的单调递增区间为，单调递减区间为

故 无最小值

（2）由（1）可知 ，即，

则 ，即

若 ，则

因为 ，所以

（当且仅当 时，等号成立），而显然有解.

故 ，即的取值范围为

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调区间及最值，考查了解决不等式恒成立问题的方法技巧，其中利用进行放缩是难点，属于较难题型.