2021年广东省广州市华南师范大学附属中学九年级中考二模数学试卷

这是一份2021年广东省广州市华南师范大学附属中学九年级中考二模数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ）
A．﹣2021B．2021C．D．﹣
2．（3分）2020年我国武汉暴发新冠肺炎疫情，全国人民发扬“一方有难．八方支援”的精神，积极参与到武汉防疫抗疫保卫战中．据统计，参与到武汉防疫抗疫中的全国医护人员约为42000人，将42000这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．42×103B．4.2×104C．0.42×105D．4.2×103
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3x2＝x6B．（﹣2x3）（﹣3x2）＝6x5
C．（﹣2x）2＝﹣4x2D．x2+x2＝2x4
4．（3分）已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
5．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2
6．（3分）分式＝0，则x的值是（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．0
7．（3分）如图，AB是半圆O的直径，AC、BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC＝（ ）
A．4.5B．3C．2D．1.5
8．（3分）直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝x2+2x+1﹣m与x轴的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
9．（3分）已知点（x1，y1），点（x2，y2），点（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x3＜0＜x1＜x2，则（
）
A．y3＜0＜y1＜y2B．y3＜0＜y2＜y1
C．y2＜y1＜0＜y3D．y3＜y1＜y2＜0
10．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7B．﹣14C．28D．﹣56
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：mn+4m＝ ．
12．（3分）若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）分式方程＝的解为 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），点P（0，y）为y轴上的一个动点，当y＝ 时，线段PA的长得到最小值．
15．（3分）如图，圆锥的母线长l为10cm，侧面积为50πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝ cm．
16．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确的是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．计算：（）﹣1﹣2c30°+|﹣|．
18．如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF．
19．先化简，再求值：÷（﹣），其中x＝2+．
20．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）求扇形统计图中C所对圆心角的度数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB交该图象于点C，连接OC．
（1）求k的值；
（2）求△OAC的面积．
22．随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．
（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．
24．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣4，0），C（0，2），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是AC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求的最大值．
（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得∠DCF等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．
25．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin∠BAC＝．设AP的长为x．
（1）如图1，过点作PM⊥AB于M交CD于N，求证：△BMP∽△PNE．
（2）①试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．
（3）当△PCE是等腰三角形时，请求出x的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ）
A．﹣2021B．2021C．D．﹣
【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，
故选：B．
2．（3分）2020年我国武汉暴发新冠肺炎疫情，全国人民发扬“一方有难．八方支援”的精神，积极参与到武汉防疫抗疫保卫战中．据统计，参与到武汉防疫抗疫中的全国医护人员约为42000人，将42000这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．42×103B．4.2×104C．0.42×105D．4.2×103
【解答】解：42000＝4.2×104，
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x3x2＝x6B．（﹣2x3）（﹣3x2）＝6x5
C．（﹣2x）2＝﹣4x2D．x2+x2＝2x4
【解答】解：A、应为x3x2＝x5，故本选项错误；
B、（﹣2x3）（﹣3x2）＝6x5，故本选项正确；
C、应为（﹣2x）2＝4x2，故本选项错误；
D、不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选：B．
4．（3分）已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【解答】解：∵点P在半径为5cm的圆内，
∴点P到圆心的距离小于5cm，
所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；
故选：A．
5．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．
故选：D．
6．（3分）分式＝0，则x的值是（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．0
【解答】解：∵分式＝0，
∴x2﹣1＝0且x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：A．
7．（3分）如图，AB是半圆O的直径，AC、BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC＝（ ）
A．4.5B．3C．2D．1.5
【解答】解：∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BC＝2OD＝2×1.5＝3．
故选：B．
8．（3分）直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝x2+2x+1﹣m与x轴的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
【解答】解：∵直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，
∴2m＜0，
又由抛物线y＝x2+2x+1﹣m的解析式可知，△＝22﹣4（1﹣m）＝4m＜0，
∴抛物线与x轴无交点．
故选：A．
9．（3分）已知点（x1，y1），点（x2，y2），点（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，若x3＜0＜x1＜x2，则（
）
A．y3＜0＜y1＜y2B．y3＜0＜y2＜y1
C．y2＜y1＜0＜y3D．y3＜y1＜y2＜0
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
又∵x3＜0＜x1＜x2，
∴y3＜0，y1＞0，y2＞0，且y1＞y2，
∴y3＜0＜y2＜y1，
故选：B．
10．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7B．﹣14C．28D．﹣56
【解答】解：不等式组整理得：，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣2，即3y＝a+2，
解得：y＝，
由y为正整数解，且y≠2得到a＝1，7
1×7＝7，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：mn+4m＝ m（n+4） ．
【解答】解：mn+4m＝m（n+4），
故答案为：m（n+4）．
12．（3分）若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥0 ．
【解答】解：若式子﹣2在实数范围内有意义，
则x的取值范围是：x≥0．
故答案为：x≥0．
13．（3分）分式方程＝的解为 x＝﹣ ．
【解答】解：去分母，得x﹣2＝6x，
去括号，得5x＝﹣2，
∴x＝﹣．
经检验，x＝﹣是原方程的解．
故答案为：x＝﹣．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），点P（0，y）为y轴上的一个动点，当y＝ 3 时，线段PA的长得到最小值．
【解答】解：根据垂线段最短可知，当PA⊥y轴时，PA的值最短，此时P（0，3），
∴y＝3，
故答案为：3．
15．（3分）如图，圆锥的母线长l为10cm，侧面积为50πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝ 5 cm．
【解答】解：∵圆锥的母线长是10cm，侧面积是50πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝10π（cm），
∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴r＝＝＝5（cm），
故答案为：5．
16．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确的是 ①②③④ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B＝∠EAC＝60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF＝∠ACE，
∵∠AEH＝∠B+∠BCE，
∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；
故②正确；
在HD上截取HK＝AH，连接AK，
∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，
∴△AHK是等边三角形，
∴AK＝AH，∠AKH＝60°，
∴∠AKD＝∠AHC＝120°，
在△AKD和△AHC中，
，
∴△AKD≌△AHC（AAS），
∴CH＝DK，
∴DH＝HK+DK＝AH+CH；
故③正确；
∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH＝OD：AD，
∴AD2＝OD•DH．
故④正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．计算：（）﹣1﹣2c30°+|﹣|．
【解答】解：原式＝3﹣2×+
＝3﹣+
＝3．
18．如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF．
【解答】证明：如图，连接BD，
在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，
在△EDB和△FDB中，
，
∴△EDB≌△FDB（SAS），
∴BE＝BF．
19．先化简，再求值：÷（﹣），其中x＝2+．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝2+时，
原式＝．
20．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）求扇形统计图中C所对圆心角的度数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民人数是：60÷10%＝600（人）；
（2）C类的人数是：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
C类所占的百分比是：×100%＝20%，
A类所占的百分比是：×100%＝30%．
；
（3）扇形统计图中C所对圆心角的度数是：360°×20%＝72°；
（4）画树状图如下：
则他第二个吃到的恰好是C粽的概率是：＝．
21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB交该图象于点C，连接OC．
（1）求k的值；
（2）求△OAC的面积．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（6，4），点D为OA的中点，
∴点D的坐标为（3，2），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝3×2＝6；
（2）由题意得，点C的横坐标为6，
∴点C的纵坐标为：＝1，
∴AC＝4﹣1＝3，
∴△OAC的面积＝×6×3＝9．
22．随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？
【解答】解：（1）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，根据题意可得：
2000（1+x）2＝12500，
解得：x1＝1.5＝150%，x2＝﹣3.5（不合题意舍去），
答：该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；
（2）设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机（100﹣a）架，需要成本为w元，依据题意可得：
a≤3（100﹣a），
解得：a≤75，
w＝200a+300（100﹣a）＝﹣100a+30000，
∵﹣100＜0，
∴当a的值增大时，w的值减小，
∵a为整数，
∴当a＝75时，w取最小值，此时100﹣75＝25，
w＝﹣100×75+30000＝22500，
∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．
（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．
【解答】（1）解：如图1所示，⊙O即为所求；
（2）证明：如图2，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（3）解：设⊙O的半径为r，
∵DF⊥AE，
∴DF＝GF＝DG＝4，
在Rt△ODF中，∠OFD＝90°，
OD＝r，OF＝r﹣2，DF＝4，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
r＝5，
∴⊙O的半径为5．
24．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣4，0），C（0，2），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是AC上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求的最大值．
（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得∠DCF等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2﹣x+2；
（2）如图1，令y＝0，
∴﹣x2﹣x+2＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），
过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交AC于N，
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴＝＝，
设D（a，﹣a2﹣a+2），
∴M（a，a+2），
∵B（1，0），
∴N（1，），
∴＝＝＝﹣（a+2）2+；
∴当a＝﹣2时，的最大值是；
（3）∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC＝2，BC＝，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，
∴P（﹣，0），
∴PA＝PC＝PB＝，
∴∠CPO＝2∠BAC，
∴tan∠CPO＝tan（2∠BAC）＝，
过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
如图2，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG＝∠BAC，
∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，
即＝，
令D（a，﹣a2﹣a+2），
∴DR＝﹣a，RC＝﹣a2﹣a，
∴＝，
∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2，
∴点D的横坐标xD＝﹣2．
25．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin∠BAC＝．设AP的长为x．
（1）如图1，过点作PM⊥AB于M交CD于N，求证：△BMP∽△PNE．
（2）①试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．
（3）当△PCE是等腰三角形时，请求出x的值．
【解答】（1）证明：∵∠PMB＝∠PNE＝∠BPE＝90°，
∴∠BPM+∠EPN＝90°，∠EPN+∠PEN＝90°，
∴∠BPM＝∠PEN，
∴△BMP∽△PNE；
（2）①结论：的值为定值．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，∠ABC＝90°，
∴sin∠BAC＝，
∴AC＝5，
∴AB＝＝4．
当点E在点C左侧时，如图1所示：
由PA＝x，可得PM＝x．
∴AM＝x，BM＝4﹣x，PN＝3﹣x，
∵△BMP∽△PNE，
∴＝．
当点E在点C右侧时，如图1所示：
同理得出．
综上所述：的值为定值．
②在Rt△PBM中，PB2＝BM2+PM2＝（4﹣x）2+（x）2＝x2﹣x+16，
∵．
∴PE＝PB，
∴S＝•PB•PE＝PB2＝（x2﹣x+16）＝（x﹣）2+，
∵0＜x＜5，
∴x＝时，S有最小值＝．
（3）①当点E在线段CD上时，连接BE交AC于F．
∵∠PEC＞90°，所以只能EP＝EC，
∴∠EPC＝∠ECP，
∵∠BPE＝∠BCE＝90°，
∴∠BPC＝∠BCP，
∴BP＝BC，
∴BE垂直平分线段PC，
在Rt△BCF中，cs∠BCF＝，
∴，
∴CF＝，
∴PC＝2CF＝，
∴x＝PA＝5﹣＝．
②当点E在DC的延长线上时，设BC交PE于G．
∵∠PCE＞90°，所以只能CP＝CE．
∴∠CPE＝∠E，
∵∠GPB＝∠GCE＝90°，∠PGB＝∠CGE，
∴∠PBG＝∠E＝∠CPE，
∵∠ABP+∠PBC＝90°，∠APB+∠CPE＝90°，
∴AB＝AP＝4，
综上所述，x的值为或4．