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初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理课后复习题
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这是一份初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理课后复习题，共25页。试卷主要包含了9B．6等内容，欢迎下载使用。
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4B．9，，C．，，D．7，，
2．的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列条件：①，②，③，④．⑤中，能确定是直角三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．如图，中，，为的角平分线，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．4
5．的三边长a，b，c满足，则的面积是（ ）
A．65B．60C．30D．26
6．若△ABC的三边长分别为a、b、c且满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
7．如果的三边分别为，且满足，则的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题：
8．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是__.（填写序号）
（1），（2）（3），（4），（5）a＝，b＝2n，c＝（n为大于1的正整数）
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．判断是______三角形；计算的面积______．
10．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是_______．
11．已知中，，， （n为大于2的整数），则∠_____．
12．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为______．
三、解答题：
13．根据下列条件，判断以为边的三角形是不是直角三角形．
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
14．已知 满足．
(1)求的值；
(2)试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．
15．如图，已知在 中， ，D是上一点，且，．求证： 是直角三角形．
16．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）
17．在的三边分别是，且，判断的形状，证明你的结论．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．的面积为10B．
C．D．点A到直线的距离是2
2．已知的三边之比为，其中，点是边上的动点，则的长不可能是（ ）
A．5.9B．6.5C．8.9D．10.5
3．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：
4．如图，在网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是__________个．
5．如图，在中，，且周长为，点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，沿边向点以每秒2cm的速度移动．若同时出发，则过秒时，的面积为___________．
6．如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是________
三、解答题：
7．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，ABC的顶点在格点上．
(1)直接写出AB=________，BC=________，AC=________；
(2)判断ABC的形状，并说明理由；
(3)直接写出BC边上的高=________．
8．如图，已知在中，，垂足为点，，，．
(1)求的长；
(2)求证：．
人教版初中数学八年级下册
17.2.1 勾股定理的逆定理 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4B．9，，C．，，D．7，，
【答案】D
【分析】根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
B、，不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
C、，不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
D、，能作为直角三角形的三边，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的三边关系是解本题的关键．
2．的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：，
∴，
即为直角三角形，故A选项不符合题意；
设，
∴，
即不为直角三角形，故B选项符合题意；
∵，
∴，
即为直角三角形，故C选项不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
即为直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．
3．下列条件：①，②，③，④．⑤中，能确定是直角三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：①时，
∵
∴
∴，是直角三角形，符合题意；
②，是直角三角形，符合题意；
③，设，
则，
从而，是直角三角形，符合题意；
④当时，显然是最大角，则
，是锐角三角形，不符合题意；
⑤，，是直角三角形，符合题意；
综上所述，能确定△ABC是直角三角形的有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，同时也考查了三角形内角和定理．
4．如图，中，，为的角平分线，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】如图，过点D作于点E．根据勾股定理逆定理，推出是，再证明，从而推断出，得．设，利用勾股定理，求出，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E．
∵，
∴．
∴是，．
∵于E，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
设，则．
在中，．
∴．
∴．
∴．
∴的面积为．
故选C．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理，熟练掌握角平分线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理是解决本题的关键．
5．的三边长a，b，c满足，则的面积是（ ）
A．65B．60C．30D．26
【答案】C
【分析】首先根据非负数的性质可得、、的值，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：，
，，，
，，，
，
是直角三角形，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理以及三角形的面积，解题的关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
6．若△ABC的三边长分别为a、b、c且满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】首先根据三边关系，进行转换得出a2+b2=c2，即可判定△ABC直角三角形.
【详解】（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，
∵a+b≠0，
∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，
∴△ABC直角三角形，
故选：B．
【点睛】此题主要考查利用三边关系以及勾股定理逆定理，判定三角形的形状，熟练掌握，即可解题.
7．如果的三边分别为，且满足，则的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】将原式整理得出，计算出，判断出为直角三角形，即可求出．
【详解】解：，
，
，
，
又，
，
为直角三角形，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的非负性，勾股定理的逆运用，解题的关键是求出的值．
二、填空题：
8．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是__.（填写序号）
（1），（2）（3），（4），（5）a＝，b＝2n，c＝（n为大于1的正整数）
【答案】（1）（2）（3）（5）
【分析】(1)(2)(3)(5)根据勾股定理的逆定理进行判断，(4)根据直角三角形的定义判断．
【详解】解：（1），符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（2），符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（3）由，可得：，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（4），此时∠C＝75°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
（5），符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
故答案为：（1）（2）（3）（5）.
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，掌握勾股定理的逆定理是关键．
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．判断是______三角形；计算的面积______．
【答案】 直角
【分析】根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理证明是，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴是，且,
∴，
故答案为：直角；．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键．
10．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是_______．
【答案】等腰直角三角形
【分析】由算术平方根和绝对值的非负性可求出，再根据勾股定理逆定理和等腰三角形的定义即可判断该三角形为等腰直角三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的形状是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理和等腰三角形的定义．掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键．
11．已知中，，， （n为大于2的整数），则∠_____．
【答案】
【分析】先计算，再计算，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，， ，
∴
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，整式的乘法运算，熟练的利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解本题的关键．
12．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为______．
【答案】2
【分析】先利用完全平方式进行变形求a，b，c的值，再证明 如图，为的三条角平分线的交点，过作垂足分别为 则 再利用等面积法可得答案.
【详解】解：∵．
∴．
∴．
∴，，．
∴，，．
如图，为的三条角平分线的交点，过作
垂足分别为 则
而
又
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查完全平方式的应用，非负数的性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，解题关键是正确配方求出a，b，c的值并判断三角形是直角三角形．
三、解答题：
13．根据下列条件，判断以为边的三角形是不是直角三角形．
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
【答案】(1)是直角三角形
(2)不是直角三角形
(3)是直角三角形
【分析】（1）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（3）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
【详解】（1）∵，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形；
（2）∵，即较小的两边的平方和不等于最长的边的平方，
∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形；
（3）∵，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，解题关键是牢记“如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”．
14．已知 满足．
(1)求的值；
(2)试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)不能构成直角三角形，见解析
【分析】（1）利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a，b，c的值即可；
（2）根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解；
【详解】（1）∵，
∴， ，＝0，
∴，，；
（2）∵，
∴不能构成直角三角形．
【点睛】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关键．
15．如图，已知在 中， ，D是上一点，且，．求证： 是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】先计算出的三条边长，再利用勾股定理的逆定理判定是是直角三角形．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，关键是求出三边并且满足两边的平方和等于第三边的平方．
16．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）
【答案】为直角三角形，理由详见解析.
【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.
【详解】解：如图所示.
图1 图2
如图1，在中，
，，
因为，
所以，
即为直角三角形.
如图2，在中，
.
在中，.
在中，.
所以，
所以，即为直角三角形.
【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键.
17．在的三边分别是，且，判断的形状，证明你的结论．
【答案】直角三角形，理由见解析
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：∵
∴，
，
，
∴，
故是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，会利用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形是解答的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．的面积为10B．
C．D．点A到直线的距离是2
【答案】A
【分析】求出AC，AB，根据三角形的面积公式可判断A；根据勾股定理的逆定理可判断B；根据勾股定理可判断C；根据三角形的面积结合点到直线距离的意义可判断D．
【详解】解：B、∵，，，
∴，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
A、∵∠BAC＝90°，，，
∴，本选项结论错误，符合题意；
C、由勾股定理得：，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵，
∴，
∴h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理及其逆定理，勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
2．已知的三边之比为，其中，点是边上的动点，则的长不可能是（ ）
A．5.9B．6.5C．8.9D．10.5
【答案】A
【分析】由，设AC=x，BC=x，AB=2x，先求出AC=6，BC=，然后由勾股定理求得AC，从而求得，即可得出结论．
【详解】解：由，设AC=x，BC=x，AB=2x，
∵，
∴2x=12，
解得x=6，
∴AC=6，BC=，
∴，，
∴，
∴∠ACB=90°，
∴AC，
∵点是边上的动点，
∴即，故B、C、D不符合题意，A项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理及垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵PC=5，QC=PA=3,
∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以C不正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
二、填空题：
4．如图，在网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是__________个．
【答案】8
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：如图所示：
点的位置如，
其中，，AB=2，
由勾股定理得：，
为直角三角形，
同理：为直角三角形，
网格中其他点C如图所示，
所以格点C的个数是8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
5．如图，在中，，且周长为，点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，沿边向点以每秒2cm的速度移动．若同时出发，则过秒时，的面积为___________．
【答案】18
【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【详解】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
则AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．
故答案为：18．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．
6．如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是________
【答案】
【分析】作，，根据角平分线的性质，得出，再根据垂线段最短，可得有最小值，最小值为的长，再根据等面积法，列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q，
是的平分线，
，
根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长，
，，，
由勾股定理可知，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确找出符合条件的点P、Q的位置是本题关键．
三、解答题：
7．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，ABC的顶点在格点上．
(1)直接写出AB=________，BC=________，AC=________；
(2)判断ABC的形状，并说明理由；
(3)直接写出BC边上的高=________．
【答案】(1)，，；
(2)△ABC是直角三角形，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解；
（3）根据三角形的高的定义可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，
，，；
故答案为：，，；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵，，；
∴，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：∵在△ABC中，∠ABC=90°
∴BC边上的高为AB，
∴BC边上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．如图，已知在中，，垂足为点，，，．
(1)求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)12
(2)证明见解析
【分析】（1）在中利用勾股定理求得的长即可；
（2）在中，由勾股定理求出的长，得出的长，利用勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】（1）于，且，，，
，
在中，，
，
；
（2）在中，，
∴，
∴ ，
∴ ，
，
是直角三角形，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，通过运用勾股定理求出是解决（2）的关键．
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4B．9，，C．，，D．7，，
2．的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列条件：①，②，③，④．⑤中，能确定是直角三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．如图，中，，为的角平分线，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．4
5．的三边长a，b，c满足，则的面积是（ ）
A．65B．60C．30D．26
6．若△ABC的三边长分别为a、b、c且满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
7．如果的三边分别为，且满足，则的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题：
8．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是__.（填写序号）
（1），（2）（3），（4），（5）a＝，b＝2n，c＝（n为大于1的正整数）
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．判断是______三角形；计算的面积______．
10．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是_______．
11．已知中，，， （n为大于2的整数），则∠_____．
12．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为______．
三、解答题：
13．根据下列条件，判断以为边的三角形是不是直角三角形．
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
14．已知 满足．
(1)求的值；
(2)试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．
15．如图，已知在 中， ，D是上一点，且，．求证： 是直角三角形．
16．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）
17．在的三边分别是，且，判断的形状，证明你的结论．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．的面积为10B．
C．D．点A到直线的距离是2
2．已知的三边之比为，其中，点是边上的动点，则的长不可能是（ ）
A．5.9B．6.5C．8.9D．10.5
3．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：
4．如图，在网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是__________个．
5．如图，在中，，且周长为，点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，沿边向点以每秒2cm的速度移动．若同时出发，则过秒时，的面积为___________．
6．如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是________
三、解答题：
7．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，ABC的顶点在格点上．
(1)直接写出AB=________，BC=________，AC=________；
(2)判断ABC的形状，并说明理由；
(3)直接写出BC边上的高=________．
8．如图，已知在中，，垂足为点，，，．
(1)求的长；
(2)求证：．
人教版初中数学八年级下册
17.2.1 勾股定理的逆定理 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4B．9，，C．，，D．7，，
【答案】D
【分析】根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
B、，不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
C、，不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
D、，能作为直角三角形的三边，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的三边关系是解本题的关键．
2．的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：，
∴，
即为直角三角形，故A选项不符合题意；
设，
∴，
即不为直角三角形，故B选项符合题意；
∵，
∴，
即为直角三角形，故C选项不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
即为直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．
3．下列条件：①，②，③，④．⑤中，能确定是直角三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：①时，
∵
∴
∴，是直角三角形，符合题意；
②，是直角三角形，符合题意；
③，设，
则，
从而，是直角三角形，符合题意；
④当时，显然是最大角，则
，是锐角三角形，不符合题意；
⑤，，是直角三角形，符合题意；
综上所述，能确定△ABC是直角三角形的有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，同时也考查了三角形内角和定理．
4．如图，中，，为的角平分线，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】如图，过点D作于点E．根据勾股定理逆定理，推出是，再证明，从而推断出，得．设，利用勾股定理，求出，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E．
∵，
∴．
∴是，．
∵于E，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
设，则．
在中，．
∴．
∴．
∴．
∴的面积为．
故选C．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理，熟练掌握角平分线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理是解决本题的关键．
5．的三边长a，b，c满足，则的面积是（ ）
A．65B．60C．30D．26
【答案】C
【分析】首先根据非负数的性质可得、、的值，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：，
，，，
，，，
，
是直角三角形，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理以及三角形的面积，解题的关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
6．若△ABC的三边长分别为a、b、c且满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】首先根据三边关系，进行转换得出a2+b2=c2，即可判定△ABC直角三角形.
【详解】（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，
∵a+b≠0，
∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，
∴△ABC直角三角形，
故选：B．
【点睛】此题主要考查利用三边关系以及勾股定理逆定理，判定三角形的形状，熟练掌握，即可解题.
7．如果的三边分别为，且满足，则的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】将原式整理得出，计算出，判断出为直角三角形，即可求出．
【详解】解：，
，
，
，
又，
，
为直角三角形，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的非负性，勾股定理的逆运用，解题的关键是求出的值．
二、填空题：
8．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是__.（填写序号）
（1），（2）（3），（4），（5）a＝，b＝2n，c＝（n为大于1的正整数）
【答案】（1）（2）（3）（5）
【分析】(1)(2)(3)(5)根据勾股定理的逆定理进行判断，(4)根据直角三角形的定义判断．
【详解】解：（1），符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（2），符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（3）由，可得：，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（4），此时∠C＝75°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
（5），符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
故答案为：（1）（2）（3）（5）.
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，掌握勾股定理的逆定理是关键．
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．判断是______三角形；计算的面积______．
【答案】 直角
【分析】根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理证明是，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴是，且,
∴，
故答案为：直角；．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键．
10．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是_______．
【答案】等腰直角三角形
【分析】由算术平方根和绝对值的非负性可求出，再根据勾股定理逆定理和等腰三角形的定义即可判断该三角形为等腰直角三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的形状是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理和等腰三角形的定义．掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键．
11．已知中，，， （n为大于2的整数），则∠_____．
【答案】
【分析】先计算，再计算，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，， ，
∴
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，整式的乘法运算，熟练的利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解本题的关键．
12．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为______．
【答案】2
【分析】先利用完全平方式进行变形求a，b，c的值，再证明 如图，为的三条角平分线的交点，过作垂足分别为 则 再利用等面积法可得答案.
【详解】解：∵．
∴．
∴．
∴，，．
∴，，．
如图，为的三条角平分线的交点，过作
垂足分别为 则
而
又
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查完全平方式的应用，非负数的性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，解题关键是正确配方求出a，b，c的值并判断三角形是直角三角形．
三、解答题：
13．根据下列条件，判断以为边的三角形是不是直角三角形．
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
【答案】(1)是直角三角形
(2)不是直角三角形
(3)是直角三角形
【分析】（1）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（3）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
【详解】（1）∵，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形；
（2）∵，即较小的两边的平方和不等于最长的边的平方，
∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形；
（3）∵，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，解题关键是牢记“如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”．
14．已知 满足．
(1)求的值；
(2)试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)不能构成直角三角形，见解析
【分析】（1）利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a，b，c的值即可；
（2）根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解；
【详解】（1）∵，
∴， ，＝0，
∴，，；
（2）∵，
∴不能构成直角三角形．
【点睛】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关键．
15．如图，已知在 中， ，D是上一点，且，．求证： 是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】先计算出的三条边长，再利用勾股定理的逆定理判定是是直角三角形．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，关键是求出三边并且满足两边的平方和等于第三边的平方．
16．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）
【答案】为直角三角形，理由详见解析.
【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.
【详解】解：如图所示.
图1 图2
如图1，在中，
，，
因为，
所以，
即为直角三角形.
如图2，在中，
.
在中，.
在中，.
所以，
所以，即为直角三角形.
【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键.
17．在的三边分别是，且，判断的形状，证明你的结论．
【答案】直角三角形，理由见解析
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：∵
∴，
，
，
∴，
故是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，会利用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形是解答的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．的面积为10B．
C．D．点A到直线的距离是2
【答案】A
【分析】求出AC，AB，根据三角形的面积公式可判断A；根据勾股定理的逆定理可判断B；根据勾股定理可判断C；根据三角形的面积结合点到直线距离的意义可判断D．
【详解】解：B、∵，，，
∴，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
A、∵∠BAC＝90°，，，
∴，本选项结论错误，符合题意；
C、由勾股定理得：，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵，
∴，
∴h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理及其逆定理，勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
2．已知的三边之比为，其中，点是边上的动点，则的长不可能是（ ）
A．5.9B．6.5C．8.9D．10.5
【答案】A
【分析】由，设AC=x，BC=x，AB=2x，先求出AC=6，BC=，然后由勾股定理求得AC，从而求得，即可得出结论．
【详解】解：由，设AC=x，BC=x，AB=2x，
∵，
∴2x=12，
解得x=6，
∴AC=6，BC=，
∴，，
∴，
∴∠ACB=90°，
∴AC，
∵点是边上的动点，
∴即，故B、C、D不符合题意，A项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理及垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵PC=5，QC=PA=3,
∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以C不正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
二、填空题：
4．如图，在网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是__________个．
【答案】8
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：如图所示：
点的位置如，
其中，，AB=2，
由勾股定理得：，
为直角三角形，
同理：为直角三角形，
网格中其他点C如图所示，
所以格点C的个数是8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
5．如图，在中，，且周长为，点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，沿边向点以每秒2cm的速度移动．若同时出发，则过秒时，的面积为___________．
【答案】18
【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【详解】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
则AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．
故答案为：18．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．
6．如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是________
【答案】
【分析】作，，根据角平分线的性质，得出，再根据垂线段最短，可得有最小值，最小值为的长，再根据等面积法，列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q，
是的平分线，
，
根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长，
，，，
由勾股定理可知，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确找出符合条件的点P、Q的位置是本题关键．
三、解答题：
7．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，ABC的顶点在格点上．
(1)直接写出AB=________，BC=________，AC=________；
(2)判断ABC的形状，并说明理由；
(3)直接写出BC边上的高=________．
【答案】(1)，，；
(2)△ABC是直角三角形，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解；
（3）根据三角形的高的定义可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，
，，；
故答案为：，，；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵，，；
∴，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：∵在△ABC中，∠ABC=90°
∴BC边上的高为AB，
∴BC边上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．如图，已知在中，，垂足为点，，，．
(1)求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)12
(2)证明见解析
【分析】（1）在中利用勾股定理求得的长即可；
（2）在中，由勾股定理求出的长，得出的长，利用勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】（1）于，且，，，
，
在中，，
，
；
（2）在中，，
∴，
∴ ，
∴ ，
，
是直角三角形，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，通过运用勾股定理求出是解决（2）的关键．
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