(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题07数列求和之裂项相减法求和专练(原卷版+解析)

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专题07 数列求和之裂项相减法求和专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．2．执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（ ）A． B． C． D．3．已知数列满足：，数列的前n项和为，若恒成立，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．4．已知是等差数列的前项和，的公差，是与的等比中项，设，则的前2022项和为（ ）A． B． C． D．5．已知在函数上的点处的切线为，则数列的前n项的和是（ ）．A． B． C． D．6．数列满足，，则数列的前2019项的和为（ ）A． B． C． D．7．在平面上有一系列点，对每个正整数，点位于函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切．若，且,,的前项之和为，则（ ）A． B． C． D．8．数列满足，则数列的前n项和为（ ）A． B．C． D．9．已知数列{}满足，则（ ）A． B． C． D．10．已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题11．已知数列满足，，则数列的前n项和______．12．已知数列满足：，且，记，若，则___________.（用表示）13．数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为__________．14．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.15．已知数列 an满足，则 __________．三、解答题16．已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．(1)求数列的通项与前项和；(2)记，设为数列的前项和，求证．17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.18．已知数列的前项和为，满足，，.(1)记，求的通项公式；(2)记，求的前63项和.19．己知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求的值．20．已知数列满足，．(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，，．证明：当时，．专题07 数列求和之裂项相减法求和专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】根据裂项相消法，结合数列的单调性进行求解即可.【详解详析】解：，前项和为，可得为递增数列，且有取得最小值；且，当为偶数时，对任意正整数恒成立，即为对任意正整数恒成立，由，可得①当为奇数时，对任意正整数恒成立，即为对任意正整数恒成立，由，可得，即②由①②解得．故选：A【名师指路】关键点睛：利用裂项相消法，结合分类讨论法进行求解是解题的关键.2．执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（ ）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】列举出循环的每一步，利用裂项相消法可求得输出结果.【详解详析】第一次循环，不成立，，；第二次循环，不成立，，；第三次循环，不成立，，；以此类推，最后一次循环，不成立，，.成立，跳出循环体，输出.故选：B.3．已知数列满足：，数列的前n项和为，若恒成立，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【标准答案】D【思路指引】由于，所以利用裂项相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【详解详析】，故，故恒成立等价于，即恒成立，化简得到，因为，当且仅当，即时取等号，所以．故选：D4．已知是等差数列的前项和，的公差，是与的等比中项，设，则的前2022项和为（ ）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】由等差数列性质得，进而根据题意得，再结合得，故，，再根据裂项求和得的前项和，最后求解的前2022项和即可得答案.【详解详析】解：由等差数列的前项和公式得，因为是与的等比中项，所以，即，因为，所以，所以，即，因为，所以所以 所以，所以的前项和，所以的前2022项和为故选：C5．已知在函数上的点处的切线为，则数列的前n项的和是（ ）．A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】先求出，再求出，利用裂项相消法求和得解.【详解详析】解：∵在点处切线，∴，∵，所以，所以.即，∴，∴数列前n项的和．故选：D6．数列满足，，则数列的前2019项的和为（ ）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】根据，可得，利用累加法可求得数列的通项公式，再利用裂项相消法即可求出答案.【详解详析】解：依题意，由，可得，故，，，，，累加得，则，，设数列的前项的和为，则．故选：D．7．在平面上有一系列点，对每个正整数，点位于函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切．若，且,,的前项之和为，则（ ）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】根据两圆的几何关系及其圆心在函数的图象上，即可得到递推关系式，通过构造等差数列求得的通项公式，得出，最后利用裂项相消，求出数列前项和，即可求出.【详解详析】由与彼此外切，则，，，又∵，∴，故为等差数列且，，则，，则，即，故答案选：.8．数列满足，则数列的前n项和为（ ）A． B．C． D．【标准答案】D【思路指引】利用等差数列的前n项和公式得到，进而得到，利用裂项相消法求和.【详解详析】依题意得：，，，故选：D．9．已知数列{}满足，则（ ）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】先将通项公式化简然后用裂项相消法求解即可.【详解详析】因为， .故选：B10．已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【标准答案】A【思路指引】根据递推关系式求出，再求和后即可求解.【详解详析】函数，数列满足，，，，，，，，且，可知数列为递增数列，所以，因此，，，使得恒成立整数的最小值是2，故选：A二、填空题11．已知数列满足，，则数列的前n项和______．【标准答案】【思路指引】先求出，利用裂项相消法求和.【详解详析】因为数列满足，，所以数列为公差d=2的等差数列，所以，所以所以.故答案为：.12．已知数列满足：，且，记，若，则___________.（用表示）【标准答案】【思路指引】由可得，结合已知条件，利用裂项相消求和法即可得答案.【详解详析】解：因为，所以，即，所以，因为，所以，又，所以.故答案为：.13．数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为__________．【标准答案】【思路指引】先对进行化简，再以裂项相消法求数列{bn}的前21项和.【详解详析】＝＝＝n＋1，所以bn＝＝＝－，则＝－＋－＋＋－＝－＝．故答案为：14．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.【标准答案】【思路指引】根据题意求出，代入中，再利用裂项相消即可求出答案.【详解详析】由是等差数列且，可知：，故.，数列的前2021项和为.故答案为：.15．已知数列 an满足，则 __________．【标准答案】2019【思路指引】将已知化为代入可以左右相消化简，将已知化为，代入可以上下相消化简，再全部代入求解即可.【详解详析】由知故所以故答案为：2019三、解答题16．已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．(1)求数列的通项与前项和；(2)记，设为数列的前项和，求证．【标准答案】(1)，；(2)证明见解析.【思路指引】（1）当时，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项可求得数列的通项，利用等差数列的求和公式可求得；（2）证明出，利用裂项相消法可证得结论成立.(1)解：当时，，因为，解得；当时，由可得，上述两个等式相减可得，所以，，对任意的，，故且，故数列为等差数列，且该数列的首项和公差均为，故，所以，.(2)证明：，因为，所以，，因此，.17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围.【标准答案】(1)(2)．【思路指引】（1）由等差数列的前项和公式，等比数列的性质列方程组求得，然后可得通项公式；（2）用裂项相消法求得和，然后由求得的范围后可得的范围．(1)设等差数列公差为，由题意，，解得，所以；(2)由（1），所以，易知是递增的且，不等式对任意的都成立，则，所以．18．已知数列的前项和为，满足，，.(1)记，求的通项公式；(2)记，求的前63项和.【标准答案】(1)；(2).【思路指引】(1)根据给定的递推公式变形可得是等差数列，利用等差数列定义求解作答.(2)由(1)的结论求出的通项，再借助裂项相消法计算作答.(1)数列的前项和为，因时，，则，于是得，而，则当时，，数列是等差数列，首项，公差，则有，所以的通项公式.(2)由(1)知，，，，所以的前63项和为.19．己知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求的值．【标准答案】(1)；(2).【思路指引】(1)根据给定的递推公式结合“当时，”探求相邻两项的关系计算作答.(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法求出，即可作答.(1)依题意，，，则当时，，于是得：，即，而当时，，即有，因此，，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，所以数列的通项公式是.(2)由(1)知，，从而有，所以.20．已知数列满足，．(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，，．证明：当时，．【标准答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【思路指引】（1）对题干条件变形整理为，根据定义即可证明，并求出通项公式；（2）放缩法和裂项相消法进行证明.(1)当时，，当时，；相除得整理为：，即，为等差数列，公差，首项为；所以，整理为：，经检验，符合要求.(2)由（1）得：．，，，所以，当时，．