2023-2024学年重庆市长寿区八校高一（上）期末数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市长寿区八校高一（上）期末数学试卷（B卷）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={0,1,2,3,4},A={x∈N|3x∈N}，则∁UA=( )
A. {0,1,3}B. {1,3}C. {0,2,4}D. {2,4}
2.“xy>0”是“x>0，y>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.下列命题中，正确的个数有( )
①A⊆A；
②{0}∈{0,1,2}；
③著名的运动健儿能构成集合；
④{0}=⌀；
⑤⌀≠A；
⑥{0,1,2}⊆{2,1,0}．
A. 1B. 2C. 3D. 5
4.设a，b为正数，且a0)，则( )
A. P=QB. P>Q
C. P5.已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2−xy+y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. m≤6B. −6≤m≤0C. m≥0D. 0≤m≤6
6.不等式x−1x+2<0的解集为( )
A. {x|x>1}B. {x|x<−2}
C. {x|−21或x<−2}
7.已知函数f(x)=x2−1,x≤11x−1,x>1，则f(f(−2))=( )
A. 8B. 12C. −34D. −109
8.若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2x，则f(0)+g(1)=( )
A. 1B. 2C. 34D. 54
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=lg4(x−1),x>1(14)x,x≤1，则下列结论正确的是( )
A. 若f(a)=1，则a=5
B. f(f(20232022))=2022
C. 若f(a)≥2，则a≤−12或a≥17
D. 若方程f(x)=k有两个不同的实数根，则k≥14
10.已知f(x)=3x−2x3x+2x，若“∃x∈R，使得f(x)>m”是假命题，则下列说法正确的是( )
A. f(x)是R上的非奇非偶函数，f(x)最大值为1
B. f(x)是R上的奇函数，f(x)无最值
C. f(x)是R上的奇函数，m有最小值1
D. f(x)是R上的偶函数，m有最小值−1
11.已知函数f(x)=1−ex1+ex，则下列关于函数f(x)的性质说法正确的是( )
A. f(x)在区间[0,1]的值域为[1−e1+e,0]
B. f(x)为奇函数
C. g(x)=f(x)−x−1在区间(−1,0)上存在零点
D. f(0)=1
12.已知函数f(x)=sinx−csx，则( )
A. f(x)的值域为[− 2, 2]
B. 点(π4,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心
C. f(x)在区间[π4,5π4]上是增函数
D. 若f(x)在区间[−a,a]上是增函数，则a的最大值为π4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若2x2+3x+5=a(2x+1)(x+1)+b恒成立，则a+b的值______．
14.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0，f(x)=lg2(x+2)+m，则f(−2)= ______ ．
15.函数f(x)= 2−x+ln(x+1)的定义域是______．
16.如图，摩天轮的半径为50m，圆心O距地面的高度为60m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈．游客在穈天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．游客进入摩天轮的舱位，开始转动5min后，他距离地面的高度为______m.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设集合A={x∈M|2≤x≤16}，B={x|x−2x−5<0}．
(1)若M=N，求A∩B；
(2)若M=R，求A∪B，A∩(∁RB)．
18.(本小题12分)
某儿童玩具厂生产的某一款益智玩具去年年销量为2百万件，每件销售价格为20元，成本16元.今年计划投入适当广告费进行促销.预计该款玩具的年销售量P百万件与年广告费用x(0≤x≤2)百万元满足P=4−3x+1，现已知每件玩具的销售价为年平均每件玩具所占广告费的1t(t>0)与原销售价之和．
(1)当投入广告费为2百万元时，要使该玩具的年利润不少于12百万元，求t的取值范围；
(2)若t=4时，则当投入多少百万元广告费该玩具生产厂获得最大利润．
19.(本小题12分)
已知f( x)=x+a x+b(a,b均为常数)，且f(0)=1，f(1)=−2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对∀x∈(1,2)，不等式lg3[f(x)+m]≤2成立，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离.在某种路面上，经过多次实验测试，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时，0≤x≤120)的一些数据如表.为了描述汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系，现有三种函数模型供选择：y=px2+mx+n(p≠0)，y=0.5x+a，y=klgax+b．
(Ⅰ)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(Ⅱ)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
21.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=mx2+bx−1(m≠0)的图象关于直线x=−1对称，且关于x的方程f(x)+2=0有两个相等的实数根．
(1)求函数g(x)=f(x)+2x的值域；
(2)若函数h(x)=f(lgax)−lgax4(a>0且a≠1)在[12,2]上有最小值−2，最大值7，求a的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象经过点(5π8,−3)．
(1)求f(x)在区间[0,π2]的最大值和最小值；
(2)记关于x的方程f(π8+x2)=2在区间[0,25π6]的解从小到大依次为x1，x2，⋯，xn，试确定正整数n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2xn−1+xn的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得A={x∈N|3x∈N}={1,3}，
又U={0,1,2,3,4}，
∴∁UA={0,2,4}．
故选：C．
首先确定集合A中元素，然后由补集定义求解．
本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：xy>0⇒x>0，y>0或x<0，y<0，
x>0，y>0⇒xy>0．
故“xy>0”是“x>0，y>0”的必要不充分条件．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：对于①，A⊆A，显然①正确；
对于②，{0}⫋{0,1,2}，即②错误；
对于③，著名的运动健儿不能构成集合，不满足集合中元素的确定性，即③错误；
对于④，{0}≠⌀，即④错误；
对于⑤，当A≠⌀时，⌀≠A，当A=⌀，⌀=A，即⑤错误；
对于⑥，{0,1,2}⊆{2,1,0}，即⑥正确，
故选：B．
由集合与集合关系的判断，结合集合与元素的关系逐一判断即可得解．
本题考查了集合与集合关系的判断，重点考查了集合与元素的关系，属基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题．
利用作差法即可比较大小．
【解答】
解：Q−P=a+mb+m−ab=ab+bm−ab−amb(b+m)=m(b−a)b(b+m)，
∵a，b为正数，且a0，则m(b−a)b(b+m)>0，
∴Q−P>0，
∴P故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，则1x∈[13,12]，
∴yx∈[1,3]，
又因为mx2−xy+y2≥0恒成立，且x∈[2,3]，x2>0，
可得m≥yx−(yx)2，
令t=yx∈[1,3]，
则原题意等价于对一切t∈[1,3]，m≥t−t2恒成立，
y=t−t2的开口向下，对称轴t=12，
则当t=1时，y=t−t2取到最大值为ymax=1−12=0，
故实数m的取值范围是m≥0．
故选：C．
令t=yx，分析可得原题意等价于对一切t∈[1,3]，m≥t−t²恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算，即可得解．
本题主要考查函数恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：不等式x−1x+2<0，即(x−1)(x+2 )<0，∴−2故选：C．
由题意可得(x−1)(x+2 )<0，解此一元二次不等式求得x的范围．
本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=x2−1,x≤11x−1,x>1，
所以f(−2)=(−2)2−1=3，
所以f(f(−2))=f(3)=13−1=12．
故选：B．
根据分段函数的解析式先求出f(−2)的值，再求出f(f(−2))的值即可．
本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：f(x)+g(x)=2x(1)，则f(−x)+g(−x)=2−x，
又f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，
∴−f(x)+g(x)=2−x(2)，
(1)(2)两式相加除以2得，g(x)=2x+2−x2，相减除以2得，f(x)=2x−2−x2，
∴f(0)=0，g(1)=2+122=54，
∴f(0)+g(1)=54，
故选：D．
由奇偶性的定义求得f(x)与g(x)的表达式，然后求函数值．
本题考查函数的奇偶性以及函数解析式的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A选项，当a≤1时，由f(a)=(14)a=1，可得a=0，
当a>1时，由f(a)=lg4(a−1)=1，可得a=5，
综上所述，若f(a)=1，则a=5或0，故A错；
对于B选项，f(20232022)=lg412022=lg142022<0，
所以f(f(20232022))=f(lg142022)=(14)lg42022=2022，故B对；
对于C选项，当a≤1时，由f(a)=(14)a=2−2a≥2，可得−2a≥1，解得a≤−12，此时a≤−12，
当a>1时，由f(a)=lg4(a−1)≥2，可得a−1≥16，解得a≥17，此时a≥17，
综上所述，若f(a)≥2，则a≤−12或a≥17，故C对；
对于D选项，作出函数y=k与函数f(x)的圆象如下图所示：
由图可知，当k≥14时，直线y=k与函数f(x)的圆象有两个交点，
此时方程f(x)=k有两个不等的实根，故D对．
故选：BCD．
解方程可f(a)=|判断A选项；求出f(f(20232022))的值，可判断B选项；解不等式f(a)≥2可判断C选项；数形结合可判断D选项．
本题考查了已知分段函数的值求参数或自变量，根据函数零点的个数求参数范围等知识点，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：f(x)的定义域为R，f(−x)=3−x−2−x3−x+2−x=2x−3x2x+3x=−f(x)，
则f(x)为奇函数；
又f(x)=3x−2x3x+2x=(32)x−1(32)x+1，变形可得(32)x=y+11−y>0，
得(y+1)(y−1)<0，∴−1则函数f(x)的值域为(−1,1)，
若“∃x∈R，使得f(x)>m”是假命题，
则∀x∈R，使得f(x)≤m成立，则m≥1，
m有最小值1.则BC正确．
故答案为：BC．
判断f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数，再将f(x)变形可得(32)x=y+11−y，由此得到y的范围，即可判断．
本题考查指数函数的性质，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，函数的零点问题，熟练掌握分离常数法，零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
分离常数可得，f(x)=−1+21+ex，根据指数函数的单调性，可知f(x)在R上单调递减，
选项A，结合f(x)的单调性，再计算f(0)和f(1)的值，即可判断；
选项B，说明f(−x)=−f(x)，即可；
选项C，分别计算g(−1)和g(0)的值，再由零点存在性定理可得解；
选项D，结合选项A可判断．
【解答】
解：f(x)=1−ex1+ex=−(1+ex)+21+ex=−1+21+ex在R上单调递减，
选项A，因为x∈[0,1]，所以f(x)max=f(0)=0，f(x)min=f(1)=1−e1+e，即A正确；
选项B，f(−x)=1−e−x1+e−x=ex−1ex+1=−1−ex1+ex=−f(x)，所以f(x)为奇函数，即B正确；
选项C，g(−1)=f(−1)−(−1)−1=e−1e+1>0，g(0)=f(0)−1=−1<0，
由零点存在性定理知，g(x)=f(x)−x−1在区间(−1,0)上存在零点，即C正确；
选项D，f(0)=0，即D错误．
故选：ABC．
12.【答案】ABD
【解析】解：f(x)=sinx−csx= 2sin(x−π4)∈[− 2, 2]，A正确；
令x−π4=kπ，k∈Z，
则x=kπ+π4，k∈Z，
当k=0时，可得函数的一个对称中心为(π4,0)，
当x∈[π4,5π4]时，x−π4∈[0,π]，
由正弦函数的性质可知，函数y=sinx在[0,π]上不单调，C错误；
由−π2≤x−π4≤π2可得−π4≤x≤3π4，
若f(x)在区间[−a,a]上是增函数，则a≤3π4−a≥−π4，
所以a≤π4，
故a的最大值为π4，D正确．
故选：ABD．
先用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的值域，对称性及单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了正弦函数的对称性，单调性及值域的求解，属于中档题．
13.【答案】5
【解析】解：∵2x2+3x+5=a(2x+1)(x+1)+b=a(2x2+3x+1)+b恒成立，
∴2a=23a=3a+b=5，解得a=1，b=4，
∴a+b=5，
故答案为：5．
依题意，得2a=23a=3a+b=5，解得a，b可得答案．
本题考查了函数恒成立问题，考查了方程思想与运算能力，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)=lg2(x+2)+m，
∴f(0)=lg2(0+2)+m=0，则m=−1，
∴f(−2)=−f(2)=−[lg2(2+2)−1]=−1．
故答案为：−1．
根据题意，由奇函数的性质求出m的值，进而结合解析式计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.【答案】(−1,2]
【解析】解：函数f(x)= 2−x+ln(x+1)中，
令2−x≥0x+1>0，
解得−1所以f(x)的定义域是(−1,2]．
故答案为：(−1,2]．
根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．
16.【答案】85
【解析】解：由题意可设在时刻t(min)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h，
其中A=50，h=60，T=15，可得ω=2π15，即f(t)=50sin(2π15t+φ)+60，
又∵f(0)=10，∴50sinφ+60=10，解得φ=−π2，
∴f(t)=50sin(2π15t−π2)+60=−50cs2π15t+60，
可得f(5)=−50cs2π3+60=85．
∴开始转动5min后，他距离地面的高度为85m．
故答案为：85．
由题意可设在时刻t(min)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h，结合已知求得变量的值，再取t=5求解y值即可．
本题考查三角函数模型的应用，考查三角函数的图象与性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：B={x|x−2x−5<0}={x|(x−5)(x−2)<0}=(2,5)．
(1)若M=N，A={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}，
则A∩B={3,4}；
(2)若M=R，A=[2,16]，则A∪B=[2,16]，
∁RB=(−∞,2]∪[5,+∞)，∴A∩(∁RB)=[5,16]∪{2}．
【解析】(1)若M=N，N为自然数集，可把集合A中的元素一一列举出来，可求A∩B；(2)在数轴上求集合的交集，并集，补集的运算，要注意端点值是否取到．
本题考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当x=2时，年销量为P=4−32+1=3，所以每只产品的销售价为20+2P⋅1t=20+23t，
所以利润函数为W=P(20+23t−16)−2=3×(20+23t−16)−2≥12，整理得1t≥1，解得t≤1，
又因为t>0，所以t的取值范围是(0,1]．
(2)当t=4时，每只产品的销售价为20+xP⋅14，其中P=4−3x+1，x∈[0,2]；
生产厂可获利润为W=(20+14⋅xp−16)p−x=x4+4p−x=−3x4+4(4−3x+1)=16−12x+1−34x，
设m=x+1，则x=m−1，m∈[1,3]，
w=16−12m−34(m−1)=674−(12m+3m4)≤674−2 12m⋅3m4=674−2×3=434=10.75，
当且仅当12m=3m4，即m=4时取“=”，因为m∈[1,3]，所以“=”不成立；
且m∈[1,3]时利润函数w单调递增，所以m=3时w取得最大值为16−123−34×2=10.5，
此时x取最大值2，所以当投入广告费为2百万元时该玩具生产厂获得最大利润为10.5百万元．
【解析】(1)计算x=2时年销量P的值，再写出利润函数W，列不等式求出t的取值范围．
(2)写出t=4时生产厂获利润函数W，利用对勾函数的性质求出函数的最大值以及取最大值时x的值即可．
本题主要考查了函数的实际应用问题，也考查了数学建模与函数最值的求法应用问题，是中档题．
19.【答案】解：(1)由f( x)=x+a x+b，得f( x)=( x)2+a x+b，即f(x)=x2+ax+b(x≥0)，
由f(0)=1，f(1)=−2，
可得f(0)=0+ a×0+b=1,f(1)=1+a+b=−2,解得b=1a=−4，
所以f(x)=x2−4x+1(x≥0)．
(2)由lg3[f(x)+m]≤2，可得0所以对∀x∈(1,2)，都有0由于f(x)=x2−4x+1=(x−2)2−3，所以f(x)在(1,2)上单调递减，且f(1)=−2，f(2)=−3，
因此当x∈(1,2)时，f(x)∈(−3,−2)，要使0解得3≤m≤11．
故实数m的取值范围为：[3,11]．
【解析】(1)由f(0)=1，f(1)=−2，代入函数解析式求出a，b，得函数f(x)的解析式．
(2)不等式等价于0本题主要考查函数的解析式和恒成立问题，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)结合表格数据可得y=px2+mx+m(p≠0)最符合实际的函数模型，
将x=0，y=0；x=40，y=8.4；x=60，y=18.6分别代入上式可得n=01600p+40m=8.43600p+60m=18.6，
则p=1200m=1100n=0，
即所求的函数解析式为y=1200x2+1100x，(x≥0)；
(Ⅱ)令1200x2+1100x≤25.2，
又x≥0，
则0≤x≤70，
即行驶的最大速度为70千米/时．
【解析】(Ⅰ)结合表格数据选出最符合实际的函数模型，然后列方程组n=01600p+40m=8.43600p+60m=18.6求解即可；
(Ⅱ)令1200x2+1100x≤25.2，结合二次不等式的解法求解即可．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)依题意得−b2m=−1，
因为f(x)+2=mx2+bx+1=0，所以Δ=b2−4m=0，
解得m=1，b=2，故f(x)=x2+2x−1，g(x)=f(x)+2x=x+1x+2，
当x>0时，g(x)=x+1x+2≥2 x⋅1x+2=4，
当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立．
当x<0时，g(x)=−(−x+1−x)+2≤−2 (−x)⋅1−x+2=0，
当且仅当−x=1−x，即x=−1时，等号成立．
故g(x)的值域为(−∞,0]∪[4,+∞)．
(2)h(x)=f(lgax)−4lgax=(lgax)2−2lgax−1，
令t=lgax，则．
①当0因为ymin=−2，所以lga2<1<−lga2，解得12因为lga2+(−lga2)=0，所以ymax=(lga2)2−2lga2−1=7，解得a= 22或42(舍去)．
②当a>1时，t∈[−lga2,lga2]，因为ymin=−2，所以−lga2<1ymax=(lga2)2+2lga2−1=7，解得a= 2或a=142(舍去)．
综上，a的值为 2或 22．
【解析】本题考查函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，基本不等式的应用，函数与方程思想的应用，是中档题．
(1)依题意得−b2m=−1，求出g(x)的表达式，利用x的范围，结合基本不等式求解函数的最值，得到函数的值域；
(2)化简函数的解析式，通过换元法，通过a的范围求出函数的最值，然后求解a的值即可．
22.【答案】解：(1)因为函数的图象经过点(5π8,−3)，
所以3sin(5π4+φ)=−3，即sin(5π4+φ)=−1，
所以5π4+φ=2kπ+3π2，k∈Z，
解得φ=2kπ+π4，k∈Z，
又因为0<φ<π，所以φ=π4，
所以f(x)=3sin(2x+π4)，
因为0≤x≤π2，所以π4≤2x+π4≤5π4，
当2x+π4=5π4，即x=π2时，f(x))取得最小值为−3 22，
当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)取得最大值为3；
(2)由(1)知，f(π8+x2)=3sin|π2+x|=3sin(x+π2)=3csx，
由f(π8+x2)=2，得3csx=2，解得csx=23，
结合余弦函数y=csx的图象，又cs25π6= 32>23，
可得方程csx=23在区间[0,25π6]上有4个解，即n=4，
且x1+x2=2π，x2+x3=4π，x3+x4=6π，
所以x1+2x2+2x3+⋯+2xn−1+xn=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)=12π．
【解析】(1)由函数图象经过点(5π8,−3)，代入可求φ，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质即可求解函数的最值；
(2)由已知程f(π8+x2)=2，代入整理可求得csx=23，然后结合余弦函数的对称性即可求解．
本题主要考查了正弦函数最值的求解，还考查了余弦函数对称性的应用，属于中档题．x
0
40
60
80
y
0
8.4
18.6
32.8