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天津市滨海新区塘沽第一中学2023-2024学年高二上学期期末模拟考试数学试卷一
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这是一份天津市滨海新区塘沽第一中学2023-2024学年高二上学期期末模拟考试数学试卷一，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，则下列命题正确的是（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．不垂直
4．已知是数列的前n项和，若，，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．数列是等比数列D．数列是等差数列
5．已知圆：，直线：与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
6．三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知公差的等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是中的最大值B．是中的最小值
C．D．
8．定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（ ）
A．3B．C．9D．6
9．已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（ ）
A．－1B．－2
C．－1或2D．－2或1
10．石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
11．已知圆，若点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．已知数列满足，.给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列的前n项和；
③数列每一项都满足成立；
④数列每一项都满足.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．①②④
二、填空题
13．已知等比数列满足，，则 .
14．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
15．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ．
16．已知两条平行直线间的距离为，则 .
三、双空题
17．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设、分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则双曲线的离心率为 ；的最小值为 ．
18．在如图所示的数表中，第行第列的数记为，且满足，，，则此数表中的第行第列的数是 ；记第行的数、、、、、为数列，则数列的通项公式为 ．
19．如图所示，在几何体中，，平面，则点E到直线的距离为 、直线与平面所成角的正弦值为 ．
20．已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点相同，则双曲线的方程为 ，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于D，E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为 ．
四、解答题
21．已知圆过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆：相交于两点，求两个圆公共弦的长.
【答案】(1)
(2)
22．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
23．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，（）.
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和；
(3)求证：（）.
24．设椭圆（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知P为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若四边形与三角形的面积之比为，求点P坐标.
参考答案
一选择题
1-5 DDBCA
6-10DDACC
11-12CC
二填空题
13. 6
14. 或
15.9
16.5
17. 3 8
18.
19.
20. 24
三.解答题
21.（1）设圆的标准方程为，
所以有；
（2）由，或，即，
所以.
22. （1）证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，
易知平面的一个法向量为，故，
则，
又平面，故平面．
（2）易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
且，，
则，令，则，，，
设平面与平面夹角为，易知为锐角，
所以，即平面与平面夹角的余弦值为．
（3）设平面的法向量为，且，
则，令，则，，故，
设点到平面距离为，．
23．
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，得，则，
由，，得，解得，，则， ，
所以，的通项公式是，.
（2）当是奇数时，，
当是偶数时，，
则，
于是，
两式相减得：
因此，
，
所以.
（3）由（1）知，，当且仅当时取等号，
因此，
所以（）.
24.（1）因为，，所以，
所以，所以，
所以椭圆方程为；
（2）如下图所示：
因为四边形与三角形的面积之比为，
所以三角形与三角形的面积比为，
所以，所以，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，
联立，所以，
所以，，
所以，解得，
当时，，，
所以，所以，
当时，，，
所以，所以，
综上可知，点坐标为或.
第1行 1 2 4 8 …
第2行 2 3 5 9 …
第3行 3 5 8 13 …
… …
1．若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，则下列命题正确的是（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．不垂直
4．已知是数列的前n项和，若，，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．数列是等比数列D．数列是等差数列
5．已知圆：，直线：与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
6．三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知公差的等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是中的最大值B．是中的最小值
C．D．
8．定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（ ）
A．3B．C．9D．6
9．已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（ ）
A．－1B．－2
C．－1或2D．－2或1
10．石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
11．已知圆，若点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．已知数列满足，.给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列的前n项和；
③数列每一项都满足成立；
④数列每一项都满足.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．①②④
二、填空题
13．已知等比数列满足，，则 .
14．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
15．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ．
16．已知两条平行直线间的距离为，则 .
三、双空题
17．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设、分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则双曲线的离心率为 ；的最小值为 ．
18．在如图所示的数表中，第行第列的数记为，且满足，，，则此数表中的第行第列的数是 ；记第行的数、、、、、为数列，则数列的通项公式为 ．
19．如图所示，在几何体中，，平面，则点E到直线的距离为 、直线与平面所成角的正弦值为 ．
20．已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点相同，则双曲线的方程为 ，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于D，E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为 ．
四、解答题
21．已知圆过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆：相交于两点，求两个圆公共弦的长.
【答案】(1)
(2)
22．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
23．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，（）.
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和；
(3)求证：（）.
24．设椭圆（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知P为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若四边形与三角形的面积之比为，求点P坐标.
参考答案
一选择题
1-5 DDBCA
6-10DDACC
11-12CC
二填空题
13. 6
14. 或
15.9
16.5
17. 3 8
18.
19.
20. 24
三.解答题
21.（1）设圆的标准方程为，
所以有；
（2）由，或，即，
所以.
22. （1）证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，
易知平面的一个法向量为，故，
则，
又平面，故平面．
（2）易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
且，，
则，令，则，，，
设平面与平面夹角为，易知为锐角，
所以，即平面与平面夹角的余弦值为．
（3）设平面的法向量为，且，
则，令，则，，故，
设点到平面距离为，．
23．
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，得，则，
由，，得，解得，，则， ，
所以，的通项公式是，.
（2）当是奇数时，，
当是偶数时，，
则，
于是，
两式相减得：
因此，
，
所以.
（3）由（1）知，，当且仅当时取等号，
因此，
所以（）.
24.（1）因为，，所以，
所以，所以，
所以椭圆方程为；
（2）如下图所示：
因为四边形与三角形的面积之比为，
所以三角形与三角形的面积比为，
所以，所以，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，
联立，所以，
所以，，
所以，解得，
当时，，，
所以，所以，
当时，，，
所以，所以，
综上可知，点坐标为或.
第1行 1 2 4 8 …
第2行 2 3 5 9 …
第3行 3 5 8 13 …
… …
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