(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题06空间距离的向量求法重难点专练(原卷版+解析)

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专题06 空间距离的向量求法重难点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、填空题1．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）已知平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为___________.2．(2023·上海·闵行中学高二期中）在三棱锥中，设向量，，，则顶点到底面的距离为______．3．(2023·上海市七宝中学高二期中）在长方体中，若，，则点到平面的距离为_______ .4．(2023·上海普陀·二模）在四棱锥中，设向量，，，则顶点到底面的距离为_________5．(2023·上海交大附中高二期中）在正方体中，，则异面直线AB和的距离为___________.6．(2023·上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知正方体的棱长为6cm，则点到平面的距离等于______________.二、解答题7．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图，在长方体中，T为上一点，已知．（1）求直线与平面所成角的大小（用反三角函数表示）；（2）求点到平面的距离．8．(2023·上海·高三月考）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点.（1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小；（2）求点B1到平面PAC的距离.9．(2023·上海·闵行中学高二期末）如图，已知正方体的边长为2，E是线段的中点.（1）证明：平面；（2）若P是线段上的动点，求点P到平面的距离的取值范围.10．(2023·上海市实验学校高二期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且，，，，E是BC的中点.（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PBG的距离；（3）若T点是侧棱PB上一动点，设CT与平面PBG所成的角为，求的取值范围.11．(2023·上海体育学院附属金山亭林中学高二期末）如图所示的正四棱柱的底面边长为1，侧棱，点在棱上，且．（1）当时，求三棱锥的体积；（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值；（3）是否存在使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在请说明理由．12．(2023·上海·复旦附中高二期中）在棱长为2的正方体中，点E是BC的中点，点F是CD上的动点.（1）试确定点F的位置，使得平面；（2）若F是CD的中点，求二面角的大小；（3）若F是CD的中点，求到面的距离.13．(2023·上海·高三月考）如图，在直三棱柱中，，，点P､Q分别为､BC的中点，与底面ABC所成的角为.（1）求异面直线BP与所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点C与平面的距离.14．(2023·上海·高三月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，．（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的平面角的余弦值．15．(2023·上海·复旦附中高三开学考试）如图所示，是棱长为a的正方体，M是棱长的中点，N是棱的中点.（1）求直线AN与平面所成角的大小； （2）求到平面ANC的距离.16．(2023·上海·位育中学高二期中）在棱长为的正方体中，E､F分别是与AB的中点.(1)求与截面所成角的大小；(2)求点B到截面的距离.17．(2023·上海市文来中学高二期中）如图：正四棱柱中，底面边长为2，与底面ABCD所成角的大小为，M是的中点，N是BD上的一动点，设.(1)当时，证明：与平面平行；(2)若点N到平面BCM的距离为d，试用表示d，并求出d的取值范围.18．(2023·上海市徐汇中学高二期中）如图，底面为矩形的直棱柱满足：，.(1)设为棱上的动点，求M到的最短距离(2)设、分别为棱、上的动点，判断：三棱锥的体积是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请举例说明.19．(2023·上海市洋泾中学高二月考）如图，是边长为4的正三角形，点是所在平面外一点，且平面，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求直线和平面所成角的大小；(3) 求点A到平面的距离.20．(2023·上海市建平中学高二月考）如图，已知四边形是正方形，平面．(1)求点D到平面的距离；(2)在线段上是否存在点E，使平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．专题06 空间距离的向量求法重难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、填空题1．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）已知平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为___________.【标准答案】求出在法向量方向的投影，投影的绝对值即为距离．【详解详析】由已知，则在法向量方向的投影为，所以到平面的距离为．故答案为：．2．(2023·上海·闵行中学高二期中）在三棱锥中，设向量，，，则顶点到底面的距离为______．【标准答案】【思路指引】求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求解.【详解详析】因为，，设平面的一个法向量，由，令，则，，所以，因为，所以点到底面的距离为，故答案为：.3．(2023·上海市七宝中学高二期中）在长方体中，若，，则点到平面的距离为_______ .【标准答案】【思路指引】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解到平面的距离【详解详析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,所以，设平面的法向量为，则，取，得，所以到平面的距离.故答案为：．【名师指路】本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在立体几何中的应用，合理利用空间向量运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．(2023·上海普陀·二模）在四棱锥中，设向量，，，则顶点到底面的距离为_________【标准答案】2；【思路指引】根据法向量的求法求得平面的法向量，利用点到面的距离的向量求解公式直接求得结果.【详解详析】设平面的法向量则，令，则， 点到底面的距离：本题正确结果：【名师指路】本题考查点到面的距离的向量求法，关键是能够准确求解出平面的法向量，考查学生对于点到面距离公式掌握的熟练程度.5．(2023·上海交大附中高二期中）在正方体中，，则异面直线AB和的距离为___________.【标准答案】【思路指引】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解详析】如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由，则，设是异面直线AB和的公垂线的一个方向向量，则，令，则，所以异面直线AB和的距离为，故答案为：6．(2023·上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知正方体的棱长为6cm，则点到平面的距离等于______________.【标准答案】【思路指引】如图建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离.【详解详析】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，，令，则，∴点到平面的距离.故答案为：.二、解答题7．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图，在长方体中，T为上一点，已知．（1）求直线与平面所成角的大小（用反三角函数表示）；（2）求点到平面的距离．【标准答案】（1）（或）；（2）．方法一（几何法）：（1）连结，由已知可得直线与平面所成的角即为，解三角形可求得直线与平面所成角的大小.（2）运用等体积法可求得点到平面的距离.方法二（向量法）：（1）如图，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系.运用线面角的向量求解方法可求得直线与平面所成角的大小.（2）由点到面的距离的向量方法可求得点到平面的距离.【详解详析】方法一：（1）连结，在长方体中，因为平面，即平面，所以直线与平面所成的角即为，在中，由，，可得，又，故，所以直线与平面所成角的大小为.（2）由已知可得，，所以.又.设点到平面的距离为.在长方体中，因为平面，即平面，再由得，所以，.即点到平面的距离为.方法二：（1）如图，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系.由已知可得(2，0，0)、(2，4，0)、(0，4，0)、(0，0，0)、(0，0，2)，故，又平面的一个法向量，设直线与平面所成角的大小为，则，注意到，故，所以直线与平面所成角的大小为.（2）注意到(0，4，6)，(2，0，6)，及(0，0，2)，(0，4，0)，故，，，设平面的一个法向量为，由已知，得，即，所以，可取，所以点到平面的距离为.即点到平面的距离为.【名师指路】关键点点睛：利用法向量求解空间角和距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.8．(2023·上海·高三月考）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点.（1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小；（2）求点B1到平面PAC的距离.【标准答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成的角的大小即可（2）求出平面的法向量，利用向量法求出点到平面的距离【详解详析】（1）根据题意可得平面, C是弧AB的中点,则 则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图则，， ，， ， ， ， 异面直线与所成的角的大小为．（2）， ， ， ， ，设平面的法向量，则，取，得， 点到平面的距离为：．【名师指路】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.9．(2023·上海·闵行中学高二期末）如图，已知正方体的边长为2，E是线段的中点.（1）证明：平面；（2）若P是线段上的动点，求点P到平面的距离的取值范围.【标准答案】(1)见解析（2）[，]【思路指引】（1）由ABCD是正方形，可得BD⊥AC，再结合AA1⊥BD，利用线面垂直的判定定理即可证明BD⊥平面AA1C1C；（2）建立空间直角坐标系，设P（a，2，0）（0≤a≤2），求出平面B1DE的一个法向量，得到点P与平面B1DE的距离，再求出取值范围即可．【详解详析】（1）因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，因为AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C；（2）如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），E（2，1，0），B1（2，2，2），设P（a，2，0）（0≤a≤2），则（a，2，0），（2，1，0），（2，2，2），设平面B1DE的法向量为（x，y，z），由即，则令x＝1，则y＝﹣2，z＝1，则（1，﹣2，1）设点P与平面B1DE的距离为h，所以h（4﹣a）∈[，]，所以点P与平面B1DE的距离的取值范围是[，]．10．(2023·上海市实验学校高二期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且，，，，E是BC的中点.（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PBG的距离；（3）若T点是侧棱PB上一动点，设CT与平面PBG所成的角为，求的取值范围.【标准答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和直线的方向向量，然后利用向量的夹角公式求解即可；（2）求出平面的一个法向量和的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可；（3）设，求出直线的方向向量与平面的法向量，得到的表达式，然后求出的取值范围．【详解详析】解：（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，2，，，0，，，1，，所以，则，所以异面直线与所成的角的余弦值为；（2）平面的一个法向量为，又，所以点到平面的距离为；（3）设，则，故，，所以，因为，又，，所以，则，所以，故．11．(2023·上海体育学院附属金山亭林中学高二期末）如图所示的正四棱柱的底面边长为1，侧棱，点在棱上，且．（1）当时，求三棱锥的体积；（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值；（3）是否存在使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在请说明理由．【标准答案】（1）；（2）；（3）【思路指引】（1）正四棱柱中，平面，可得；（2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，可得，，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（3）利用向量公式求点到平面的距离，即可求得的值.【详解详析】（1）由，得， 又正四棱柱，则平面，则 . （2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如图），则，，，，即， 又异面直线与所成角的大小为，则, 化简整理得，又，即.（3） ，，，，，设平面的法向量，则，所以，令，，，所以平面的法向量，，则点到平面的距离， 解得： 所以存在，使得点到平面的距离为.12．(2023·上海·复旦附中高二期中）在棱长为2的正方体中，点E是BC的中点，点F是CD上的动点.（1）试确定点F的位置，使得平面；（2）若F是CD的中点，求二面角的大小；（3）若F是CD的中点，求到面的距离.【标准答案】（1）F为中点；（2）；（3）2.【思路指引】（1）建立空间直角坐标系，利用线面垂直计算即得；（2）利用向量法，求两个平面的法向量，再利用向量夹角公式即求；（3）利用向量法，利用点到平面距离的公式易求.【详解详析】（1）如图建立空间直角坐标系，则设，则要使平面，则由得∴即，此时，∴平面，∴F是CD的中点时平面.（2）设平面的法向量为，又所以，∴，令，，设平面的法向量为，则可取，∴，∴二面角的大小为；（3）因为F是CD的中点，由上知平面的法向量为又，∴到面的距离为.13．(2023·上海·高三月考）如图，在直三棱柱中，，，点P､Q分别为､BC的中点，与底面ABC所成的角为.（1）求异面直线BP与所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点C与平面的距离.【标准答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）由已知求得，以B为坐标原点，分别以BC、BA、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出，的坐标，由两向量所成角的余弦值求解异面直线PB与所成角的大小；（2）求出平面的法向量及，由向量法求点C与平面的距离．【详解详析】（1）因为平面ABC，所以为与底面ABC所成的角，即，所以.如图所示建立直角坐标系，则，，，，，则，，，所以异面直线BP与所成的角为.（2）设平面AQC的法向量为，由（1）知，，，由，解得，取，得.又因为，所以点C与平面的距离.14．(2023·上海·高三月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，．（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的平面角的余弦值．【标准答案】（1） （2）【思路指引】（1）建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，由点面距离的向量公式即得解；（2）计算平面PCD的法向量，结合（1）中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解【详解详析】（1）由题意，平面，，，以A为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0），设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=(1，0，﹣1)， =(0，2，0)， =(﹣1，1，0)，则，取x=1，得=(1，0，1)，∴点D到平面PBC的距离． （2）由（1）可得平面PBC的一个法向量为=(1，0，1)，设平面PCD的一个法向量为，， =(﹣1，1，0)，则，取，得，设二面角的平面角为，由图得二面角为钝角故15．(2023·上海·复旦附中高三开学考试）如图所示，是棱长为a的正方体，M是棱长的中点，N是棱的中点.（1）求直线AN与平面所成角的大小； （2）求到平面ANC的距离.【标准答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用公式即可求出答案；（2）设平面ANC的一个法向量为，利用公式即可求出答案.【详解详析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，，在正方体中，因为面，面，所以，又因为，，所以面，所以为面的一个法向量，设直线AN与平面所成角为，则，所以直线AN与平面所成角为；（2）设平面ANC的一个法向量为，则，即，取，则，所以，因为，所以，所以到平面ANC的距离.16．(2023·上海·位育中学高二期中）在棱长为的正方体中，E､F分别是与AB的中点.(1)求与截面所成角的大小；(2)求点B到截面的距离.【标准答案】(1)(2)【思路指引】（1）采用建系法，求出平面的法向量，，设直线与平面所成角的大小为，利用即可求解，我们也可以构造如图所示的线面角，再利用解直角三角形求出角的大小.（2）求出，设与与法向量所成夹角为，利用即可求解；我们也可以利用等积法求出此距离.(1)法一：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，，，，则，即，令，则，，设直线与平面所成角的大小为，则，即.法2：如图，连接，取的中点为，连接，则，而，故、为等腰三角形，故，，而又，故平面，而平面，故平面平面.过作，交于，因为平面，平面平面，故平面，故为与截面所成角.在中，，而，故，故.(2)法1：设与法向量所成夹角为，则点B到截面的距离，故点B到截面的距离为.法2：如图连接，设到平面的距离为，由（1）可得的面积为，而，所以，故.17．(2023·上海市文来中学高二期中）如图：正四棱柱中，底面边长为2，与底面ABCD所成角的大小为，M是的中点，N是BD上的一动点，设.(1)当时，证明：与平面平行；(2)若点N到平面BCM的距离为d，试用表示d，并求出d的取值范围.【标准答案】(1)证明见解析(2)， ．【思路指引】（1）连接，由中位线定理得，再根据线面平行的判定可得证；（2）由平面，得为直线与底面ABCD所成角，求得，以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系如下图所示，运用点到面的距离的向量求解方法可求得N到平面BCM的距离为，根据的范围，可求得的范围．(1)证明：连接，由得N是BD的中点，又M是的中点，所以，又面，面，所以面. (2)解：因为平面，所以为直线与底面ABCD所成角，即，所以，所以以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系如下图所示，则，所以，，又即，所以，设平面BCM的法向量为，则，即，令，得，设MN与平面BCM所成的角为，则，所以N到平面BCM的距离为，所以，所以．18．(2023·上海市徐汇中学高二期中）如图，底面为矩形的直棱柱满足：，.(1)设为棱上的动点，求M到的最短距离(2)设、分别为棱、上的动点，判断：三棱锥的体积是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请举例说明.【标准答案】(1)(2)是，【思路指引】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（2）根据点N到平面的距离为BC，求解.(1)解：距离如图所示空间直角坐标系：设，则，所以，所以M到的短距离为，当时，M到的最短距离是；(2)因为点N到平面的距离为BC，，所以为定值.19．(2023·上海市洋泾中学高二月考）如图，是边长为4的正三角形，点是所在平面外一点，且平面，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求直线和平面所成角的大小；(3) 求点A到平面的距离.【标准答案】(1) 证明见解析；(2) ；(3) .【思路指引】(1) 利用线面垂直的判定定理，证明平面；(2) 建系，利用坐标法求解；(3) 利用(2)中的坐标系，套用点到平面的距离公式求解.【详解详析】(1)证明：因为平面，平面，所以.因为是正三角形，为的中点，所以，又，都在平面内，且相交于点，所以平面.(2) 过点作交与点，因为平面，所以平面,又，所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建系如图，，，，， ，，设平面的法向量为，由得， 解得，取，， 记直线和平面所成角为， 则有，.(3) ,设平面的法向量为由 得 取，则，，点A到平面的距离为.20．(2023·上海市建平中学高二月考）如图，已知四边形是正方形，平面．(1)求点D到平面的距离；(2)在线段上是否存在点E，使平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【标准答案】(1)(2)1【思路指引】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解.(2) 设，根据位置关系，解出即可.(1)以D为原点，DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴，建立空间直角坐标系,则.设平面的法向量，，令，得，点D到平面PAC的距离.(2)假设在PB上存在E点，使PC⊥平面ADE ，则，因为,所以,所以,所以,若PC⊥平面ADE,则PC⊥AE,即,故,此时E为PB的中点时,.