2024年广东省广州市华南师范大学附属中学中考模拟数学试题（含解析）

这是一份2024年广东省广州市华南师范大学附属中学中考模拟数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了的相反数是，下列运算正确的是，下列说法中，正确的是，如图，在中，，则的度数为等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．5D．0
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a=3a2B．（a2）3=a5C．a3·a4=a12D．（-3a）2= 9a2
4．由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）

A． B．
C． D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．为了解某市中学生的睡眠情况适宜采用全面调查
B．一组数据2，5，5，7，7，4，6的中位数是7
C．明天的降水的概率为90%，则明天下雨是必然事件
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定
6．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．图象与x轴有唯一交点
C．当时，y随x的增大而减小D．图象的顶点坐标是
9．如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象的对称轴是直线
B．函数的有最小值，最小值为
C．点在函数图象上，当时，
D．函数值y随x的增大而增大
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．经文化和旅游部数据中心测算，今年春节假期全国国内旅游出游308000000人次，同比增长，数据308000000用科学记数法表示为 ．
12．分解因式： ．
13．分式方程的解为 ．
14．某班学生参加学校组织的“垃圾分类”知识竞赛，将学生成绩制成如图所示的频数分布直方图(每组数据包括左端值不包括右端值)，其中成绩为“优良”（80分及80分以上）的学生有 人．
15．如图，圆锥的底面半径为1cm，母线AB的长为3cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 度．
16．如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．用加减消元法解方程组：
18．如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．

19．现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是________；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
20．已知．
(1)化简T；
(2)若a、b是方程的两个根，求T的值．
21．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点A、点B，与轴交于点C，其中点，点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图像回答：当为何值时，（请直接写出答案）．
22．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度）的山坡，点E、点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14°．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0．1米，参考数据：，，，，）
(1)求点D到地面的垂直高度的长；
(2)求楼的高度．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC
(1)尺规作图：以AB为直径作⊙O，分别交BC和AC于点E和F（保留作图痕迹，不写做法）
(2)过E作EH⊥AC，垂足为H，
①求证：EH为⊙O的切线；
②连接OH，若OH＝，HC＝1，求⊙O的半径长．
24．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）问题探究
小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形．她的猜想正确吗？请说明理由．
（3）如图2，“等邻边四边形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝90°，AC，BD为对角线，AC＝ AB．试探究线段BC，CD，BD之间的数量关系，并证明你的结论．

25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于点C．
(1)求点A的坐标；
(2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，当时，求点D的坐标；
(3)如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可．
【解答】解：的相反数是，
故选：C．
【点拨】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解本题的关键．
2．D
【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题主要考查中心对称图形，轴对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，找出中心对称点，对称轴是解题的关键．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
故选 ：D．
3．D
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算法则进行计算，然后作出判断．
【解答】解：A．根据合并同类项，，故此选项不符合题意；
B．根据幂的乘方公式，，故此选项不符合题意；
C．根据同底数幂的乘法公式，，故此选项不符合题意；
D．根据积的乘方公式，正确，故此选项符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查幂的相关运算，掌握幂的运算公式并能灵活运用是解题关键．
4．D
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】观察图形可知，该几何体的俯视图如下：
．
故选：D．
【点拨】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．D
【分析】根据调查方式的选取原则，中位数，事件的分类，方差，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、适合抽样调查，选项错误，不符合题意；
B、中位数为：5，选项错误，不符合题意；
C、是随机事件，选项错误，不符合题意；
D、，乙组数据更稳定，选项正确，符合题意．
故选D．
【点拨】本题考查调查方式，中位数，事件的分类，方差．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并将不等式组解集在数轴上表示出来，先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律（同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解）找出不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解①得：，
，
解②得：，
，
不等式组解集为：，
在数轴上的表示为：
，
故选：B．
7．C
【分析】根据垂径定理得出，然后根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握以上定理是解题的关键．
8．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与x轴的交点问题，根据二次项系数为，得到二次函数图象开口向下，根据解析式得到对称轴为直线，顶点坐标为，则当时，y随x的增大而增大，求出当时，解得，则二次函数图象与x轴有两个交点，据此可得答案．
【解答】解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，y随x的增大而增大，
当时，解得，
∴二次函数图象与x轴有两个交点，
∴四个选项中只有D选项说法正确，符合题意，
故选D．
9．A
【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【解答】如图，过点D作轴于点E，
∵，
∴．
由旋转的性质可知，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选A．
【点拨】本题主要考查旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
10．C
【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．由于，由此可以确定二次函数的对称轴、顶点坐标，最大或最小值及图象的增减性．
【解答】解：∵，
∴对称轴为，故A不正确；
函数有最大值，最大值为，故B不正确
当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，故D不正确；
当时，，故C正确．
故选：C．
11．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：数据308000000用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解．
【解答】解：原式，
故答案为：
13．
【分析】去分母后化为整式方程，求解后检验即可．
【解答】
解：方程两边同时乘以x（x-3）得：x=2(x-3)，
去括号得：，
移项，合并同类项得：-x=-6，
即x=6，
检验：当x=6时，x（x－3）≠0，
所以x=6是原分式方程的解．
故答案为：x=6．
【点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程最后要进行检验．
14．26；
【分析】根据频数分布直方图找到80分以上的学生人数即可得出答案.
【解答】80-90分的有14人，90-100分的有12人
所以成绩为“优良”（80分及80分以上）的学生有14+12=26（人）
故答案为26
【点拨】本题主要考查频数分布直方图，能够读懂频数分布直方图是解题的关键.
15．120
【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数=圆锥底面周长×180÷3π计算．
【解答】解：圆锥底面周长＝2×π×1＝2π，
∴扇形的圆心角α的度数＝圆锥底面周长×180÷3π＝120°．
故答案为120．
【点拨】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子．
16．3或
【分析】根据题意，由为直角三角形，可进行分类讨论：①当；②当两种情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵当为直角三角形时，可分情况进行讨论
①当时，如图：
则，
∴，
∴，
∴；
在直角△ACP中，由勾股定理，则
；
②当时，如图
∵，，
∴四边形CDPE是矩形，
∴CQ=PQ，
∵AQ⊥CP，
∴△ACP是等腰三角形，即AP=AC=
综合上述，的长是3或；
故答案为：3或；
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题．
17．
【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法步骤，即可解题．
【解答】解：，
由得，，
解得，
将代入①中得，
，
解得，
方程组的解为．
18．证明见解析
【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
【解答】解：在和中，
∴
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，可得抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率为；
故答案为：
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果为4种，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率=
【点拨】本题考查了用列表法与树状图法求概率，解答中注意利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
20．(1)；
(2)．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、分式的减法，熟练掌握分式的运算和一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
（1）先通分，利用同分母分式减法计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系得到，整体代入（1）中的化简结果计算即可．
【解答】（1）解：
（2）∵a、b是方程的两个根，
∴
∴
21．(1)反比例函数为y=-，一次函数为y=x+4
(2)-3≤x≤-1或-1≤x<0
【分析】（1）根据题意代入求值即可；
（2）根据函数图象直接表示出答案．
【解答】（1）解：∵点A(-1,3）和点B（-3,n）在反比例函数图象上，
∴m=-1×3=-3，n=1，
∴反比例函数为y=-，B(-3,1)，
∵点A(-1,3），B(-3,1)代入，
∴，解得k=1，b=4，
∴一次函数为y=x+4；
（2）解：观察图象可知：一次函数为y=x+4与反比例函数y=-相交于点A(-1,3）和点B（-3,1），
∴当kx+b≥，x的取值范围为-3≤x≤-1或-1≤x<0．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，属于基础题．
22．(1)米
(2)楼的高度为米
【分析】（1）由坡度设米，则米，由勾股定理建立方程可求得结果；
（2）过点D作于点G，则四边形是矩形，设米，则可表示出，在中由正切函数建立方程即可求解．
【解答】（1）解：∵，即，
设米，则米，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴米；
答：点D到地面的垂直高度DE的长米；
（2）解：如图，过点D作于点G，
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，
∴；
由（1）知，米，米，
设米，
∴米，米，
在中，，
即，
解得：，
即（米）
答：楼的高度为米．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，构造适当的辅助线，利用勾股定理建立方程是本题的关键．
23．(1)见解析
(2)①见解析；②2
【分析】（1）作出线段AB的中垂线，可得圆心O，以O为圆心，OA为半径画⊙O即可．
（2）设OE＝r，EC＝x．利用勾股定理，相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】（1）解：如图⊙O即为所求．
（2）①证明：连接AE，OE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC，
∵OB＝OA，
∴OE∥AC，
∵EH⊥AC，
∴EH⊥OE，
∴EH是⊙O的切线．
②设OE＝r，EC＝x．
∵EH2＝OH2﹣OE2＝EC2﹣CH2，
∴7﹣r2＝x2﹣1，
∵△CEH∽△CAE，可得EC2＝CH•CA，
∴x2＝2r，
∴7﹣r2＝2r﹣1，
∴r2+2r﹣8＝0．
解得r＝2或﹣4（舍弃）．
∴⊙O的半径为2．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）AB＝BC，（答案不唯一），理由见解析；（2）正确；理由见解析；（3）BC2＋CD2＝2BD2，证明见解析.
【解答】试题分析：（1）利用“等邻边四边形”的定义直接判断即可，
（2）利用矩形的判定和菱形的判定和“等邻边四边形”的定义直接判断即可，
（3）先判断出△ACF∽△ABD，得到CF= BD，再求出∠CBF=90°，最后用勾股定理即可求解.
试题解析：（1）AB＝BC，（答案不唯一）
理由：∵四边形ABCD是凸四边形，且AB＝AC，
∴四边形ABCD是“等邻边四边形”．
（2）正确；理由为：
∵四边形的对角线互相平分且相等，
∴四边形ABCD是矩形 ,
∵四边形是“等邻边四边形”，
∴这个四边形有一组邻边相等，
∴四边形ABCD是菱形 ,
∴对角线互相平分且相等的等邻边四边形是正方形；
（3）BC2＋CD2＝2BD2，证明如下：
如图，
∵AB＝AD，
∴以A为圆心，AC为半径画弧，再以B为圆心，CD为半径画弧，两弧相交于点F
则可将△ADC线绕点A旋转到△ABF，连接CF，
则△ABF≌△ADC，
∴∠ABF＝∠ADC，∠BAF＝∠DAC，AF＝AC，FB＝CD，
∴∠BAD＝∠CAF，，
∴△ACF∽△ABD，
∴，
∵AC＝AB，∴CF＝BD，
∵∠BAD＋∠ADC＋∠BCD＋∠ABC＝360°，
∴∠ABC＋∠ADC＝360°－（∠BAD＋∠BCD）＝360°－90°＝270°,
∴∠ABC＋∠ABF＝270°，
∴∠CBF＝90°，
∴BC2＋FB2＝CF2＝(BD)2＝2BD2，
∴BC2＋CD2＝2BD2．
【点拨】本题主要考查对新定义的理解，矩形、菱形、正方形的判定和性质，勾股定理、三角形全等、相似等，解题的关键是恰当地作出辅助线判断出角形全等与三角形相似.
25．(1)点A的坐标为；
(2)点D的坐标为；
(3)与的积是定值．
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点情况求解即可；
（2）过点作，过点作轴，得到，再根据得到抛物线解析式，证明，得到的坐标为，再设直线的解析式为，根据坐标和建立方程求解，得到直线的解析式，即可解题；
（3）设直线的解析式为，记，，联立，得到，，作轴，作轴，证明 ，利用相似的性质得到，，
即可解题．
【解答】（1）解：抛物线（其中），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），
，解得，，
，
点A的坐标为；
（2）解：过点作，过点作轴，
，
，
，
，
点A的坐标为，
，
，
抛物线解析式为，即，
令，解得，
的坐标为，
，
，
，
，
，
，
，，
的坐标为，
设直线的解析式为：，
将和代入解析式有，
，解得，
直线的解析式为，
当时，解得（不合题意舍去）或，
当时，，
点D的坐标为；
（3）解：抛物线（其中），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），
，解得，，
即，，
过点作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，
设直线的解析式为，记，，
有点在图象上，
，即，
直线的解析式为，
联立，
整理得，
，，
作轴，作轴，如图所示
，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判断，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，一元二次方程根与系数的关系，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．