重庆市重庆市长寿区重庆市长寿川维中学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市重庆市长寿区重庆市长寿川维中学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知，则m等于( )
A.1B.3C.1或3D.1或4
2．已知函数的导函数为，且，则( )
A.2B.C.10D.5
3．甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
B.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C.水果的质量服从的正态分布的参数
D.甲类水果的平均质量
4．甲､乙､丙､丁4名志愿者参加创文巩卫志愿者活动,现有A,B,C三个社区可供选择,每名志愿者只能选择其中一个社区,每个社区至少一名志愿者,则甲不在A社区的概率为( )
A.B.C.D.
5．若点P是曲线上任一点,则点P到直线的最小距离是( )
A.B.3C.D.
6．已知随机变量,若,则,分别是( )
A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6
7．已知函数的定义域内R,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若关于的方程恰有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中,正确的是( )
A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第40百分位数为12
B.回归分析模型中,决定系数越大,说明模型模拟效果越好
C.在的展开式中,各项系数和与所有项二项式系数和相等
D.已知一系列样本点的经验回归方程为,若样本点与的残差相等,则
10．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球,从中无放回的随机取两次,每次取1个球,记事件:第一次取出的是红球;事件:第一次取出的是白球;事件B:取出的两球同色;事件C:取出的两球中至少有一个红球,则( )
A.事件,为互斥事件B.事件B,C为独立事件
C.D.
11．已知函数,e是自然对数的底数,则( )
A.的最大值为
B.
C.若,则
D.对任意两个正实数,,且,若,则
三、填空题
12．二项式的展开式中常数项为______.(用数字作答)
13．一排有8个座位,如果每个座位只能坐1人,现安排四人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有______________种用数字作答．
14．当时,函数的图象恒在抛物线的上方,则实数a的取值范围是__________．
四、解答题
15．已知函数在处取得极值0,其中a．
（1）求a,b的值;
（2）当时,求的最大值和最小值．
16．教育部决定自年起,在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生,强基计划的校考由试点高校自主命题,校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.
（1）为了更好的服务于高三学生,某研究机构对随机抽取的名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析,得到下表数据：
若该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合,求y关于x的线性回归方程.
（2）根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校,某考生准备从甲、乙两所大学选择一所报考,已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目,且每门科目是否通过相互独立,若该考生报考甲大学,每门笔试科目通过的概率分别为、、,该考生报考乙大学,每门笔试科目通过的概率均为.若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策,该考生应报考哪所高校.
参考公式：对于一组数据、、、,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：,.
17．某市为了了解全市1万名学生的汉字书写水平,在全市范围内进行了汉字听写考试,发现其成绩服从正态分布,现从某校随机抽取了50名学生,将所得成绩整理后,绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值,并估算该校50名学生成绩的中位数;
（2）现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人,这两人成绩排名（从高到低）在全市前230名的人数记为X,求X的概率分布和均值.
参考数据：,
则,,.
18．已知函数.
（1）若在其定义域内单调递增,求实数m的取值范围;
（2）若,且有两个极值点,其中,求的取值范围.
19．在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次,每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.
（1）当时,求
（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y,若其数学期望和方差均存在,则对任意正实数a,有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间,试估计信号发射次数的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：由可知:或者，解得:或.
故选：C.
2．答案：C
解析：由题意可得：.
故选：C.
3．答案：D
解析：
4．答案：C
解析：4名志愿者分配到3个社区的方法共有种,
其中甲在A社区的方法有两种情况,
若A区分配2名志愿者,则从乙丙丁三人中选择1人连同甲一起去A社区,则有种情况,
若A社区只有甲这1名志愿者,则从乙丙丁中选择2人去BC两个社区其中之一,则共有种情况,
故甲不在A社区一共有种,
故甲不在A社区的概率为.
故选：C.
5．答案：C
解析：要使点P到直线的最小距离,只需点P为曲线与直线平行的切线的切点,
即点P为斜率为1的切线的切点,
设,,,,
解得或（舍去）,
点到直线的距离为,
所以曲线上任一点到直线距离最小值为.
故选：C.
6．答案：B
解析：由二项分布的性质得,
由已知随机变量,所以有.
所以,
.
故选：B.
7．答案：D
解析：函数的定义域内R,则恒成立,
令,则,
时,;时,,
在上单调递减,在上单调递增,,
时,,则有,得,
所以实数m的取值范围是.
故选:D
8．答案：D
解析：由于,故原方程等价于或.
由于当时,,故在上单调递减.
而当时,有,故此时,
从而当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减.
从而当时,有,而在上单调递减,,
所以有唯一的解.
若原方程有四个不同的解,则存在四个不同的实数x满足或,
而只有一个解,所以方程至少有三个解.
假设,则当时,当时,所以至多有一个解,矛盾,所以.
假设,则当,时有,
从而在上至多有一个解,由在上单调递减知在上至多有一个解,
所以至多有两个解,矛盾,所以.
综上,有,即;
另一方面,当即时,设,
由于,,,
且.
故在,,上各有一个解,从而至少有三个解.
而,（因为）,所以或有四个解.
综上,a的取值范围是,即,D正确.
故选：D.
9．答案：BC
解析：对于选项A：因为样本中有10个数据,且,
所以第40百分位数为第4、5两个数据的平均数,即为,故A错误;
对于选项B：因为决定系数越大,说明模型模拟效果越好,故B正确;
对于选项C：令,可得各项系数和为,
因为,可得所有项二项式系数和为,
所以各项系数和与所有项二项式系数和相等,故C正确;
对于选项D：由题意可得：,所以,故D错误;
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生,它们是互斥的,A正确;
由于是红球有3个,白球有2个,事件B发生时,两球同为白色或同为红色,
,事件B不发生,则两球一白一红,,B,C不独立,B错;,C正确;事件发生后,口袋中有3个红球1个白球,只有从中取出一个红球,事件C才发生,所以,D正确.故选:ACD.
11．答案：ABD
解析：由题意得,则,
当时,,递增,当时,,递减,
故,故A正确;
由于,由于当时,递减,故,
即,,即,
因为,
故,,即,
故,故B正确;
因为,即,,
设,,由于当时,递增,当时,递减,
故,单调减函数,故,
即,由于,不妨设,则,
即,故C错误;
对任意两个正实数,,且,若,不妨设,
即,设,则,,
则,,
而
,
设,令,则,
即,为单调增函数,故,
即成立,故,故D正确,
故选：ABD.
12．答案：60
解析：二项式的展开式的通项公式,,，
由，得，则，
所以二项式的展开式中常数项为60.
故答案为：60.
13．答案：720
解析：可看成4个坐着人的座位和4个空座位排队,
先安排4个坐着人的座位,共有种坐法,产生5个空,
然后安排空座位到空中,相邻的两个空座位捆在一起,看作一个元素,有种坐法,
然后再从剩余的4个空中选择两个将空座位安上,
因为空座位相同,所以只需要选出两个空位即可,有种坐法,
所以共有种坐法．
故答案为：720．
14．答案：
解析：因为当时,函数的图象恒在抛物线的上方,
则有,,
令函数,求导得,
令,求导得,函数在上单调递减,
,,即,当时,,当时,,
因此函数在上单调递增,在上单调递减,,则,
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）最大值为4,最小值为
解析：（1）由求导得,
依题意可知,即,解得,
此时,,由求得或,
当时,,函数递增,当时,函数递减,
故时,函数取得极大值,故.
（2）由（1）得,
令解得或,因,
故当时,函数递减,当时,函数递增,
当时,取得极小值,无极大值,所以,
所以在区间上,的最大值为或,而．
所以在区间上的最大值为4,最小值为．
16．答案：（1）
（2）建议该考生报考甲大学,理由见解析
解析：（1）由表格中数据可得,,
所以,,
,
所以,,,
因此,y关于x的线性回归方程为.
（2）设该考生报考甲、乙大学笔试过程中通过科目数分别为X、Y,
由题意可知,随机变量X的取值有0、1、2、3,
则,,
,
,
所以,,
由题意可知,,则,
所以,,故建议该考生报考甲大学.
17．答案：（1）;估计该校50名学生成绩的中位数为66.875
（2）分布列见详解,
解析：（1）由题意可知：每组的频率依次为,
则,解得;
又因为,
可知该校50名学生成绩的中位数,
则,解得,
所以估计该校50名学生成绩的中位数为66.875.
（2）成绩在的人数为,
因为,,
则,
且,可知全市前230名的成绩需在90分以上,
而50人中90分以上的人数为,所以X的可能取值为0,1,2,
则,,,
所以X的分布列为：
X的期望.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）的定义域为,
在上单调递增,
在上恒成立,即在上恒成立,
又,当且仅当时等号成立,
;
（2）由题意,
有两个极值点,,
,为方程的两个不相等的实数根,
由韦达定理得,,
, ,
又,解得,
,
设（）,
则,
在上为减函数,
又,,
,
即的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）1250
解析：（1）由已知,
所以
;
（2）由已知,所以,,
若,则,即,
即.
由切比雪夫不等式,
要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间,则,
解得,所以估计信号发射次数n的最小值为1250;
综上,,估计信号发射次数n的最小值为1250.
x
6
8
9
10
12
y
2
3
4
5
6
X
0
1
2
P