2023年山东省泰安市东平县中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省泰安市东平县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  截止年月，全国学习强国注册用户总数超过人，数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一架婴儿车，其中，，，那么是(    )
 

A.   B.   C.   D.  

6.  某班有人，一次体能测试后，符老师对测试成绩进行了统计．因小芝没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差后来小芝进行了补测，成绩为分，关于该班人的测试成绩，下列说法正确的是(    )

A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小
C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变

7.  如图，是由个同样大小的小正方体组成的几何体，将小正方体移到的正上方后，关于新几何体的三视图描述正确的是(    )

A. 主视图和俯视图改变
B. 俯视图和左视图改变
C. 左视图和俯视图不变
D. 俯视图和主视图不变

8.  如图，为外一点，过点作的切线、，与过圆心的直线交于、两点，点、为切点，线段交于点若，，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中大致为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，已知在菱形中，，以点，为圆心，取大于的长为半径，分别作弧相交于，两点，作直线交边于点作图痕迹如图所示，连接，，若，则下列结论错误的是(    )

A.  B.
C. 菱形的面积为 D.

11.  某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只，与此同时在港口处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰也收到了相关指令，驱逐舰恰好在可疑船只的南偏东的方向上，则可疑船只距离港口的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是(    )
；
；
；
将图象向上平移个单位后与直线有个交点．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为，面积为，则的值为______ ．

14.  正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为______．

15.  我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，则______．

16.  如图，是正方形的一条对角线，是上一点，是延长线上一点，连接，，若，，则的度数为______ ．

17.  如图，在矩形中，将向内翻折，点落在上，记为，折痕为若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则_________
 

18.  如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在将弓形沿轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的坐标是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．
解不等式组：．

20.  本小题分
中国共产党的助手和后备军中国共背团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了：青年大学习；：青年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了______名学生；
补全条形统计图；
若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数；
小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

21.  本小题分
如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．
求证：是的切线；
若，求的长；
延长，交于点，若，求的半径．

22.  本小题分
文美书店决定用不多于元购进甲乙两种图书共本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本元、元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的倍，若用元在文美书店可购买甲种图书的本数比用元购买乙种图书的本数少本．
甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低元，乙种图书售价每本降低元，问书店应如何进货才能获得最大利润？购进的两种图书全部销售完．

23.  本小题分
如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
连接，，求的面积；
如图，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
 

24.  本小题分
【基础模型】：
如图，在中，为上一点，求证：．
【尝试应用】：
如图，在平行四边形中，为上一点，为延长线上一点，若，，求的长．
【更上层楼】：
如图，在菱形中，是直线上一点，是菱形内一点，，，，，，请直接写出菱形的边长．
 

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，．
求抛物线的解析式；
点在第四象限的抛物线上，若的面积为时，求点的坐标；
点在抛物线上，当时，求点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
在，，，这四个数中最大的数是．
故选：．
先化简，再根据实数的大小比较方法进行比较即可求解．
此题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：．
根据同底数幂乘法，合并同类项，完全平方公式和积的乘方计算法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘法，合并同类项，完全平方公式和积的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据，，易求，而是外角，进而可求．
本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，解题的关键是求出．
【解答】
解：如右图，
，，
，
，，
．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：小芝的成绩和其他人的平均数相同，都是分，
该班人的测试成绩的平均分为分，方差变小，
故选：．
根据平均数，方差的定义计算即可．
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：将小正方体移到的正上方后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，俯视图和左视图没有发生改变，主视图中间的一列小正方形个数由个变为个，第三列小正方形的个数由个变为个．
故选：．
利用结合体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化；
此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，
、为的切线，
，，，
，
四边形为正方形，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
则，
解得：，
，
故选：．
连接、，根据切线的性质得到，，，证明四边形为正方形，设，根据正切的定义、勾股定理列式计算，求出，进而求出．
本题考查的是切线的性质、切线长定理、正切的定义、正方形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数图象开口方向向下，
，
对称轴为直线，
，
与轴的正半轴相交，
，
的图象经过第一二四象限，
当时，，
反比例函数的图象在第一三象限，
只有选项图象符合．
故选：．
根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
由作图可知，，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
菱形的面积，
故A，，D正确，
故选：．
利用线段的垂直平分线的性质求出，，利用等腰三角形的性质求出，，可得结论．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：船只在港口北偏东方向，在港口处北偏东方向，
，
驱逐舰在可疑船只的南偏东的方向上，
，
，
，，
．
故选：．
由题目条件，，得到是直角三角形，由的正弦定义即可求解．
本题考查解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图象可知二次函数与轴的交点为和，
二次函数的对称轴为，
，
，故正确；
由图象可知二次函数与轴的交点为，
二次函数与轴的交点为，
，故错误；
由图象可知二次函数的开口向上，对称轴在轴的右侧，
，，
又，
，故正确；
将点和代入，
，解得，
二次函数的表达式为：，
当时，，
图象上当时，函数顶点的坐标为，
将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：

此时，直线与函数图象有个交点，故正确，
综上：正确的有，
故选：．
根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故正确；由图象可判断二次函数与轴的交点为，即，故错误；根据图象判断，，结合，可知，故正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有个交点，故正确．
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数法求二次函数的表达式等是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：长与宽分别为、的长方形，它的周长为，面积为，
，，




．
故答案为：．
利用面积公式得到，由周长公式得到，将原式因式分解代入求值即可．
本题考查了因式分解提取公因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，
阴影部分的面积为：，
米粒落在阴影部分的概率，
故答案为：．
计算出阴影部分的面积，阴影部分的面积占正方形面积的几分之几，就是米粒落在阴影区域的概率．
考查几何概率的意义和求法，计算相应部分的面积是正确解答的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：大正方形的面积是，小正方形的面积是，
，，
根据题意，设，
则，
在中，，
，
解得：，舍去，
，
故答案为：．
根据题意得出，，设，结合图形得出，利用勾股定理列方程求解．
题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，利用方程思想解题是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如右图，连接，
为正方形的对角线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即为等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据证≌，得出，再证为等腰直角三角形，得出，即可求出的度数．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等，属于中档题．
证明，，推出≌，，设，在中，通过勾股定理可求解．
【解答】
解：四边形为矩形，
，，
由翻折知，≌，≌，，
，，，
，
，
，
又，，
≌，
，
在中，
，，
，
设，则，
，
，
解得，负值舍去，，
故答案为．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，这是半圆翻滚一周的示意图，
运动前圆心在点且与轴相切，
该半圆所在圆的半径为，
半圆每翻滚一周，它的圆心经的路径长为，
，且，
半圆在翻滚周回到最初的状态后又向前翻滚周，
此时圆心的横坐标为，纵坐标为，
圆心的坐标为，
故答案为：．
半圆每翻滚一周其圆心经过的路径长等于四段半径为且圆心角为的弧长的和，而圆心的横坐标增加的长度是两条半径为且圆心角为的弧长及两条长为的线段长的和，先由圆心经过的路径长为算出半圆翻滚的周数，再判断圆心的坐标即可．
此题重点考查弧长的计算、切线的性质、点的运动轨迹问题的求解、图形与坐标等知识与方法，弄清每翻滚一周圆心所经过路径的图形是解题的关键．
 

19.【答案】解：



；


，
当时，
原式
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
该不等式的解集为：． 

【解析】根据分式的混合运算化简代数式，根据负整数指数幂，零指数幂，化简二次根式与绝对值，求得的值，进而代入化简结果进行计算即可求解；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握分式的化简求值，解一元一次不等式组是解题的关键．
 

20.【答案】解：；
的人数为：名，
补全条形统计图如下：

名，
答：估计参加项活动的学生为名；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为． 

【解析】由的人数除以所占的比例即可求得，一共抽取的学生为：名；
求出的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：是的直径，
，
，
，，
，
，即，
，
是的直径，
是的切线；
解：连接，如图：

是的直径，
，
平分，
，
，，
，，
，
；
解：连接，如图：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
∽，
，即，
，
的半径是． 

【解析】由是的直径，可得，而，，有，故，可得，是的切线；
连接，由是的直径，得，又平分，有，故，，可得，；
连接，可得，有，从而，设，证明∽，及有，解得的半径是．
本题考查圆的性质及应用，涉及相似三角形判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，平行线转化比例解决问题．
 

22.【答案】解：设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解
甲种图书售价为每本元
答：甲种图书售价每本元，乙种图书售价每本元
设甲种图书进货本，总利润元，则


解得
随的增大而增大
当最大时最大
当本时，最大
此时，乙种图书进货本数为本
答：甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大． 

【解析】根据题意，列出分式方程即可；
先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．
本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．
 

23.【答案】解：点，点在反比例函数上，
，
，，
反比例函数为，点，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数为：；
令，则，
，
；
如图，过点作轴的平行线，作于，于，

设，
，
，，
把线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，
解得或舍去，
 

【解析】用待定系数法即可求解；
求得点的坐标，然后根据求得即可；
过点作轴的平行线，作于，于，设，通过证得≌，得到，代入，即可求得的值，从而求得点的坐标．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．
 

24.【答案】【基础模型】证明：，，
∽．
，
；
【尝试应用】解：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
又，
∽，
，
．
，
，
；
【更上层楼】解：如图，分别延长，相交于点，

四边形是菱形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
菱形的边长． 

【解析】【基础模型】证明∽，得出，则可得出结论；
【尝试应用】证明∽，得出比例线段，则，求出，则可求出；
【更上层楼】分别延长，相交于点，证得四边形为平行四边形，得出，，，证明∽，得出比例线段，则，可求出，即可求解．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
 

25.【答案】解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
抛物线，当时，则，
解得，不符合题得，舍去，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
如图，作轴于点，交于点，
设，则，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为．
如图，取点中，连接，则，
，，
∽，
，
，
，
，
，
当点在轴的上方，设交轴于点，
，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
由，
得，
解得，不符合题意，舍去，
点的横坐标为；
当点在轴的下方，设交轴于点，
 直线，当时，，
，
，，，
≌，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
由，
得，
解得，不符合题意，舍去，
点的横坐标为，
综上所述，点的横坐标为或． 

【解析】将、代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可得到抛物线的解析式为；
先求得，则，再求得直线的解析式为，作轴于点，交于点，设，则，所以，可求得，由，得，解方程求出的值即可；
取点中，连接，则，可证明∽，得，再证明，则，即可证明，再分两种情况讨论，一是点在轴的上方，则，可求得直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标；二是点在轴的下方，可求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．