高二数学期末模拟卷（天津专用）范围：统计概率+函数+集合逻辑-2023-2024学年高二下学期期末模拟考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10． 11. 0.5 12. 0.8 13. 1.6 4.275 14. 15.
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16（14分）【解答】解：（Ⅰ），
若函数在时取得极值，
则（2），解得：，
时，，
令，解得：或，
令，解得：，
在递增，在递减，在递增；
是极小值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
在，递减，在，递增，
在最小值是（2），的最大值是．
17（15分）【解答】解：（1）记小张能参与翻牌闯关环节的事件为，
；
（2）由题意得的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，
，
，
，
，
，
，
故随机变量的分布列为：
．
18（15分）【解答】解：（1）当时，，
则（1），，
所以（1），
所以曲线在点，（1）处的切线方程为，
（2）的定义域为，
由，得，
当时，，当时，，
所以的递增区间为，递减区间为，
（3）由（2）可知当取得最大值（1），
因为对任意，不等式恒成立，
所以，即，，
解得或，
即的取值范围为．
19（15分）【解答】解：（1）易知，
所以我们没有的把握认为“外国运动员对店装感兴趣与性别有关”；
（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，
其中男性运动员4名，女性运动员2名，
此时的所有可能取值为1，2，3，
所以，
则的分布列为：
故．
20（16分）【解答】（1）证明：令，
则．
当时，；当时，，
故在上单调递减；在上单调递增，
所以（1），即．
（2）证明：由（1）知：．
当，时，，，故．
解：，令，则．
因为函数的定义域为，
故的零点与的零点相同，
所以下面研究函数在上的零点个数．
，．
①当时，在上恒成立，
在上单调递增．
，．
存在唯一的零点，使得．
当时，，
可得在上单调递减，在，上单调递增．
的最小值为．
①令，则，
所以（a）在上单调递增，在上单调递减，又．
当时，有唯一零点；
②当，即时，且．
（1），在上有唯一的零点．
又由知：在上存在唯一零点，不妨设，
在上有唯一的零点，
故此时在上有两个零点；
③当，即时，且，（1），．
又，由函数零点存在定理可得在，上有唯一零点，
故在，上各一个唯一零点．
综上可得：当或时，函数有唯一零点；
当且时，函数有两个零点．
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C
D
B
D
C
D
B
B
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