2022年甘肃省武威市凉州区洪祥镇九年制学校中考数学一模试卷

这是一份2022年甘肃省武威市凉州区洪祥镇九年制学校中考数学一模试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
2．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×10﹣8B．7×10﹣7C．7×10﹣8D．7×10﹣9
3．不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
A．x≤3B．x≤﹣3C．x≥3D．x≥﹣3
4．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是（ ）
A．4B．2C．8D．4
5．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（ ）
A．18B．20C．24D．28
6．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cs∠B＝，则BC边长为（ ）
A．7B．8C．8或17D．7或17
7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠1
8．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
9．已知如图，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，不等式ax+b＞的解集为（ ）
A．x＜﹣3B．﹣3＜x＜0或x＞1
C．x＜﹣3或x＞1D．﹣3＜x＜1
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
11．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△DEA＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
13．因式分解：xy2﹣4x＝ ．
14．方程＝的解为 ．
15．关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝ ．
17．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上．如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是 m．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝5，CD＝2．以A为圆心．AD为半径的圆与BC边相切于点M，与AB交于点E，将扇形A﹣DME剪下围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．
19．若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
20．一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是 ．
三、解答题：
21．计算：．
22．先化简，再求值：（a﹣）÷（），其中a满足a2﹣3a+2＝0．
23．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．
（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动．点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
25．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，求点P的坐标．
26．如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）
27．如图，在ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若csB＝，AE＝4，求CD．
28．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：A．
2．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×10﹣8B．7×10﹣7C．7×10﹣8D．7×10﹣9
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9；
故选：D．
3．不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（ ）
A．x≤3B．x≤﹣3C．x≥3D．x≥﹣3
【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6，
移项，合并得﹣x≥﹣3
系数化为1，得x≤3；
故选：A．
4．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是（ ）
A．4B．2C．8D．4
【解答】解：连接OC，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
∴AB＝2AC，
∵OD＝2，
∴OC＝2，
∵tan∠OAB＝，
∴AC＝4，
∴AB＝8，
故选：C．
5．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（ ）
A．18B．20C．24D．28
【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝24，
经检验：x＝24是原分式方程的解；
∴黄球的个数为24．
故选：C．
6．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cs∠B＝，则BC边长为（ ）
A．7B．8C．8或17D．7或17
【解答】解：∵cs∠B＝，
∴∠B＝45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图1，
∵AB＝12，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝12，
∵AC＝13，
∴由勾股定理得CD＝5，
∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2，
BC＝BD+CD＝12+5＝17，
故选：D．
7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，
∴Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
8．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的倍，
即AB＝OA，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝∠AOB＝45°．
故选：C．
9．已知如图，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，不等式ax+b＞的解集为（ ）
A．x＜﹣3B．﹣3＜x＜0或x＞1
C．x＜﹣3或x＞1D．﹣3＜x＜1
【解答】解：不等式ax+b＞的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
11．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△DEA＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵S△BDE：S△DEA＝1：3，
∴BD：AD＝1：3；
∴BD：BA＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴＝＝，
∴S△DOE：S△AOC＝＝，
故选：D．
12．如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，
因为AB＜AD，即AB＜BC，
所以AB＝3，BC＝4．
故选：B．
二、填空题
13．因式分解：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．
【解答】解：xy2﹣4x，
＝x（y2﹣4），
＝x（y+2）（y﹣2）．
14．方程＝的解为 x＝6 ．
【解答】解：去分母得：3x﹣6＝2x，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解．
故答案为：x＝6
15．关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为 4 ．
【解答】解：
由题意，Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0
得m＝4
故答案为4
16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝ ．
【解答】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝12，
∴tan∠ADC＝tanB＝＝＝，
故答案为．
17．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上．如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是 7.45 m．
【解答】解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m，树高为h m，
∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.8m，墙上的影高CD为1.2m，
∴＝，解得x＝0.96（m），
∴树的影长为：0.96+5＝5.96（m），
∴＝，解得h＝7.45（m）．
故答案为：7.45m．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝5，CD＝2．以A为圆心．AD为半径的圆与BC边相切于点M，与AB交于点E，将扇形A﹣DME剪下围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．
【解答】解：如图，作CF⊥AB于F，连接AM．
∵AD∥CF，CD∥AF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴∠A＝90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∴AD＝CF＝AM，CD＝AF＝2，
∵AB＝5，
∴BF＝3，
在△AMB和△CFB中，
，
∴△AMB≌△CFB（AAS），
∴BM＝BF＝3，
在Rt△AMB中，AM＝＝＝4，
设圆锥的高为h，底面半径为r，
由题意2π•r＝•2π•4，
∴r＝1，
∴h＝＝，
故答案为：．
19．若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【解答】解：∵k＝a2+1＞0，
∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）同在第三象限，且﹣3＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
20．一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是 an+（﹣1）n+1•2b2n﹣1 ．
【解答】解：观察代数式，得到第n个式子是：an+（﹣1）n+1•2b2n﹣1．
故答案为：an+（﹣1）n+1•2b2n﹣1．
三、解答题：
21．计算：．
【解答】解：
＝2﹣+2×﹣1+
＝2﹣+﹣
＝2﹣
＝．
22．先化简，再求值：（a﹣）÷（），其中a满足a2﹣3a+2＝0．
【解答】解：（a﹣）÷（）
＝
＝
＝
＝a，
由a2﹣3a+2＝0，得a＝1或a＝2，
∵当a＝1时，a﹣1＝0，使得原分式无意义，
∴a＝2，原式＝2．
23．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．
（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
【解答】解：（1）如图，①BE即为所求；
②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．
（2）∵BD＝BA，BE平分∠ABD，
∴点E是AD的中点，
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴线段EF和AC的数量关系为：EF＝AC，
位置关系为：EF∥AC．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动．点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
【解答】解：①若△POQ∽△AOB时，＝，即＝，
整理得：12﹣2t＝t，
解得：t＝4．
②若△POQ∽△BOA时，＝，即＝，
整理得：6﹣t＝2t，
解得：t＝2．
∵0≤t≤6，
∴t＝4和t＝2均符合题意，
∴当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．
25．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，求点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+4，得a＝3，
∴A（﹣1，3）
把A（﹣1，3）代入反比例函数y＝
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣
（2）联立两个函数的表达式得
解得
或
∴点B的坐标为B（﹣3，1）
当y＝x+4＝0时，得x＝﹣4
∴点C（﹣4，0）
设点P的坐标为（x，0）
∵S△ACP＝S△BOC
∴
解得x1＝﹣6，x2＝﹣2
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）
26．如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．
设塔高AE＝x m，
由题意得，EF＝BE﹣CD＝56﹣27＝29m，AF＝AE+EF＝（x+29）m，
在Rt△AFC中，∠ACF＝36°52′，AF＝（x+29）m，
则CF＝≈＝x+，
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，AB＝x+56，
则BD＝AB＝x+56，
∵CF＝BD，
∴x+56＝x+，
解得：x＝52，
答：该铁塔的高AE为52米．
27．如图，在ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若csB＝，AE＝4，求CD．
【解答】解：（1）结论：BC与⊙O相切，证明如下：
如图连接OD．
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴点D在⊙O上，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．
（2）在Rt△ODB中，
∵csB＝＝，设BD＝2k，OB＝3k，
∵OD2+BD2＝OB2，
∴4+8k2＝9k2，
∴k＝2，
∴BO＝6，BD＝4，
∵DO∥AC，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝．
28．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
定义抛物线y＝﹣x2+2x+3．令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）存在．
y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．
①若以CD为底边，则P1D＝P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y＝4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1＝0，
解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
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