2021年贵州省六盘水市盘州市中考数学一模试卷

这是一份2021年贵州省六盘水市盘州市中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）要使二次根式有意义，则a的值可以为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣4
2．（3分）某校开展“学党史小标兵”评比活动，小刚制作了一个表面写着“学党史，强信念”的正方体纸盒，纸盒的展开图如图所示，则与“党”字相对面上的字为（ ）
A．学B．强C．信D．念
3．（3分）若（x﹣3）2＝x2+ax+9，则a的值为（ ）
A．6B．3C．﹣3D．﹣6
4．（3分）已知等腰三角形的一个角为98°，则它的一个底角为（ ）
A．98°B．82°C．41°D．98°或41°
5．（3分）分式的值为0，则a的值为（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
6．（3分）如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若AD＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．8B．16C．24D．32
7．（3分）已知x+y＝2，则x2﹣y2+4y的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．（3分）如图，六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．πD．
9．（3分）π的整数部分是m，小数部分是n，a＝m﹣n，b＝π﹣n，c＝π+n，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a
10．（3分）直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝mx+n交于点A，l1、l2的与x轴分别交于B、C两点，则不等式组x+2＜0＜mx+n的解集为（ ）
A．x＜﹣2B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．﹣1＜x＜0
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m＝﹣15有两个相等的实数根，且m是△ABC的边AC的长，若BC＝10，AB＝20，则∠A为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
12．（3分）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．若OA＝10，DE＝12，则cs∠MON的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共16分）
13．（4分）已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0），从1，﹣2，3，﹣4这四个数中任取一个数作为k的值，得到的反比例函数中，其图象位于第二、四象限内的概率为 ．
14．（4分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周4000件提高到5600件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件 件．
15．（4分）如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE＝2，将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF、FC，则线段FC的长度是 ．
16．（4分）如图，点A、B的坐标分别为A（0，4）、B（4，0），点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ．
三、解答题（本大题9小题，共98分）
17．（10分）某校食堂管理员发现学生在营养餐就餐时存在浪费现象．为了培养学生养成“厉行节约，反对浪费”的优良品质，为此学校开展“营养餐浪费饭菜情况”调查．随机抽取了若干名学生，调查内容为：
A．全吃完
B．饭有剩
C．菜有剩
D．菜饭都剩
根据统计结果绘制了如下不完整的统计图表：
根据图表提供信息回答下列问题：
（1）这次被抽查的学生有多少人？
（2）求表中m、n的值，并补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，请估计某日营养餐有剩饭的学生人数，按平均每人剩10克米饭计算，这餐营养餐将浪费多少千克米饭？
18．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B，C分别作BF∥CD，CF∥AB，BF、CF交于点F．
（1）求证：四边形CDBF是菱形；
（2）当AC和BC满足怎样的关系时，四边形CDBF是正方形？并证明你的结论．
19．（10分）2021年贵州省将启动高考综合改革，之后新高考将采用“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、英语三门为必考科目；“1”指物理、历史两门科目任选1门作为高考科目；“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中任选2门作为高考科目．
（1）某考生选中物理作为高考科目的概率为 ；
（2）请用树状图求该考生同时选中物理、化学、生物作为高考科目的概率．
20．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，某市各学校准备购买演出服装筹备唱红歌颂党恩活动，如表是某服装店的销售情况：
（1）两种服装的售价各是多少元？
（2）若每套男装成本30元，女装成本40元，该店准备用不多于36000元的资金购进这两种服装1000套，并在全部售出的情况下能否实现14000元的利润？若能，请给出相应的购进方案；若不能，请说明理由．
21．（10分）灯塔是一种固定的航标，用于引导船舶在危险区域安全航行．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时30海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
22．（10分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
课题学习：如何解一元二次不等式？
例题：解一元二次不等式m2﹣1＞0．
解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）
∴（m+1）（m﹣1）＞0．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有：
（1）或（2）
解不等式组（1）得：m＞1
解不等式组（2）得：m＜﹣1
∴（m+1）（m﹣1）＞0的解集为m＞1或m＜﹣1．
即：一元二次不等式m2﹣1的解集为m＞1或m＜﹣1．
任务1：上面解一元二次不等式的过程中体现了数学的一些基本思想方法，请在下列选项中选出你认为正确的一项： ；（填选项即可）
A．分类讨论思想
B．数形结合思想
C．公理化思想
D．函数思想
任务2：一元二次不等式2m2﹣6m＞0的解集为 ；（直接填写结果，不写解答过程）
任务3：仿照例题中的数学思想方法，求分式不等式＜0的解集．
23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于点A（m，4），B（﹣4，1）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若A、B两点关于直线l对称，且直线l与直线AB交于点C，求点C的坐标；
（3）将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，求△A'OB'的面积．
24．（12分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE＝CE，PB与⊙O相切，交EC的延长线于点P．
（1）求证：PB＝PE．
（2）若⊙O的半径为2，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．
25．（14分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与两坐标轴的交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE，求线段OM的长；
（3）如图2，若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，＝m．
①当m＝时，求点P的坐标；
②求m的最大值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）要使二次根式有意义，则a的值可以为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣4
【解答】解：由题意得：a≥0，
则a的值可以是0，不可能是﹣1，﹣2，﹣4，
故选：A．
2．（3分）某校开展“学党史小标兵”评比活动，小刚制作了一个表面写着“学党史，强信念”的正方体纸盒，纸盒的展开图如图所示，则与“党”字相对面上的字为（ ）
A．学B．强C．信D．念
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“党”与“强”是对面，
故选：B．
3．（3分）若（x﹣3）2＝x2+ax+9，则a的值为（ ）
A．6B．3C．﹣3D．﹣6
【解答】解：（x﹣3）2＝x2﹣6x+9＝x2+ax+9，
则a＝﹣6．
故选：D．
4．（3分）已知等腰三角形的一个角为98°，则它的一个底角为（ ）
A．98°B．82°C．41°D．98°或41°
【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角为98°，
①当这个角是底角时，根据三角形内角和为180°可知不符合题意；
②当这个角98°是顶角，该等腰三角形的底角的度数是（180°﹣98°）÷2＝41°．
故选：C．
5．（3分）分式的值为0，则a的值为（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
【解答】解：由题意可得，
解得：a＝0，
故选：B．
6．（3分）如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若AD＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A．8B．16C．24D．32
【解答】解：∵△AEC为等腰直角三角形，
∴∠AEC＝90°，AE＝CE，
由勾股定理得：AE2+CE2＝AC2，
∴AE＝CE＝AC，
同理：CF＝BF＝BC，AD＝BD＝AB，
∵AC2+CB2＝AB2＝42+42＝32，
∴图中阴影部分的面积＝×AE2+×CF2+×AD2＝××（AC2+CB2+AB2）＝＝32，
故选：D．
7．（3分）已知x+y＝2，则x2﹣y2+4y的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【解答】解：∵x+y＝2，
∴原式＝（x+y）（x﹣y）+4y＝2（x﹣y）+4y＝2x﹣2y+4y＝2x+2y＝2（x+y）＝4．
故选：C．
8．（3分）如图，六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．πD．
【解答】解：设圆心为O，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，
∴∠AOB＝60°，∠ABC＝120°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△AOB＝×22＝，
∴阴影部分的面积为S正六边形ABCDEF﹣S扇形AOC﹣S扇形DOF＝6﹣＝6﹣，
故选：A．
9．（3分）π的整数部分是m，小数部分是n，a＝m﹣n，b＝π﹣n，c＝π+n，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a
【解答】解：∵π的整数部分是m，小数部分是n，
∴m＝3，n＝π﹣3，
∵a＝m﹣n，b＝π﹣n，c＝π+n，
∴a＝3﹣（π﹣3）＝6﹣π＜3，b＝π﹣（π﹣3）＝3，c＝π+π﹣3＝2π﹣3＞3，
∴c＞b＞a．
故选：D．
10．（3分）直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝mx+n交于点A，l1、l2的与x轴分别交于B、C两点，则不等式组x+2＜0＜mx+n的解集为（ ）
A．x＜﹣2B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．﹣1＜x＜0
【解答】解：由图象可知满足x+2＜0＜mx+n的部分为B点点左侧，
把y＝0代入y＝x+2得x+2＝0，解得x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∴不等式组x+2＜0＜mx+n的解集为x＜﹣2，
故选：A．
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m＝﹣15有两个相等的实数根，且m是△ABC的边AC的长，若BC＝10，AB＝20，则∠A为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：方程变形为：x2+mx+m+15＝0，
根据题意得Δ＝m2﹣4（m+15）＝0，
解得m1＝10，m2＝﹣4，
∴AC＝10，
∵BC＝10，AB＝20，
而102+（10）2＝202，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°，
∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝60°．
故选：C．
12．（3分）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．若OA＝10，DE＝12，则cs∠MON的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．
由作图可知，∠AOD＝∠DOE，OA＝OB，
∵AD∥EO，
∴∠ADO＝∠DOE，
∴∠AOD＝∠ADO，
∴AO＝AD，
∴AD＝OB，AD∥OB，
∴四边形AOBD是菱形，
∴OB＝BD＝OA＝10，BD∥OA，
∴∠MON＝∠DBE，∠BOD＝∠BDO，
∵DE⊥OD，
∴∠BOD+∠DEO＝90°，∠ODB+∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE＝10，
∴OE＝2OB＝20，
∴OD＝＝＝16，
∵DH⊥OE，
∴DH＝＝＝，
∴BH＝＝＝，
∴cs∠MON＝cs∠DBH＝＝．
故选：B．
二、填空题（每题4分，共16分）
13．（4分）已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0），从1，﹣2，3，﹣4这四个数中任取一个数作为k的值，得到的反比例函数中，其图象位于第二、四象限内的概率为 ．
【解答】解：依题意共有4种，
要使图象在二、四象限，则k＜0，满足条件的有2种，
因此概率为：＝．
故答案为：．
14．（4分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周4000件提高到5600件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件 200 件．
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意，得：＝，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
即原来平均每人每周投递快件200件，
故答案为：200．
15．（4分）如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE＝2，将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF、FC，则线段FC的长度是 2 ．
【解答】解：过点F作FH⊥CD于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DA＝CD，∠D＝90°，
∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴EA＝EF，∠AEF＝90°，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠FEH+∠AED＝90°，
∴∠EAD＝∠FEH，
在△ADE和△EHF中，
，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴DE＝FH＝2，AD＝EH，
∴EH＝DC，
即DE+CE＝CH+EC，
∴DE＝CH＝2，
在Rt△CFH中，FC＝＝＝2，
16．（4分）如图，点A、B的坐标分别为A（0，4）、B（4，0），点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 2+1 ．
【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝4，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，
∴BD＝4，
∴CD＝4+2，
∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1，
故答案为：2+1．
三、解答题（本大题9小题，共98分）
17．（10分）某校食堂管理员发现学生在营养餐就餐时存在浪费现象．为了培养学生养成“厉行节约，反对浪费”的优良品质，为此学校开展“营养餐浪费饭菜情况”调查．随机抽取了若干名学生，调查内容为：
A．全吃完
B．饭有剩
C．菜有剩
D．菜饭都剩
根据统计结果绘制了如下不完整的统计图表：
根据图表提供信息回答下列问题：
（1）这次被抽查的学生有多少人？
（2）求表中m、n的值，并补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，请估计某日营养餐有剩饭的学生人数，按平均每人剩10克米饭计算，这餐营养餐将浪费多少千克米饭？
【解答】解：（1）这次被抽查的学生数＝5÷0.1＝50（人）；
答：这次被抽查的学生有50人．
（2）m＝50×0.6＝30；n＝10÷50＝0.2；
条形统计图如下：
（3）这餐晚饭有剩饭的学生人数为：1800×（0.2+0.1）＝540（人），540×10＝5400（克）＝5.4（千克）．
答：这餐晚饭将浪费5.4千克米饭．
18．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B，C分别作BF∥CD，CF∥AB，BF、CF交于点F．
（1）求证：四边形CDBF是菱形；
（2）当AC和BC满足怎样的关系时，四边形CDBF是正方形？并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵BF∥CD，CF∥AB，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，
∴四边形CDBF是菱形；
（2）解：当AC＝BC时，四边形CDBF是正方形．
证明：∵AC＝BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
由（1）知，四边形CDBF是菱形，
∴四边形CDBF是正方形．
19．（10分）2021年贵州省将启动高考综合改革，之后新高考将采用“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、英语三门为必考科目；“1”指物理、历史两门科目任选1门作为高考科目；“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中任选2门作为高考科目．
（1）某考生选中物理作为高考科目的概率为 ；
（2）请用树状图求该考生同时选中物理、化学、生物作为高考科目的概率．
【解答】解：（1）某考生选中物理作为高考科目的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有24种等可能的结果，其中该考生同时选中物理、化学、生物作为高考科目的结果数为2，
所以该考生同时选中物理、化学、生物作为高考科目的概率＝＝．
20．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，某市各学校准备购买演出服装筹备唱红歌颂党恩活动，如表是某服装店的销售情况：
（1）两种服装的售价各是多少元？
（2）若每套男装成本30元，女装成本40元，该店准备用不多于36000元的资金购进这两种服装1000套，并在全部售出的情况下能否实现14000元的利润？若能，请给出相应的购进方案；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设男装的售价是x元，女装的售价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：男装的售价是50元，女装的售价是45元．
（2）该店准备用不多于36000元的资金购进这两种服装1000套，并在全部售出的情况下能实现14000元的利润，
设购进男装m套，则购进女装（1000﹣m）套，
依题意得：（50﹣30）m+（45﹣40）（1000﹣m）＝14000，
解得：m＝600，
∴30m+40（1000﹣m）＝30×600+40×（1000﹣600）＝34000＜36000，
∴该店准备用不多于36000元的资金购进这两种服装1000套，并在全部售出的情况下能实现14000元的利润，购进方案为：购进600套男装，400套女装．
21．（10分）灯塔是一种固定的航标，用于引导船舶在危险区域安全航行．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时30海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：（1）由题意得，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣135°＝15°；
（2）海监船继续向正东方向航行安全，理由如下：
作PH⊥AB于H，如图：
则△PBH是等腰直角三角形，
∴BH＝PH，
设BH＝PH＝x海里，
由题意得：AB＝30×＝15（海里），
在Rt△APH中，tan∠PAH＝tan30°＝＝，
即＝，
解得：x＝≈20.49＞20，且符合题意，
∴海监船继续向正东方向航行安全．
22．（10分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
课题学习：如何解一元二次不等式？
例题：解一元二次不等式m2﹣1＞0．
解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）
∴（m+1）（m﹣1）＞0．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有：
（1）或（2）
解不等式组（1）得：m＞1
解不等式组（2）得：m＜﹣1
∴（m+1）（m﹣1）＞0的解集为m＞1或m＜﹣1．
即：一元二次不等式m2﹣1的解集为m＞1或m＜﹣1．
任务1：上面解一元二次不等式的过程中体现了数学的一些基本思想方法，请在下列选项中选出你认为正确的一项： A ；（填选项即可）
A．分类讨论思想
B．数形结合思想
C．公理化思想
D．函数思想
任务2：一元二次不等式2m2﹣6m＞0的解集为 m＞3或m＜0 ；（直接填写结果，不写解答过程）
任务3：仿照例题中的数学思想方法，求分式不等式＜0的解集．
【解答】解：任务1：上面解一元二次不等式的过程中体现了分类讨论思想，
故答案为：A；
任务2：∵2m2﹣6m＞0，
∴m（m﹣3）＜0，
∴①或②，
解①得m＞3；解②得m＜0，
故答案为：m＞3或m＜0；
任务3：∵分式不等式＜0，
∴①或②，
解①得；解②无解．
故分式不等式＜0的解集为．
23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于点A（m，4），B（﹣4，1）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若A、B两点关于直线l对称，且直线l与直线AB交于点C，求点C的坐标；
（3）将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，求△A'OB'的面积．
【解答】解：（1）把B（﹣4，1）代入反比例函数y＝，得k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为：，
把A（m，4）代入，得m＝﹣1，
∴A（﹣1，4），
把A（﹣1，4），B（﹣4，1）都代入一次函数y＝ax+b，得
，
解得，
∴一次函数的解析式为：y＝x+5；
（2）∵A、B两点关于直线l对称，
∴直线l⊥AB，
∵直线l与直线AB交于点C，
∴点C是AB的中点
∵A（﹣1，4），B（﹣4，1），
∴C（﹣，）；
（3）连接OA、OB，如图，
令x＝0时，则y＝x+5＝5，
∴N（0，5），
∴ON＝5，
令y＝0，得0＝x+5，解得x＝﹣5，
∴M（﹣5，0），
∴OM＝5，
∴S△OAB＝S△OMN﹣S△OAN﹣S△OBM＝＝．
由旋转的性质知，．
24．（12分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE＝CE，PB与⊙O相切，交EC的延长线于点P．
（1）求证：PB＝PE．
（2）若⊙O的半径为2，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠BEP＝∠EAC+∠ECA＝2∠EAC，
∵∠BOC＝2∠EAC，
∴∠BOC＝∠BEP，
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠PBN+∠OBN＝90°．
∵∠OBN+∠COB＝90°，
∴∠PBN＝∠COB．
∴∠PEB＝∠PBN．
∴PB＝PE；
（2）连接OB、BC、OP，如图3，
∵N为OC的中点，
∴CN＝ON＝OC＝OB＝，
∴∠OBN＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，
∴PQ≥OP﹣OQ，
∴当P、Q、O三点共线时，PQ最小，
∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，
∵∠A＝∠COB＝30°，
∴∠PEB＝2∠A＝60°，
∠ABP＝90°﹣30°＝60°，
∴△PBE是等边三角形，
在Rt△OBN中，根据勾股定理得，BN＝3，
∴AB＝2BN＝6，
设AE＝x，则CE＝x，EN＝3﹣x，
Rt△CNE中，x2＝+（3﹣x）2，解得：x＝2，
∴EN＝1，
∴BE＝PB＝3+1＝4，
在Rt△OPB中，OP＝，
∴PQ＝2，
则线段PQ的最小值是 2．
25．（14分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与两坐标轴的交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE，求线段OM的长；
（3）如图2，若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，＝m．
①当m＝时，求点P的坐标；
②求m的最大值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与两坐标轴的交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，
∴将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BE交y轴于点M，
从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝1，
∵CD∥x轴交抛物线于点D，
故点D（2，﹣3），
由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCB＝45°，
∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，
而BC＝BC，
故△BCD≌△BCM（ASA），
∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，
故点M（0，﹣1），
∴线段OM的长为1；
（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，
则△PFN∽△AFB，则＝，
而＝m，
则＝＝，
解得：m＝PN，
①当m＝时，则PN＝2，
设点P（t，t2﹣2t﹣3），
由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，故点N（t﹣2，t﹣5），
故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，
解得：t＝1或2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）；
②m＝PN＝[t﹣（t2﹣2t）]＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，故m的最大值为．选项
频数
频率
A
m
0.6
B
10
n
C
5
0.1
D
5
0.1
销售数量
销售收入（元）
男装（套）
女装（套）
2
1
145
1
3
185
选项
频数
频率
A
m
0.6
B
10
n
C
5
0.1
D
5
0.1
销售数量
销售收入（元）
男装（套）
女装（套）
2
1
145
1
3
185