沪教版（上海）高二数学上册 宇航员的训练_ 教案

向量的应用

【教学内容】

（1）向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用。

（2）本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用。

【教学目标】

1．通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路。

2．了解构造法在解题中的运用。

【教学重难点】

（1）重点：平面向量知识在各个领域中应用。

（2）难点：向量的构造。

【教学过程】

（一）复习与回顾

1．提问：下列哪些量是向量？

（1）力    （2）功    （3）位移    （4）力矩

2．上述四个量中，（1）（3）（4）是向量，而（2）不是，那它是什么？

说明：复习数量积的有关知识。

（二）学习新课

例1（书中69页例5）

向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用！请看

例2（书中68页例3）

证法（一）原不等式等价于，由基本不等式知（1）式成立，故原不等式成立。

证法（二）向量法

说明：本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现（等号成立的充要条件是。）

例3．（书中68页例4）

说明：本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明。

（二）巩固练习

1．如图，某人在静水中游泳，速度为km/h。

（1）如果他径直游向河对岸，水的流速为4km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？

答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8km/h。

（2）他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h。

（三）课堂小结

1．向量在物理、数学中有着广泛的应用。

2．要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系。

【作业布置】

1．书面作业：课本练习8.4第4题。

2．（补充）

（1）已知作用于同一物体的两个力、，||=5N，||=3N，、所成的角为，则|+|=7；+与的夹角为。

说明：力的分解与合成是向量在物理中运用的典型例子之一。

（2）上网查阅柯西—施瓦茨不等式有关知识并整理一些证法。

说明：

a．柯西—施瓦茨不等式是一个著名不等式，教学时应加以渗透数学史的教学，并且通过对不同证明方法的整理可以感受数学知识的有机联系以及解决问题的多样性。

b．以小组形式，时间为一星期为宜。