广东省广州市2021年中考数学试卷【含答案】

2021年广东省广州市中考数学

一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）

1．下列四个选项中，为负整数的是（　　）A．0    B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣2

2．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（　　）

         A．﹣3   B．0    C．3     D．﹣6

3．方程＝的解为（　　）A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6

4．下列运算正确的是（　　）

A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+＝3 

C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4

5．下列命题中，为真命题的是（　　）

（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形

（3）对角线相等的平行四边形是菱形      （4）有一个角是直角的平行四边形是矩形

A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）

6．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（　　） A．                    B．                  C．                    D．

7．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（　　）A．8πcm                B．16πcm                C．32πcm              D．192πcm

8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（　　）  A．﹣5                B．﹣3                C．﹣1                D．5

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（　　）

A．     B．    C．    D．

10．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（　　）

A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11．代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 　   　．

12．方程x2﹣4x＝0的实数解是 　   　．

13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 　   　．

14．一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　   　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．

15．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　   　．

16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 　   　（填写所有正确结论的序号）．

（1）H是FK的中点（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC＝9：16（4）DK＝

三、解答题（本大题共9小题，满分72分）

17．解方程组．

18．如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．

19．已知A＝（﹣）•．（1）化简A；（2）若m+n﹣2＝0，求A的值．

20．某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：

3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4

根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

（1）表格中的a＝　   　，b＝　   　；

（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 　   　，中位数为 　   　；

（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．

21．民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．

（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；

（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．

（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．

24．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．

（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；

（2）该抛物线顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；

（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．

25．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．

（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；

（2）当CG＝2时，求AE的长；

（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．

参考答案

1．D．2．A．3．D．4．C．5．B．6．B．7．B．8．A．9．C．10．A．

11．x≥6．12．x1＝0，x2＝4．13．2．14．＞．15．33°．

16．解：（1）在△ABE与△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴∠AFD＝∠AEB，∴∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴AH⊥FK，

由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点，故（1）正确；

（2）如图，过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，

∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝＝5，

∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，

∴，∴AH＝，HM＝，∴HN＝4﹣＝，

即HM≠HN，

∵MN∥CD，∴MD＝CN，

∵HD＝，HC＝，

∴HC≠HD，∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确；

（3）过H分别作HT⊥CD于T，由（2）知，AM＝＝，∴DM＝，

∵MN∥CD，∴MD＝HT＝，∴＝＝，故（3）正确；

（4）由（2）知，HF＝＝，∴，∴DK＝DF﹣FK＝，故（4）正确．

17．解：，将①代入②得，x+（x﹣4）＝6，∴x＝5，

将x＝5代入①得，y＝1，∴方程组的解为．

18．证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C．在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF（AAS）．∴AE＝DF．

19．解：（1）A＝（﹣）•＝＝

＝（m+n）＝m+n；

（2）∵m+n﹣2＝0，∴m+n＝2，

当m+n＝2时，A＝m+n＝（m+n）＝×2＝6．

20．解：（1）由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5，

（2）该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：

1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，

∵4出现的最多，有6次，∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数＝4，

（3）300×＝90（人）．答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．

21．解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，依题意得：31+2x+x＝100，解得：x＝23．

（2）设李某的年工资收入增长率为m，依题意得：9.6（1+m）≥12.48，解得：m≥0.3＝30%．答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．

22．（1）解：如图，图形如图所示．

（2）证明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，

∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，

∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，∴BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，

∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，

∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，∴∠BEF＝60°，

∴△BEF是等边三角形．

23．解：（1）∵直线y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，

∴当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝﹣8，∴A（﹣8，0），B（0，4）；

（2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点，∴P（x，），

∴S△APO＝＝2x+16（﹣8＜x＜0）；∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；

（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），∴OA＝8，OB＝4，在Rt△AOB中，由勾股定理得：

AB＝，在⊙C中，∵PQ是直径，∴∠POQ＝90°，

∵∠BAO＝∠Q，∴tanQ＝tan∠BAO＝，∴，∴OQ＝2OP，

∴S△POQ＝，∴当S△POQ最小时，则OP最小，

∵点P在线段AB上运动，∴当OP⊥AB时，OP最小，∴S△AOB＝，

∴，

∵sinQ＝sin∠BAO，∴，∴，∴PQ＝8，∴⊙C半径为4．

24．解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，

∴点（2，4）不在抛物线上；

（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），

化简得（，），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，

而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，

此时顶点坐标为：（2，5）；

（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：

，解得，∴直线EF的解析式为y＝2x+1，

由得：或，

∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），

而（2，5）在线段EF上，∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，

∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），

∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．

25．解：（1）证明：连接DF，CE，如图所示：

∵E为AB中点，∴AE＝AF＝AB，∴EF＝AB＝CD，

∵四边形ABCD是菱形，∴EF∥AB∥CD，∴四边形DFEC是平行四边形．

（2）作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥EF，∴△CDG∽△FEG，∴，∴FG＝2m，

在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，

sin60°＝，CH＝，cos60°＝，BH＝1，

在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，FH＝3+m，CF²＝CH²+FH²，

即（2+2m）²＝（）²+（3+m）²，整理得：3m²+2m﹣8＝0，

解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），∴．

（3）G点轨迹为线段AG，证明：如图，

（此图仅作为证明AG轨迹用），

延长线段AG交CD于H，作HM⊥AB于M，作DN⊥AB于N，

∵四边形ABCD是菱形，∴BF∥CD，∴△DHG∽△EGA，△HGC∽△AGF，

∴，，∴，

∵AE＝AF，∴DH＝CH＝1，在Rt△ADN中，AD＝2，∠DAB＝60°．

∴sin60°＝，DN＝．cos60°＝，AN＝1，

在Rt△AHM中，HM＝DN＝，AM＝AN+NM＝AN+DH＝2，tan∠HAM＝，

G点轨迹为线段AG．∴G点轨迹是线段AG．

如图所示，作GH⊥AB，

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，∴CD∥BF，BD＝2，

∴△CDG∽△FBG，∴，即BG＝2DG，

∵BG+DG＝BD＝2，∴BG＝，在Rt△GHB中，BG＝，∠DBA＝60°，

sin60°＝，GH＝，cos60°＝，BH＝，

在Rt△AHG中，AH＝2﹣＝，GH＝，AG²＝（）²+（）²＝，

∴AG＝．∴G点路径长度为．

解法二：如图，连接AG，延长AG交CD于点W．

∵CD∥BF，∴＝，＝，∴＝，

∵AF＝AE，∴DW＝CW，∴点G在AW上运动．