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高考物理机械能常用模型最新模拟题精练专题20机械能+杆系小球圆周运动模型(原卷版+解析)
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这是一份高考物理机械能常用模型最新模拟题精练专题20机械能+杆系小球圆周运动模型(原卷版+解析)，共18页。
B
A
O
1．（2023山西长治名校联考）（10分）如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根轻质直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动(sin370=0.6)，不计直尺的质量。求：
（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v.
（2）B球能上升的最大高度h.
2．（12分）(2022浙江丽水高中发展共同体质检)如图所示，是某种轨道玩具的结构示意图，弹射装置可以将小滑块以不同初速度弹出，经光滑水平轨道、光滑圆弧管道、粗糙水平轨道、冲上光滑斜面轨道，并从点沿水平方向飞出，最终落在水平轨道上。已知弹射器的最大弹性势能Epmax=0.8J，圆弧轨道半径R=10cm，水平轨道长L=20cm，斜面轨道点距离水平轨道的高度h=5cm，若小滑块的质量m=0.1kg，与水平轨道的摩擦因数��=0.3。其它阻力均不计，小滑块可视为质点，轨道各部分平滑连接，小滑块从点飞离前始终未脱离轨道，取。求：
（1）若小滑块以最大速度被弹出，经过管道最低点B时对轨道的压力大小；
（2）某次游戏中小滑块被弹出后，恰能够通过圆弧轨道最高点，求此次弹射弹射器的弹性势能；
（3）将小滑块以不同初速度弹出，若均能沿轨道从点水平飞出，求小滑块最终在水平轨道上的落点到点的水平距离与弹射时弹射器的弹性势能满足的关系。
3．（13分）（2022江苏南京六校联合体联考）如图，用光滑细杆弯成半径为R的四分之三圆环ABCB'E，固定在竖直面内，C、E与圆心O在同一水平线上．质量为m的小球P（可视为质点）穿在圆环上，通过轻质细绳与相同质量的小球Q相连，细绳绕过固定在E处的轻小光滑定滑轮．开始小球P处于圆环上B点，两球均处于静止状态．给小球微小扰动，使P沿圆环向下运动．绳长大于CE，重力加速度为g，不计一切摩擦，结果保留根号．求：
（1）小球P在B点静止时，BE绳与CE的夹角θ及圆环对小球P的弹力大小；
（2）小球P下滑到B'点（B'与B关于CE对称）时，求小球Q的速率；
（3）小球P经过C点时的加速度大小．
4. (14 分) （2020河北唐山期末）质量不计的V形轻杆可以绕O点在竖直面内转动，AO和BO之间的夹角为53°，OA长为L1=0.3m，OB长为L2=0.6m，在轻杆的AB两点各固定一个可视为质点的小球P和Q，小球P的质量为m=1kg，如图所示。将OA杆拉至O点右侧水平位置由静止释放，OB杆恰能转到O点左侧水平位置。已知sin53°=0.8，cs53°=0.6, g取10m/s2，求:
(1)小球Q的质量M;
(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q的作用力。
5．（2020江西吉安期中）（11分）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑。一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v0向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s2。
（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？
（2）若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=1N，则在这段时间内摩擦力对小球做的功是多少？
（3）若v0=3m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？
6. （2022浙江三地市二模）(12分)如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道AB，圆心为O1的竖直半圆轨道BCD、圆心为O2的竖直半圆管道DEF，水平直轨道FG及弹性板等组成，轨道各部分平滑连接。已知滑块(可视为质点)质量m=0.01kg，轨道BCD的半径R=0.8m，管道DEF的半径r=0.1m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ=0.5，其余各部分轨道均光滑，轨道FG的长度l=2m，弹射器中弹簧的弹性势能最大值Epm=0.5J，滑块与弹簧作用后，弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回。
(1)若弹簧的弹性势能Ep0=0.16J，求滑块运动到与O1等高处时的速度v的大小；
(2)若滑块在运动过程中不脱离轨道，求第1次经过管道DEF的最高点F时，滑块对轨道弹力FN的最小值；
(3)若滑块在运动过程中不脱离轨道且最终静止在轨道FG中点的右侧区域内，求弹簧的弹性势能Ep的范围。
7.(14分)(2022山东烟台期中)如图所示，一竖直放置的内壁光滑的管状轨道是由两个半径为R=1m的半圆形管道和两段长度为h(可调)的直管构成，将一质量为m=2kg的小球由管道底部以水平初速度v0=8m/s释放，小球在管道运动时，始终受到竖直向上的、大小为F=4N的电磁力，重力加速度g=10m/s2，求：
(1)小球在最低点时对管道的压力；
(2)若小球恰好能够通过最高点，直管的长度h1为多少；
(3)若小球通过最高点时恰好对管道无作用力，直管的长度h2为多少；
(4)当直管的长度h3=1m时，小球从最低点到最高点的运动过程中机械能变化了多少？
8．（12分）(2022浙江名校联盟联考)如图所示，竖直平面内由倾斜轨道AB、半径为R的圆周细圆管O1（在底部C处有交错，交错宽度不计）、半径为R的四分之一圆弧轨道DE构成一游戏装置固定于地面。B、D处均平滑连接，粗糙水平直轨道CD段长为1.5R，滑动摩擦因数μ=0.5，其它所有摩擦均不计，圆弧轨道DE的圆心O2与圆周细圆管圆心O1等高。现将质量为m的小滑块从斜面的某高度h处静止释放，不计滑块大小和经过连接处的机械能损失。求：
（1）若h=3.5R，小球第一次冲出E点后达到的最高点离E点的高度；
（2）若h=3R，小球第一次到达细圆管的最高点时对轨道的作用力；
（3）若h的取值范围为0 QUOTE h QUOTE 3.5R，在此高度变化范围内，小球在直轨道CD段上的运动时间。
9．（2020江西吉安期中）（11分）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑。一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v0向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s2。
（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？
（2）若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=1N，则在这段时间内摩擦力对小球做的功是多少？
（3）若v0=3m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？
10.（2020高考全国III卷压轴卷）2020年新年伊始，人们怀着对新一年的美好祝愿和期盼，在广场的水平地面上竖立了“2020”数字模型，该模型是由较细的光滑管道制造而成，每个数字高度相等，数字“2”上半部分是半径R1=1m的圆形管道，数字“0”是半径R2=1.5m的圆形管道，“2”与“0”之间分别由导轨EF和HM连接，最右侧数字“0”管道出口处与四分之一圆轨道MN连接。从轨道AB上某处由静止释放质量为m=1kg的小球，若释放点足够高，小球可以顺着轨道连续通过“2020”管道并且可以再次返回“2020”管道。D、G分别为数字“2”和“0”管道想的最高点，水平轨道BC与小球间的动摩擦因数μ=0.5，且长度为L=1m，其余轨道均光滑，不计空气阻力且小球可以当作质点，g=10m/s2 。
（1）若小球恰好能通过“2020”管道，则小球在AB轨道上静止释放处相对地面的高度h为多少？
（2）若小球从h1=5m高处静止释放，求小球第一次经过D点时对管道的压力？
11. (12分)如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3 m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆。质量为ma＝100g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝36 g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4 m的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；
(2)小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功。（结果保留两位有效数字）
高考物理《机械能》常用模型最新模拟题精练
专题20机械能+杆系小球模型
二．计算题
B
A
O
1．（2023山西长治名校联考）（10分）如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根轻质直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动(sin370=0.6)，不计直尺的质量。求：
（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v.
（2）B球能上升的最大高度h.
【参考答案】（1）（2）h=1.28L
v1
v1/2
B
A
O
【名师解析】：（1）A到最低点的过程中A的重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加；由v=ωr，A的瞬时速率总是B的2倍。因此有：
，
解得
以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程没有其它能参与转化，所以该系统的机械能守恒。由于2mg2L>3mgL，因此A能到达并超越O点的正下方。
α
α
B
A
O
设该位置位于OA杆竖直位置向左偏了α角，
则2mg*2Lcsα=3mgL(1+sinα)
解得：sin(530-α)=sin37,α=160
所以B球能上升到的最大高度h=L+Lsin160=L+Lsin(530-370);
解得：h=1.28L
2．（12分）(2022浙江丽水高中发展共同体质检)如图所示，是某种轨道玩具的结构示意图，弹射装置可以将小滑块以不同初速度弹出，经光滑水平轨道、光滑圆弧管道、粗糙水平轨道、冲上光滑斜面轨道，并从点沿水平方向飞出，最终落在水平轨道上。已知弹射器的最大弹性势能Epmax=0.8J，圆弧轨道半径R=10cm，水平轨道长L=20cm，斜面轨道点距离水平轨道的高度h=5cm，若小滑块的质量m=0.1kg，与水平轨道的摩擦因数��=0.3。其它阻力均不计，小滑块可视为质点，轨道各部分平滑连接，小滑块从点飞离前始终未脱离轨道，取。求：
（1）若小滑块以最大速度被弹出，经过管道最低点B时对轨道的压力大小；
（2）某次游戏中小滑块被弹出后，恰能够通过圆弧轨道最高点，求此次弹射弹射器的弹性势能；
（3）将小滑块以不同初速度弹出，若均能沿轨道从点水平飞出，求小滑块最终在水平轨道上的落点到点的水平距离与弹射时弹射器的弹性势能满足的关系。
【参考答案】12分（1）17N；（2）；（3）（）
【名师解析】
----------------------------------------- 1分
----------------------------------------- 1分
解得 FN=17N ----------------------------------------- 1分
根据牛顿第三定律有压力等于支持力为17N ----------------------------------------- 1分
（2）小滑块恰能过点，则有vC=0 ----------------------------------------- 1分
从A到过程根据能量守恒可得
---------------------------- 1分
解得 ----------------------------------------- 1分
（3）小滑块从A到E过程，根据能量守恒定律可得
----------------------------------------- 1分
由E点抛出后有
联立解得
----------------------------------------- 2分
经分析，若能通过点均能够到达E，故
----------------------------------------- 1分
即小滑块最终在水平轨道上的落点到点的水平距离与弹射时弹射器的弹性势能满足的关系
（）------------------------ 1分
3．（13分）（2022江苏南京六校联合体联考）如图，用光滑细杆弯成半径为R的四分之三圆环ABCB'E，固定在竖直面内，C、E与圆心O在同一水平线上．质量为m的小球P（可视为质点）穿在圆环上，通过轻质细绳与相同质量的小球Q相连，细绳绕过固定在E处的轻小光滑定滑轮．开始小球P处于圆环上B点，两球均处于静止状态．给小球微小扰动，使P沿圆环向下运动．绳长大于CE，重力加速度为g，不计一切摩擦，结果保留根号．求：
（1）小球P在B点静止时，BE绳与CE的夹角θ及圆环对小球P的弹力大小；
（2）小球P下滑到B'点（B'与B关于CE对称）时，求小球Q的速率；
（3）小球P经过C点时的加速度大小．
【名师解析】
(1)小球P在B点静止时，受到重力、细绳的拉力、杆的支持力N作用，由平衡条件知，连线与P的重力、细绳的夹角相等
由几何关系知与间的夹角为－－－－－2分
由正交分解可得弹力
(2)小球P从B下滑到B’点过程中，
由几何关系可得：
根据机械能守恒定律可得
Q的速度关系为：
联立可得
(3)由几何关系可得
小球P下滑到C点时，Q的速度
根据机械能守恒定律：－－－－－１分
整理得
由平行四边形定则可知：
4. (14 分) （2020河北唐山期末）质量不计的V形轻杆可以绕O点在竖直面内转动，AO和BO之间的夹角为53°，OA长为L1=0.3m，OB长为L2=0.6m，在轻杆的AB两点各固定一个可视为质点的小球P和Q，小球P的质量为m=1kg，如图所示。将OA杆拉至O点右侧水平位置由静止释放，OB杆恰能转到O点左侧水平位置。已知sin53°=0.8，cs53°=0.6, g取10m/s2，求:
(1)小球Q的质量M;
(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q的作用力。
【命题意图】 本题以V形轻杆连接的小球为情景，考查机械能守恒定律和牛顿运动定律及其相关知识点。考查的核心素养是“运动和力”的观点、能量的观点。
【解题思路】
（1）OA水平释放到OB到水平位置的过程，系统机械能守恒
（3分）
解得 （2分）
（2）小球Q静止释放运动到最低点过程，系统机械能守恒
（3分）
其中 （2分）
在最低点，由牛顿第二定律 （2分）
解得 （2分）
5．（2020江西吉安期中）（11分）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑。一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v0向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s2。
（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？
（2）若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=1N，则在这段时间内摩擦力对小球做的功是多少？
（3）若v0=3m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？
【参考答案】：（1）（2）（3）
【名师解析】
（1）设此情形下小球到达最高点的最小速度为vC，则有
（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
（2）设此时小球到达最高点的速度为，克服摩擦力做的功为W，则
（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，
设小球经过最低点的速度为vA，受到的支持力为NA，
则有（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
设小球在整个运动过程中减少的机械能为，
由功能关系有（1分）
代入数据解得 （1分）
6. （2022浙江三地市二模）(12分)如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道AB，圆心为O1的竖直半圆轨道BCD、圆心为O2的竖直半圆管道DEF，水平直轨道FG及弹性板等组成，轨道各部分平滑连接。已知滑块(可视为质点)质量m=0.01kg，轨道BCD的半径R=0.8m，管道DEF的半径r=0.1m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ=0.5，其余各部分轨道均光滑，轨道FG的长度l=2m，弹射器中弹簧的弹性势能最大值Epm=0.5J，滑块与弹簧作用后，弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回。
(1)若弹簧的弹性势能Ep0=0.16J，求滑块运动到与O1等高处时的速度v的大小；
(2)若滑块在运动过程中不脱离轨道，求第1次经过管道DEF的最高点F时，滑块对轨道弹力FN的最小值；
(3)若滑块在运动过程中不脱离轨道且最终静止在轨道FG中点的右侧区域内，求弹簧的弹性势能Ep的范围。
【名师解析】
20．(1)到圆心O1等高处，由机械能守恒定律 （2分）
解得v=4m/s （1分）
(2)要求运动中，滑块不脱离轨道，则通过轨道BCD的最高点D的最小值 （1分）
DF过程， （2分）
N （1分）
由牛顿第三定律得滑块对轨道弹力为0.3N （1分）
(3) 保证不脱离轨道，滑块在F点的速度至少为vmin=2m/s，若以此速度在FG上滑行直至静止运动距离 （1分）
滑块没有越过FG的中点。
滑块以最大弹性势能弹出时，在FG上滑行的最大路程为xmax
（1分）
解得xmax=6.4m
由题意知，滑块不脱离轨道且最终静止在轨道FG中点的右侧区域，运动的路程应满足
1m5m当x=1m时，可得Ep1=0.23J，当x=3m时，可得Ep1=0.33J；
当x=5m时，可得Ep1=0.43J，当x=6.4m时，可得Ep1=0.5J；
因此弹性势能Ep的范围：0.23J
7.(14分)(2022山东烟台期中)如图所示，一竖直放置的内壁光滑的管状轨道是由两个半径为R=1m的半圆形管道和两段长度为h(可调)的直管构成，将一质量为m=2kg的小球由管道底部以水平初速度v0=8m/s释放，小球在管道运动时，始终受到竖直向上的、大小为F=4N的电磁力，重力加速度g=10m/s2，求：
(1)小球在最低点时对管道的压力；
(2)若小球恰好能够通过最高点，直管的长度h1为多少；
(3)若小球通过最高点时恰好对管道无作用力，直管的长度h2为多少；
(4)当直管的长度h3=1m时，小球从最低点到最高点的运动过程中机械能变化了多少？
【名师解析】．(14分)
⑴在最低点处有：……………………………①(2分)
解得：F支=144N………………………………………………………②(1分)
由牛顿第三定律可知，小球对管道的压力FN等于管道对小球的支持力F支
即FN=F支=144N………………………………………………………③(1分)
⑵小球到达最高点时的速度恰好为零，即可通过最高点
根据动能定理：…………………④(2分)
解得：h1=2m……………………………………………………………⑤(1分)
⑶小球通过最高点时有…………………………………⑥(2分)
小球从最低点到最高点过程中，根据动能定理
………………………………⑦(2分)
由⑥⑦联立解得h2=1.5m………………………………………………⑧(1分)
⑷从最低点到最高点运动过程中，小球的机械能增加
由功能关系可知，增加的机械能∆E=F（h3+2R）=12J………………⑨(2分)
8．（12分）(2022浙江名校联盟联考)如图所示，竖直平面内由倾斜轨道AB、半径为R的圆周细圆管O1（在底部C处有交错，交错宽度不计）、半径为R的四分之一圆弧轨道DE构成一游戏装置固定于地面。B、D处均平滑连接，粗糙水平直轨道CD段长为1.5R，滑动摩擦因数μ=0.5，其它所有摩擦均不计，圆弧轨道DE的圆心O2与圆周细圆管圆心O1等高。现将质量为m的小滑块从斜面的某高度h处静止释放，不计滑块大小和经过连接处的机械能损失。求：
（1）若h=3.5R，小球第一次冲出E点后达到的最高点离E点的高度；
（2）若h=3R，小球第一次到达细圆管的最高点时对轨道的作用力；
（3）若h的取值范围为0 QUOTE h QUOTE 3.5R，在此高度变化范围内，小球在直轨道CD段上的运动时间。
【名师解析】.（12分）
（1）由开始到小球第一次到达最高点采用动能定理：
分
得h1=1.75R 分
（2）从开始到达细圆管道的最高点过程采用动能定理：
分
在最高点对小球受力分析
分
得 分
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力为mg，方向竖直向上 分
（3）当
小球返回细圆轨道能到达的最高点为
分
得 所以小球最终停止在轨道EF上
=0 分
得S=2h 分
得t= 分
当 t=0 分
9．（2020江西吉安期中）（11分）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑。一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v0向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s2。
（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？
（2）若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=1N，则在这段时间内摩擦力对小球做的功是多少？
（3）若v0=3m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？
【参考答案】：（1）（2）（3）
【名师解析】
（1）设此情形下小球到达最高点的最小速度为vC，则有
（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
（2）设此时小球到达最高点的速度为，克服摩擦力做的功为W，则
（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，
设小球经过最低点的速度为vA，受到的支持力为NA，
则有（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
设小球在整个运动过程中减少的机械能为，
由功能关系有（1分）
代入数据解得 （1分）
10.（2020高考全国III卷压轴卷）2020年新年伊始，人们怀着对新一年的美好祝愿和期盼，在广场的水平地面上竖立了“2020”数字模型，该模型是由较细的光滑管道制造而成，每个数字高度相等，数字“2”上半部分是半径R1=1m的圆形管道，数字“0”是半径R2=1.5m的圆形管道，“2”与“0”之间分别由导轨EF和HM连接，最右侧数字“0”管道出口处与四分之一圆轨道MN连接。从轨道AB上某处由静止释放质量为m=1kg的小球，若释放点足够高，小球可以顺着轨道连续通过“2020”管道并且可以再次返回“2020”管道。D、G分别为数字“2”和“0”管道想的最高点，水平轨道BC与小球间的动摩擦因数μ=0.5，且长度为L=1m，其余轨道均光滑，不计空气阻力且小球可以当作质点，g=10m/s2 。
（1）若小球恰好能通过“2020”管道，则小球在AB轨道上静止释放处相对地面的高度h为多少？
（2）若小球从h1=5m高处静止释放，求小球第一次经过D点时对管道的压力？
【名师解析】.（12分）
（1）恰好能过管道最高点即最高点速度为0
A-B-C阶段由动能定理： ---------2分
C-D阶段由机械能守恒： ------------2分
得： h=3.5m ------------1分
从释放到运动至C处，由动能定理:
---------2分
D阶段由机械能守恒：
-------2分
设小球在D处受到的弹力为FN
D点： ---------2分
得： FN=20N 由牛顿第三定律可知
小球在D处对管道的压力大小也为20N，且方向竖直向上 ---------1分
11. (12分)如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3 m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆。质量为ma＝100g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝36 g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4 m的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；
(2)小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功。（结果保留两位有效数字）
【名师解析】:(1)当a滑到与O同高度P点时，a的速度v沿圆环切线向下，b的速度为零，由动能定理可得：magR＝eq \f(1,2)mav2 (2分)
对小球a受力分析，由牛顿第二定律可得：F＝eq \f(mav2,R) (2分)
F＝2 N (1分)
杆与圆相切时，如图所示，a的速度沿杆方向，设此时b的速度为vb，
根据杆不可伸长和缩短，有：
va＝vbcsθ (1分)
由几何关系可得：csθ＝eq \f(L,\r(L2＋R2))＝0.8 (1分)
在图中，球a下降的高度h＝Rcsθ (1分)
a、b系统机械能守恒：mag（h+R）＝eq \f(1,2)maveq \\al(2,a)＋eq \f(1,2)mbveq \\al(2,b) (2分)
对滑块b，由动能定理得：W＝eq \f(1,2)mbveq \\al(2,b) -0 (1分) W＝0.19 J(1分)
B
A
O
1．（2023山西长治名校联考）（10分）如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根轻质直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动(sin370=0.6)，不计直尺的质量。求：
（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v.
（2）B球能上升的最大高度h.
2．（12分）(2022浙江丽水高中发展共同体质检)如图所示，是某种轨道玩具的结构示意图，弹射装置可以将小滑块以不同初速度弹出，经光滑水平轨道、光滑圆弧管道、粗糙水平轨道、冲上光滑斜面轨道，并从点沿水平方向飞出，最终落在水平轨道上。已知弹射器的最大弹性势能Epmax=0.8J，圆弧轨道半径R=10cm，水平轨道长L=20cm，斜面轨道点距离水平轨道的高度h=5cm，若小滑块的质量m=0.1kg，与水平轨道的摩擦因数��=0.3。其它阻力均不计，小滑块可视为质点，轨道各部分平滑连接，小滑块从点飞离前始终未脱离轨道，取。求：
（1）若小滑块以最大速度被弹出，经过管道最低点B时对轨道的压力大小；
（2）某次游戏中小滑块被弹出后，恰能够通过圆弧轨道最高点，求此次弹射弹射器的弹性势能；
（3）将小滑块以不同初速度弹出，若均能沿轨道从点水平飞出，求小滑块最终在水平轨道上的落点到点的水平距离与弹射时弹射器的弹性势能满足的关系。
3．（13分）（2022江苏南京六校联合体联考）如图，用光滑细杆弯成半径为R的四分之三圆环ABCB'E，固定在竖直面内，C、E与圆心O在同一水平线上．质量为m的小球P（可视为质点）穿在圆环上，通过轻质细绳与相同质量的小球Q相连，细绳绕过固定在E处的轻小光滑定滑轮．开始小球P处于圆环上B点，两球均处于静止状态．给小球微小扰动，使P沿圆环向下运动．绳长大于CE，重力加速度为g，不计一切摩擦，结果保留根号．求：
（1）小球P在B点静止时，BE绳与CE的夹角θ及圆环对小球P的弹力大小；
（2）小球P下滑到B'点（B'与B关于CE对称）时，求小球Q的速率；
（3）小球P经过C点时的加速度大小．
4. (14 分) （2020河北唐山期末）质量不计的V形轻杆可以绕O点在竖直面内转动，AO和BO之间的夹角为53°，OA长为L1=0.3m，OB长为L2=0.6m，在轻杆的AB两点各固定一个可视为质点的小球P和Q，小球P的质量为m=1kg，如图所示。将OA杆拉至O点右侧水平位置由静止释放，OB杆恰能转到O点左侧水平位置。已知sin53°=0.8，cs53°=0.6, g取10m/s2，求:
(1)小球Q的质量M;
(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q的作用力。
5．（2020江西吉安期中）（11分）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑。一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v0向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s2。
（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？
（2）若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=1N，则在这段时间内摩擦力对小球做的功是多少？
（3）若v0=3m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？
6. （2022浙江三地市二模）(12分)如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道AB，圆心为O1的竖直半圆轨道BCD、圆心为O2的竖直半圆管道DEF，水平直轨道FG及弹性板等组成，轨道各部分平滑连接。已知滑块(可视为质点)质量m=0.01kg，轨道BCD的半径R=0.8m，管道DEF的半径r=0.1m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ=0.5，其余各部分轨道均光滑，轨道FG的长度l=2m，弹射器中弹簧的弹性势能最大值Epm=0.5J，滑块与弹簧作用后，弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回。
(1)若弹簧的弹性势能Ep0=0.16J，求滑块运动到与O1等高处时的速度v的大小；
(2)若滑块在运动过程中不脱离轨道，求第1次经过管道DEF的最高点F时，滑块对轨道弹力FN的最小值；
(3)若滑块在运动过程中不脱离轨道且最终静止在轨道FG中点的右侧区域内，求弹簧的弹性势能Ep的范围。
7.(14分)(2022山东烟台期中)如图所示，一竖直放置的内壁光滑的管状轨道是由两个半径为R=1m的半圆形管道和两段长度为h(可调)的直管构成，将一质量为m=2kg的小球由管道底部以水平初速度v0=8m/s释放，小球在管道运动时，始终受到竖直向上的、大小为F=4N的电磁力，重力加速度g=10m/s2，求：
(1)小球在最低点时对管道的压力；
(2)若小球恰好能够通过最高点，直管的长度h1为多少；
(3)若小球通过最高点时恰好对管道无作用力，直管的长度h2为多少；
(4)当直管的长度h3=1m时，小球从最低点到最高点的运动过程中机械能变化了多少？
8．（12分）(2022浙江名校联盟联考)如图所示，竖直平面内由倾斜轨道AB、半径为R的圆周细圆管O1（在底部C处有交错，交错宽度不计）、半径为R的四分之一圆弧轨道DE构成一游戏装置固定于地面。B、D处均平滑连接，粗糙水平直轨道CD段长为1.5R，滑动摩擦因数μ=0.5，其它所有摩擦均不计，圆弧轨道DE的圆心O2与圆周细圆管圆心O1等高。现将质量为m的小滑块从斜面的某高度h处静止释放，不计滑块大小和经过连接处的机械能损失。求：
（1）若h=3.5R，小球第一次冲出E点后达到的最高点离E点的高度；
（2）若h=3R，小球第一次到达细圆管的最高点时对轨道的作用力；
（3）若h的取值范围为0 QUOTE h QUOTE 3.5R，在此高度变化范围内，小球在直轨道CD段上的运动时间。
9．（2020江西吉安期中）（11分）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑。一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v0向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s2。
（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？
（2）若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=1N，则在这段时间内摩擦力对小球做的功是多少？
（3）若v0=3m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？
10.（2020高考全国III卷压轴卷）2020年新年伊始，人们怀着对新一年的美好祝愿和期盼，在广场的水平地面上竖立了“2020”数字模型，该模型是由较细的光滑管道制造而成，每个数字高度相等，数字“2”上半部分是半径R1=1m的圆形管道，数字“0”是半径R2=1.5m的圆形管道，“2”与“0”之间分别由导轨EF和HM连接，最右侧数字“0”管道出口处与四分之一圆轨道MN连接。从轨道AB上某处由静止释放质量为m=1kg的小球，若释放点足够高，小球可以顺着轨道连续通过“2020”管道并且可以再次返回“2020”管道。D、G分别为数字“2”和“0”管道想的最高点，水平轨道BC与小球间的动摩擦因数μ=0.5，且长度为L=1m，其余轨道均光滑，不计空气阻力且小球可以当作质点，g=10m/s2 。
（1）若小球恰好能通过“2020”管道，则小球在AB轨道上静止释放处相对地面的高度h为多少？
（2）若小球从h1=5m高处静止释放，求小球第一次经过D点时对管道的压力？
11. (12分)如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3 m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆。质量为ma＝100g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝36 g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4 m的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；
(2)小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功。（结果保留两位有效数字）
高考物理《机械能》常用模型最新模拟题精练
专题20机械能+杆系小球模型
二．计算题
B
A
O
1．（2023山西长治名校联考）（10分）如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根轻质直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动(sin370=0.6)，不计直尺的质量。求：
（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v.
（2）B球能上升的最大高度h.
【参考答案】（1）（2）h=1.28L
v1
v1/2
B
A
O
【名师解析】：（1）A到最低点的过程中A的重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加；由v=ωr，A的瞬时速率总是B的2倍。因此有：
，
解得
以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程没有其它能参与转化，所以该系统的机械能守恒。由于2mg2L>3mgL，因此A能到达并超越O点的正下方。
α
α
B
A
O
设该位置位于OA杆竖直位置向左偏了α角，
则2mg*2Lcsα=3mgL(1+sinα)
解得：sin(530-α)=sin37,α=160
所以B球能上升到的最大高度h=L+Lsin160=L+Lsin(530-370);
解得：h=1.28L
2．（12分）(2022浙江丽水高中发展共同体质检)如图所示，是某种轨道玩具的结构示意图，弹射装置可以将小滑块以不同初速度弹出，经光滑水平轨道、光滑圆弧管道、粗糙水平轨道、冲上光滑斜面轨道，并从点沿水平方向飞出，最终落在水平轨道上。已知弹射器的最大弹性势能Epmax=0.8J，圆弧轨道半径R=10cm，水平轨道长L=20cm，斜面轨道点距离水平轨道的高度h=5cm，若小滑块的质量m=0.1kg，与水平轨道的摩擦因数��=0.3。其它阻力均不计，小滑块可视为质点，轨道各部分平滑连接，小滑块从点飞离前始终未脱离轨道，取。求：
（1）若小滑块以最大速度被弹出，经过管道最低点B时对轨道的压力大小；
（2）某次游戏中小滑块被弹出后，恰能够通过圆弧轨道最高点，求此次弹射弹射器的弹性势能；
（3）将小滑块以不同初速度弹出，若均能沿轨道从点水平飞出，求小滑块最终在水平轨道上的落点到点的水平距离与弹射时弹射器的弹性势能满足的关系。
【参考答案】12分（1）17N；（2）；（3）（）
【名师解析】
----------------------------------------- 1分
----------------------------------------- 1分
解得 FN=17N ----------------------------------------- 1分
根据牛顿第三定律有压力等于支持力为17N ----------------------------------------- 1分
（2）小滑块恰能过点，则有vC=0 ----------------------------------------- 1分
从A到过程根据能量守恒可得
---------------------------- 1分
解得 ----------------------------------------- 1分
（3）小滑块从A到E过程，根据能量守恒定律可得
----------------------------------------- 1分
由E点抛出后有
联立解得
----------------------------------------- 2分
经分析，若能通过点均能够到达E，故
----------------------------------------- 1分
即小滑块最终在水平轨道上的落点到点的水平距离与弹射时弹射器的弹性势能满足的关系
（）------------------------ 1分
3．（13分）（2022江苏南京六校联合体联考）如图，用光滑细杆弯成半径为R的四分之三圆环ABCB'E，固定在竖直面内，C、E与圆心O在同一水平线上．质量为m的小球P（可视为质点）穿在圆环上，通过轻质细绳与相同质量的小球Q相连，细绳绕过固定在E处的轻小光滑定滑轮．开始小球P处于圆环上B点，两球均处于静止状态．给小球微小扰动，使P沿圆环向下运动．绳长大于CE，重力加速度为g，不计一切摩擦，结果保留根号．求：
（1）小球P在B点静止时，BE绳与CE的夹角θ及圆环对小球P的弹力大小；
（2）小球P下滑到B'点（B'与B关于CE对称）时，求小球Q的速率；
（3）小球P经过C点时的加速度大小．
【名师解析】
(1)小球P在B点静止时，受到重力、细绳的拉力、杆的支持力N作用，由平衡条件知，连线与P的重力、细绳的夹角相等
由几何关系知与间的夹角为－－－－－2分
由正交分解可得弹力
(2)小球P从B下滑到B’点过程中，
由几何关系可得：
根据机械能守恒定律可得
Q的速度关系为：
联立可得
(3)由几何关系可得
小球P下滑到C点时，Q的速度
根据机械能守恒定律：－－－－－１分
整理得
由平行四边形定则可知：
4. (14 分) （2020河北唐山期末）质量不计的V形轻杆可以绕O点在竖直面内转动，AO和BO之间的夹角为53°，OA长为L1=0.3m，OB长为L2=0.6m，在轻杆的AB两点各固定一个可视为质点的小球P和Q，小球P的质量为m=1kg，如图所示。将OA杆拉至O点右侧水平位置由静止释放，OB杆恰能转到O点左侧水平位置。已知sin53°=0.8，cs53°=0.6, g取10m/s2，求:
(1)小球Q的质量M;
(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q的作用力。
【命题意图】 本题以V形轻杆连接的小球为情景，考查机械能守恒定律和牛顿运动定律及其相关知识点。考查的核心素养是“运动和力”的观点、能量的观点。
【解题思路】
（1）OA水平释放到OB到水平位置的过程，系统机械能守恒
（3分）
解得 （2分）
（2）小球Q静止释放运动到最低点过程，系统机械能守恒
（3分）
其中 （2分）
在最低点，由牛顿第二定律 （2分）
解得 （2分）
5．（2020江西吉安期中）（11分）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑。一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v0向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s2。
（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？
（2）若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=1N，则在这段时间内摩擦力对小球做的功是多少？
（3）若v0=3m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？
【参考答案】：（1）（2）（3）
【名师解析】
（1）设此情形下小球到达最高点的最小速度为vC，则有
（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
（2）设此时小球到达最高点的速度为，克服摩擦力做的功为W，则
（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，
设小球经过最低点的速度为vA，受到的支持力为NA，
则有（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
设小球在整个运动过程中减少的机械能为，
由功能关系有（1分）
代入数据解得 （1分）
6. （2022浙江三地市二模）(12分)如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道AB，圆心为O1的竖直半圆轨道BCD、圆心为O2的竖直半圆管道DEF，水平直轨道FG及弹性板等组成，轨道各部分平滑连接。已知滑块(可视为质点)质量m=0.01kg，轨道BCD的半径R=0.8m，管道DEF的半径r=0.1m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ=0.5，其余各部分轨道均光滑，轨道FG的长度l=2m，弹射器中弹簧的弹性势能最大值Epm=0.5J，滑块与弹簧作用后，弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回。
(1)若弹簧的弹性势能Ep0=0.16J，求滑块运动到与O1等高处时的速度v的大小；
(2)若滑块在运动过程中不脱离轨道，求第1次经过管道DEF的最高点F时，滑块对轨道弹力FN的最小值；
(3)若滑块在运动过程中不脱离轨道且最终静止在轨道FG中点的右侧区域内，求弹簧的弹性势能Ep的范围。
【名师解析】
20．(1)到圆心O1等高处，由机械能守恒定律 （2分）
解得v=4m/s （1分）
(2)要求运动中，滑块不脱离轨道，则通过轨道BCD的最高点D的最小值 （1分）
DF过程， （2分）
N （1分）
由牛顿第三定律得滑块对轨道弹力为0.3N （1分）
(3) 保证不脱离轨道，滑块在F点的速度至少为vmin=2m/s，若以此速度在FG上滑行直至静止运动距离 （1分）
滑块没有越过FG的中点。
滑块以最大弹性势能弹出时，在FG上滑行的最大路程为xmax
（1分）
解得xmax=6.4m
由题意知，滑块不脱离轨道且最终静止在轨道FG中点的右侧区域，运动的路程应满足
1m
当x=5m时，可得Ep1=0.43J，当x=6.4m时，可得Ep1=0.5J；
因此弹性势能Ep的范围：0.23J
7.(14分)(2022山东烟台期中)如图所示，一竖直放置的内壁光滑的管状轨道是由两个半径为R=1m的半圆形管道和两段长度为h(可调)的直管构成，将一质量为m=2kg的小球由管道底部以水平初速度v0=8m/s释放，小球在管道运动时，始终受到竖直向上的、大小为F=4N的电磁力，重力加速度g=10m/s2，求：
(1)小球在最低点时对管道的压力；
(2)若小球恰好能够通过最高点，直管的长度h1为多少；
(3)若小球通过最高点时恰好对管道无作用力，直管的长度h2为多少；
(4)当直管的长度h3=1m时，小球从最低点到最高点的运动过程中机械能变化了多少？
【名师解析】．(14分)
⑴在最低点处有：……………………………①(2分)
解得：F支=144N………………………………………………………②(1分)
由牛顿第三定律可知，小球对管道的压力FN等于管道对小球的支持力F支
即FN=F支=144N………………………………………………………③(1分)
⑵小球到达最高点时的速度恰好为零，即可通过最高点
根据动能定理：…………………④(2分)
解得：h1=2m……………………………………………………………⑤(1分)
⑶小球通过最高点时有…………………………………⑥(2分)
小球从最低点到最高点过程中，根据动能定理
………………………………⑦(2分)
由⑥⑦联立解得h2=1.5m………………………………………………⑧(1分)
⑷从最低点到最高点运动过程中，小球的机械能增加
由功能关系可知，增加的机械能∆E=F（h3+2R）=12J………………⑨(2分)
8．（12分）(2022浙江名校联盟联考)如图所示，竖直平面内由倾斜轨道AB、半径为R的圆周细圆管O1（在底部C处有交错，交错宽度不计）、半径为R的四分之一圆弧轨道DE构成一游戏装置固定于地面。B、D处均平滑连接，粗糙水平直轨道CD段长为1.5R，滑动摩擦因数μ=0.5，其它所有摩擦均不计，圆弧轨道DE的圆心O2与圆周细圆管圆心O1等高。现将质量为m的小滑块从斜面的某高度h处静止释放，不计滑块大小和经过连接处的机械能损失。求：
（1）若h=3.5R，小球第一次冲出E点后达到的最高点离E点的高度；
（2）若h=3R，小球第一次到达细圆管的最高点时对轨道的作用力；
（3）若h的取值范围为0 QUOTE h QUOTE 3.5R，在此高度变化范围内，小球在直轨道CD段上的运动时间。
【名师解析】.（12分）
（1）由开始到小球第一次到达最高点采用动能定理：
分
得h1=1.75R 分
（2）从开始到达细圆管道的最高点过程采用动能定理：
分
在最高点对小球受力分析
分
得 分
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力为mg，方向竖直向上 分
（3）当
小球返回细圆轨道能到达的最高点为
分
得 所以小球最终停止在轨道EF上
=0 分
得S=2h 分
得t= 分
当 t=0 分
9．（2020江西吉安期中）（11分）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑。一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v0向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s2。
（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？
（2）若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=1N，则在这段时间内摩擦力对小球做的功是多少？
（3）若v0=3m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？
【参考答案】：（1）（2）（3）
【名师解析】
（1）设此情形下小球到达最高点的最小速度为vC，则有
（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
（2）设此时小球到达最高点的速度为，克服摩擦力做的功为W，则
（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，
设小球经过最低点的速度为vA，受到的支持力为NA，
则有（1分）
（1分）
代入数据解得 （1分）
设小球在整个运动过程中减少的机械能为，
由功能关系有（1分）
代入数据解得 （1分）
10.（2020高考全国III卷压轴卷）2020年新年伊始，人们怀着对新一年的美好祝愿和期盼，在广场的水平地面上竖立了“2020”数字模型，该模型是由较细的光滑管道制造而成，每个数字高度相等，数字“2”上半部分是半径R1=1m的圆形管道，数字“0”是半径R2=1.5m的圆形管道，“2”与“0”之间分别由导轨EF和HM连接，最右侧数字“0”管道出口处与四分之一圆轨道MN连接。从轨道AB上某处由静止释放质量为m=1kg的小球，若释放点足够高，小球可以顺着轨道连续通过“2020”管道并且可以再次返回“2020”管道。D、G分别为数字“2”和“0”管道想的最高点，水平轨道BC与小球间的动摩擦因数μ=0.5，且长度为L=1m，其余轨道均光滑，不计空气阻力且小球可以当作质点，g=10m/s2 。
（1）若小球恰好能通过“2020”管道，则小球在AB轨道上静止释放处相对地面的高度h为多少？
（2）若小球从h1=5m高处静止释放，求小球第一次经过D点时对管道的压力？
【名师解析】.（12分）
（1）恰好能过管道最高点即最高点速度为0
A-B-C阶段由动能定理： ---------2分
C-D阶段由机械能守恒： ------------2分
得： h=3.5m ------------1分
从释放到运动至C处，由动能定理:
---------2分
D阶段由机械能守恒：
-------2分
设小球在D处受到的弹力为FN
D点： ---------2分
得： FN=20N 由牛顿第三定律可知
小球在D处对管道的压力大小也为20N，且方向竖直向上 ---------1分
11. (12分)如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3 m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆。质量为ma＝100g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝36 g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4 m的轻杆通过两铰链连接。现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；
(2)小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功。（结果保留两位有效数字）
【名师解析】:(1)当a滑到与O同高度P点时，a的速度v沿圆环切线向下，b的速度为零，由动能定理可得：magR＝eq \f(1,2)mav2 (2分)
对小球a受力分析，由牛顿第二定律可得：F＝eq \f(mav2,R) (2分)
F＝2 N (1分)
杆与圆相切时，如图所示，a的速度沿杆方向，设此时b的速度为vb，
根据杆不可伸长和缩短，有：
va＝vbcsθ (1分)
由几何关系可得：csθ＝eq \f(L,\r(L2＋R2))＝0.8 (1分)
在图中，球a下降的高度h＝Rcsθ (1分)
a、b系统机械能守恒：mag（h+R）＝eq \f(1,2)maveq \\al(2,a)＋eq \f(1,2)mbveq \\al(2,b) (2分)
对滑块b，由动能定理得：W＝eq \f(1,2)mbveq \\al(2,b) -0 (1分) W＝0.19 J(1分)
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