2021年广东省广州市九年级二模中考数学试题（word版含答案）

这是一份2021年广东省广州市九年级二模中考数学试题（word版含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省广州市九年级二模中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．整数68100…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．10个
3．若点P（a-2，a）在第二象限,则a的取值范围是( )
A．0＜a＜2 B．-2＜a＜0 C．a＞2 D．a＜0
4．如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体，则下列视图中面积最小的是（ ）

A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．主视图和俯视图
5．若实数m，n，p，q在数轴上的对应点的位置如图所示，且n与q互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
6．圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（ ）
A．60°   B．90°   C．120°   D．180°
7．在中，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
8．如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）

A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
9．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
10．对于题目“一段抛物线：（）与直线：有唯一公共点，若为整数，确定所有的值．”甲的结果是．乙的结果是或4，则（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙结果合在一起也不正确

二、填空题
11．因式分解： =__________．
12．一次函数（为常数）的函数值随的增大而________．（填“增大”、“减小”或“保持不变”）
13．如果多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形的边数是______．
14．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示．它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是40，，则小正方形的面积是________．

15．已知关于x的一元二次方程的两根x1和x2，且，则k的值是_______.
16．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D． AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结OD，ED．有下列结论：
①OA=OB；
②AE⊥OD；
③S△AOD= S△AED；
④若AC=3CD，△AED的面积为4，则k的值为6．
其中正确的是_______（把正确结论的序号都填上）．


三、解答题
17．解不等式组．
18．如图，在中，四边形是平行四边形．求证：．


19．列方程或方程组解应用题：
某校的软笔书法社团购进一批宣纸，用720元购进的用于创作的宣纸与用120元购进的用于练习的宣纸的数量相同，已知用于创作的宣纸的单价比用于练习的宣纸的单价多1元，求用于练习的宣纸的单价是多少元∕张？
20．某校组织开展了以“聚焦两会，关注祖国发展”为主题的阅读活动，该校学生会随机抽查了20名学生在某一周阅读关于两会文章的篇数，并进行了以下数据的整理与分析：
①数据收集，抽取的20名学生阅读关于两会文章的篇数如下（单位：篇）：5，3，3，4，5，4，6，7，4，6，6，7，6，5，4，5，5，6，4，6．
阅读的篇数（篇）
3
4
5
6
7
人数
2

5
6
2
②数据整理，将收集的数据进行分组并绘制成不完整的扇形统计图；
③数据分析（单位：篇）
众数
中位数
平均数
6




根据统计信息回答问题：
（1）扇形统计图中，“6篇”对应的扇形圆心角度数为________°，________；
（2）列式并求出数据分析中的值；
（3）若该校共有1000名学生，根据抽查结果，估计该校学生在一周内阅读关于两会文章篇数为4篇的人数．
21．地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．
参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．

22．如图，在平行四边形中，的平分线交边于点，，以点为圆心，长为半径作⊙O，分别交边、于点、．点在边上，交⊙O于点，为弧的中点．

（1）求证：四边形为菱形；
（2）已知，连接，当与⊙O相切时，求的长．
23．已知在平面直角坐标中，点A(m，n)在第一象限内，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函数y＝的图象经过点A，
（1）当点B的坐标为(4，0)时（如图1），求这个反比例函数的解析式；
（2）当点B在反比例函数y＝的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，n的代数式表示点B的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，求的值．

24．问题提出
(1)如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 ．
问题探究
(2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
(3)如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．

图① 图② 图③
25．如图，直线：与轴，轴分别相交于、两点，抛物线过点．

（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点是抛物线上的一个动点并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值；
（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，动点相应的位置记为点．
①写出点的坐标；
②将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点，设点，到直线的距离分别为，，当最大时，求直线旋转的角度（即的度数）．


参考答案
1．B
【分析】
分别计算各选项，即可得出答案．
【详解】
解：A．根据合并同类项，该选项计算正确，不符合题意；
B．根据完全平方公式，（x-y）2=x2-2xy+y2，该选项计算错误，符合题意；
C．根据积的乘方，该选项计算正确，不符合题意；
D．根据同底数幂的乘法，该选项计算正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，牢记法则和公式是解题的关键．
2．B
【分析】
确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可．
【详解】
解：用科学记数法表示为6.81×109的原数为6810000000，
所以原数中“0”的个数为7，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了科学记数法的表示形式a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．A
【详解】
由题意得 ，解之得 ，故选A.
4．C
【分析】
首先根据三视图的定义得出该几何体的主视图、左视图以及俯视图是由几个小正方体组成，由此进一步得出答案即可.
【详解】
由题意得：
该几何体的主视图由5个小正方形组成，左视图由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，
∴三种视图面积最小的是左视图，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了几何体的三视图的面积，熟练掌握相关概念是解题关键.
5．C
【分析】
根据数轴可以得到实数m，n，p，q的大小关系，再根据n与q互为相反数，可以得到原点所在的位置，从而可以得到绝对值最大的数对应的点是哪个点．
【详解】
解：由数轴可得，
p＜n＜m＜q，
∵n与q互为相反数，
∴原点在线段NQ的中点处，
∴绝对值最大的数对应的点是点P，
故选：C．
【点睛】
考查实数与数轴、相反数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想．
6．D
【分析】
易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数．
【详解】
解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，圆心角的度数为n度
∵它的轴截面是正三角形，∴R=2r，
∴2πr=，
解得n=180，
故展开图的圆心角为180°
故选：D．
【点睛】
本题主要考查圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥的轴截面，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的弧长公式，是解题的关键．
7．B
【分析】
计算出∠A和∠C的角度来即可确定．
【详解】
解：∵sinA=cos（90°-C）=，
∴∠A=45°，90°-∠C=45°，
即∠A=45°，∠C=45°，
∴∠B=90°，
即△ABC为直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查特殊角三角函数，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
8．D
【详解】
解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC=∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选D．
【点睛】
本题考查作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质．
9．A
【分析】
求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【详解】
解：如图，连接PA、PB、OP，
则S半圆O=，S△ABP=×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP）
=4（﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为，
故选A．

【点睛】
本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积．
10．D
【分析】
分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△求得，②当抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得，4，5，故，4，5．
【详解】
解：抛物线与直线有唯一公共点，
①如图1，抛物线与直线相切，
联立解析式，
得，
△，
解得：，
当时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去；

②如图2，抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点，
此时两个临界值分别为和在抛物线上，
的最小值，但取不到，的最大值，能取到，
，
又为整数，
，4，5，
综上，，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，
故选：D．

【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．
11．（x+4）（x-4）
【分析】

【详解】
x2-16=(x+4)(x-4)，
故答案为：(x+4)(x-4)
12．增大
【分析】
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到y随x的增大如何变化．
【详解】
解：∵一次函数y=（m2+1）x+6（m为常数），m2+1＞0，
∴该函数y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
13．10
【分析】
根据题意可知这个多边形是正多边形，先计算外角，再用外角和进行计算即可．
【详解】
解：有题意可知：多边形为正多边形，则每个外角为180°-144°=36°
又因为多边形的外角和为360°，则这个正多边形的边数为：
故答案为：10
【点睛】
本题考查多边形的外角和、正多边形的外角与边数的关系．灵活使用多边形的内角、外角解决问题是难点．
14．16
【分析】
根据已知条件可以设三角形的两条直角边为x和2x，求出大正方形的边长，再根据大正方形的面积求出x，根据小正方形的面积=大正方形的面积-四个三角形的面积可得结果．
【详解】
如图所示：

根据可设AB=x，BC=3x，根据勾股定理可得，
∵大正方形的面积是40，
∴，或（舍去），
∴AB=2，BC=6，
∴，
∴四个三角形的面积之和=4×6=24，
∴小正方形的面积=40-24=16．
故答案为16．
【点睛】
本题主要通过三角函数的定义进行求解，利用赵爽弦图的特点进行分解，转化成已知图形的面积求解是关键．
15．或.
【详解】
试题分析：∵，∴或.
∵关于x的一元二次方程的两根x1和x2，
∴若，则；
若，则方程有两相等的实数根，
∴.
∴或.
考点：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判别式；3.分类思想的应用.
16．①③
【分析】
连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，得OE＝OA＝OB，进而得到∠OAE＝∠AEO，由AE为∠BAC的平分线，可得，进而可得；设点，由已知条件AC＝3DC，，可得3DH＝AF，则点，证明△DHC∽△AGD，得到，所以，可求得的值，根据以上分析即可逐一判断．
【详解】
解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，

∵过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA＝OB，
∴①正确；
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴，
∴，
∴③正确；
∵无法证明AE⊥OD，
∴②错误；
∵AC＝3DC，△AED的面积为4，
∴，
设点，
∵AC＝3DC，，
∴3DH＝AF，
∴，
∵，
∴△DHC∽△AGD，
∴，
∵
∴ ，
∴，
∴④错误，
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查的是反比例函数与几何综合，借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．
17．＜x＜4
【分析】
先分别求出各不等式的解析，然后各不等式解集的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】
解：
由①得x＜4
由②得x＞
所以不等式组的解集为：＜x＜4
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集确定不等式组的解集是解答本题的关键．
18．见解析
【分析】
根据平行得角相等，即可得证相似．
【详解】
解：证明：∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴∠CEF=∠A，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△EFC．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形判定的方法是解题的关键．
19．用于练习的宣纸的单价是0.2元∕张．
【分析】
设用于练习的宣纸的单价是元∕张，则用于创作的宣纸的单价是（+1）元∕张，根据题意，列出分式方程，解答即可.
【详解】
设用于练习的宣纸的单价是元∕张．
由题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：用于练习的宣纸的单价是0.2元∕张．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，审清题意，找到等量关系列出分式方程是解题关键，注意最后检验.
20．（1）108，5；（2）5.05；（3）250人
【分析】
（1）根据统计表中的数据，可以计算出扇形统计图中，“6篇”对应的扇形圆心角度数和m的值；
（2）根据表格中的数据，可以计算出a的值，然后即可计算出n的值；
（3）根据统计表中的数据，可以计算出该校学生在这一周内阅读关于两会文章篇数为4篇的人数．
【详解】
解：（1）扇形统计图中，“6篇”对应的扇形圆心角度数为：360°×=108°，
m=（5+5）÷2=5，
故答案为：108，5；
（2）a=20-2-5-6-2=5，
n==5.05，
即n的值是5.05；
（3）1000×=250（人），
即估计该校学生在这一周内阅读关于两会文章篇数为4篇的有250人．
【点睛】
本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．tan∠BAC，AB＝19.5米.
【分析】
如图所示，延长PA，过B点作BC⊥PA，垂足为C，过Q点作QD∥PC，过A点作EA⊥PC，EA与QD相交于F，根据EF∥BD证得△QEF∽△QBD，根据相似比求得QD的长，进一步得到AC的长，最后求出AB的长和坡度.
【详解】
如图所示，延长PA，过B点作BC⊥PA，垂足为C，过Q点作QD∥PC，过A点作EA⊥PC，EA与QD相交于F.
依题意易知，BC＝7.5，BD＝6，
EF＝APtan14°＝6×0.25＝1.5，
∵EF∥BD，∴△QEF∽△QBD，
∴，∴QD＝24，
∴AC＝QD－PA＝18，
∴AB＝米，
坡度为tan∠BAC＝＝.

【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形判定定理，证明△QEF∽△QBD.
22．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先由为的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出，再由平行四边形的性质得出，，进而判定四边形是平行四边形，然后证明，则可得结论；
（2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，设，则由，可用含的式子分别表示出、及，由勾股定理得关于的方程，解得的值即可．
【详解】
解：（1）证明：为的中点，
．
四边形是平行四边形．
，，
，
，
四边形是平行四边形．
平分，
，
又，
，
，
四边形为菱形；
（2）如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，设交于点，

则，
设，则
，
，
，
，

当与相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知为切点，
∴OF=OD=4，
∴BO=8，
∵BP=AB+AP=，
在中，由勾股定理得：，
解得：（舍负）．
的长为．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
23．（1）y＝；（2）B(m+n，n﹣m)；（3）
【分析】
（1）根据等腰直角三角形性质，直角三角形斜边中线定理，三线合一，得到点坐标，代入解析式即可得到．
（2）过点作平行于轴的直线，过点作垂直于轴的直线交于点，交轴于点，构造一线三等角全等，得到，，所以
（3）把点和点的坐标代入反比例函数解析式得到关于、的等式，两边除以，换元法解得的值是
【详解】
解：（1）过作，交轴于点，

，，
为等腰直角三角形，
，
，
将，代入反比例解析式得：，即，
则反比例解析式为；
（2）过作轴，过作，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
则；
（3）由与都在反比例图象上，得到，
整理得：，即，
这里，，，
△，
，
在第一象限，
，，
则．
【点睛】
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
24．（1）5；（2）18；（3）（3－9）km．
【详解】
【分析】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，根据已知条件可得△AOB是等边三角形，由此即可得半径；
（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，显然，MN即为MP的最大值，根据垂径定理求得OM的长即可求得MN的最大值；
（3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂，则P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度， 根据题意正确画出图形，得到点P的位置，根据等边三角形、勾股定理等进行求解即可得PE＋EF＋FP的最小值.
【详解】（1）如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠BAO=∠OAC=∠BAC==60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
故答案为5；

（2）如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，
显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝＝5，MN＝18，
∴PM的最大值为18；

（3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P＂连接PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂
由对称性可知PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P＂，且P´、E、F、P＂在一条直线上，所以P´P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，

如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，
∴∆ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3，
BC所对的圆心角为60°，∴∆OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3，
∴∠ABO＝90°，AO＝3，PA＝3－3，
∠P´AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，
∴∠P´AP＂＝2∠ABC＝120°，P´A＝AP＂，
∴∠AP´E＝∠AP＂F＝30°，
∵P´P＂＝2P´Acos∠AP´E＝P´A＝3－9，
所以PE＋EF＋FP的最小值为3－9km．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
25．（1）；（2），S的最大值为；（3）①，；②45°
【分析】
（1）利用直线的解析式求出点坐标，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值；
（2）设的坐标为，然后根据面积关系将的面积进行转化；
（3）①由（2）可知，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
②可将求最大值转化为求的最小值．
【详解】
解：（1）令代入，
，
，
把代入并解得：，
二次函数解析式为：；
（2）令代入，

，
或3，
抛物线与轴的交点横坐标为和3，
在抛物线上，且在第一象限内，
，
令代入，
，
的坐标为，
由题意知：的坐标为，
，
当时，取得最大值．
（3）①由（2）可知：的坐标为，；
②过点作直线，过点作于点，

根据题意知：，
此时只要求出的最大值即可，
，
点在以为直径的圆上，
设直线与该圆相交于点，
点在线段上，
在上，
当与重合时，
可取得最大值，
此时，
，，，，
由勾股定理可求得：，，，
过点作于点，
设，
由勾股定理可得：，
，
，
，
，，
，
∴．
【点睛】
本题属于二次函数的综合问题，考查待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目．