2023-2024学年河北省衡水市深州中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省衡水市深州中学高二（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.过点(1,2)且斜率为3的直线方程为( )
A. 3x−y−1=0B. 3x−2y+1=0C. x+y+1=0D. x+y−1=0
2.2023《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名.现有甲、乙、丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有( )
A. 4种B. 6种C. 8种D. 9种
3.下列说法中正确是( )
A. 相关系数r越大，则两变量的相关性就越强
B. 经验回归方程不一定过样本中心点
C. 对于经验回归方程y =3+2x，当变量x增加1个单位时，y平均增加3个单位
D. 对于经验回归方程y =2−x，变量x与变量y负相关
4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，若△AF1F2为等边三角形，则椭圆C的离心率为( )
A. 12B. 22C. 13D. 33
5.已知函数f(x)=x2−lnx，则函数f(x)的单调递减区间为( )
A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0, 22)D. ( 22,+∞)
6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，以线段F1F2为直径的圆在第一象限交双曲线C于点A，sin∠AF1F2= 7−14，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y=±xB. y=± 3xC. y=±2xD. y=± 2x
7.已知随机变量X，Y，X～B(4,12)，Y～N(μ,σ2)，且E(Y)=8P(X=2)，又P(Y≤0)=P(Y≥m2+2)，则实数m的值为( )
A. 0或2B. 2C. −2或2D. −2
8.已知数列{an}满足1an=1+2+4+…+2n−1，数列{(λn+1)(2n−1)an}的前n项和为Sn，若Sn的最大值仅为S8，则实数λ的取值范围是( )
A. [−110,−111]B. (−1,−19]C. (−18,−19)D. [−15,−16]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于(x−1x)9的展开式，下列说法正确的是( )
A. 各项的系数之和为−1B. 二项式系数的和为512
C. 展开式中无常数项D. 第4项的系数最大
10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是( )
A. B1G⊥EF
B. A1H//平面AEF
C. 点B1到平面AEF的距离为2
D. 二面角E−AF−C的大小为π4
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F在直线l：y=kx−k上，直线l与抛物线交于点A，B，(O为坐标原点)，则下列说法中正确的是( )
A. p=2B. 准线方程为x=−2
C. 以线段AB为直径的圆与C的准线相切D. 直线OA、OB的斜率之积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}，a1+a6+a11=6，且a4=1，则数列{an}的公差为______．
13.有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______．
14.已知函数f(x)=12x2−(a+2)x+2alnx+1在(4,6)上存在极值点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等比数列{an}满足a2=4，a5=32．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N∗)个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为514．
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X，求X的分布列和数学期望．
17.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，|BF|=2，离心率为12．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l：y=x−2m(m≠0)与椭圆E相交于A，C两点，且点N(0,m)，当△ACN的面积最大时，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−1−lnx．
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)求证：exf(x)+(ex−1)lnx−ex+12>0．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意可得直线为y=3(x−1)+2，化简得3x−y−1=0，
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，甲、乙、丙三人都可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名，
即每人都有2种报名方法，则3人有2×2×2=8种报名方法．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】解：相关系数r的绝对值越大，则两变量的相关性就越强，故A错误；
经验回归方程一定过样本中心点，故B错误；
对于经验回归方程y =3+2x，当变量x增加1个单位时，y平均增加2个单位，故C错误；
对于经验回归方程y =2−x，变量x与变量y负相关，故D正确．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，
若△AF1F2为等边三角形，
由椭圆的对称性知b= 3c，
即b2=3c2，
又a2=b2+c2，
可得a=2c，
所以e=12．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】解：f(x)的定义域是(0,+∞)，
f′(x)=2x−1x=2x2−1x，
令f′(x)<0，解得0则函数f(x)的单调递减区间为(0, 22).
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可知AF1⊥AF2，
所以sin∠AF1F2=|AF2||F1F2|= 7−14，设|AF2|=m，则m= 7−12c，|AF1|=2a+m=2a+ 7−12c，
由勾股定理可知：|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，
即(2a+ 7−12c)2+( 7−12c)2=4c2，
整理可得：4a2+2( 7−1)ac− 7c2=0，
可得2a=c或2a=− 7c(舍)，
可得b= c2−a2= 3a，
所以渐近线的方程为y=±bax=± 3x.
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，X～B(4,12)，则P(X=2)=C42(12)2(1−12)2=38，
又由Y～N(μ,σ2)，且E(Y)=8P(X=2)，则有μ=8×38=3，
又P(Y≤0)=P(Y≥m2+2)，则有m2+2+0=6，解可得m=2或−2．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，可得1an=1+2+4+…+2n−1
=1+21+22+⋅⋅⋅+2n−1
=1−2n1−2
=2n−1，
∴an=12n−1，n∈N∗，
构造数列{bn}：令bn=(λn+1)(2n−1)an，
则bn=(λn+1)(2n−1)an，
=(λn+1)(2n−1)⋅12n−1
=λn+1，
∵bn+1−bn=λ(n+1)+1−λn−1=λ，而λ为一个常数，
∴数列{bn}是以λ为公差的等差数列，
又∵数列{bn}的前n项和Sn的最大值仅为S8，
∴数列{bn}是递减的等差数列，即λ<0，
且有a8>0a9<0，
整理，得λ<08λ+1>09λ+1<0，
解得−18<λ<−19，
∴实数λ的取值范围为(−18,−19).
故选：C．
9.【答案】BC
【解析】解：关于(x−1x)9的展开式，令x=1，可得它的各项的系数之和为0，故A错误．
(x−1x)9的二项式系数之和为29=512，故B正确．
(x−1x)9的展开式的通项为Tr+1=C9r⋅(−1)r⋅x9−2r，
令9−2r=0，可得r无整数解，故展开式中无常数项，故C正确．
由于第r+1项的系数为C9r⋅(−1)r，故当r=4时，系数最大，
即第5项的系数最大，故D错误．
故选：BC．
10.【答案】ABC
【解析】解：建立空间直角坐标系如下图所示，
B1(2,2,2)，G(0,1,0)，E(0,2,1)，F(1,2,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，H(2,2,1)，
B1G=(−2,−1,−2),EF=(1,0,−1),B1G⋅EF=0，所以B1G⊥EF，A选项正确．
A1H=(0,2,−1),AF=(−1,2,0)，
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅EF=x−z=0n⋅AF=−x+2y=0，故可设n=(2,1,2)，A1H⋅n=0，
由于A1H⊂平面AEF，所以A1H//平面AEF，B选项正确．
B1A=(0,−2,−2)，所以B1到平面AEF的距离为|n⋅B1A|n||=63=2，C选项正确．
平面AFC的法向量为DD1=(0,0,2)，
设二面角E−AF−C的平面角为θ，由图可知，θ为锐角．
csθ=|n⋅DD1|n|⋅|DD1||=43×2=23，所以θ不是π4，D选项错误．
故选：ABC．
11.【答案】ACD
【解析】解：由题意可得焦点坐标为F(1,0)，
所以p2=1，则p=2，故A正确；
准线方程为x=−p2=−1，故B错误；
对于C选项，过A，B点往准线作垂线，垂足为A1，B1，
AB的中点为E点，过E点作准线的垂线，垂足为E′，
由抛物线的定义可得|AB|=|AA1|+|BB1|=2|EE′|，
所以以线段AB为直径的圆与C的准线相切，故C正确；
对于D选项，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx−ky2=4x，可得k2x2−(4+2k2)x+k2=0，
则x1+x2=4+2k2k2，x1x2=1，
则kOA⋅kOB=y1y2x1x2=−4 x1x2x1x2=−4 x1x2=−4，故D正确．
故选：ACD．
12.【答案】12
【解析】解：∵等差数列{an}，a1+a6+a11=6，设公差为d，
则3(a1+5d)=3a6=6，∴a6=2．
∵a4=1，
∴2=1+2d，∴d=12．
故答案为：12．
13.【答案】516
【解析】解：记Ai为事件“零件为第i(i=1,2,3)台车床加工”，B为事件“任取一个零件为次品”，
则P(A1)=0.2，P(A2)=0.3，P(A3)=0.4，
所以由全概率公式可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.2×0.04+0.3×0.05+0.5×0.05=0.048；
由条件概率公式可得P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=0.3×．
故答案为：516．
14.【答案】(4,6)
【解析】解：函数f(x)=12x2−(a+2)x+2alnx+1的导数为f′(x)=x−(a+2)+2ax，
由题意可得f′(x)=0在(4,6)内有解，
即x−(a+2)+2ax=0，也即(x−2)(x−a)=0在x∈(4,6)有解，
又4故答案为：(4,6)．
15.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
则q3=a5a2=324，
解得q=2，
∴a1=a2q=42=2，
∴an=2⋅2n−1=2n，n∈N∗．
(2)由(1)可得，nan=n⋅2n，
则Tn=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋅⋅⋅+n⋅2n，
2Tn=1⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，
两式相减，
可得−Tn=1⋅21+1⋅22+1⋅23+⋅⋅⋅+1⋅2n−n⋅2n+1
=21−2n+11−2−n⋅2n+1
=−(n−1)⋅2n+1−2，
∴Tn=(n−1)⋅2n+1+2．
【解析】(1)先设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，根据题干已知条件及等比数列的定义推导出公比q的值，进一步计算出首项a1的值，即可计算出等比数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{nan}的通项公式，再运用错位相减法即可推导出前n项和Tn．
16.【答案】解：(1)由题意知共有n+3个集团，取出2个集团的方法总数是Cn+32，其中全是大集团的情况有Cn2，
故全是大集团的概率是Cn2Cn+32=n(n−1)(n+3)(n+2)=514，
整理得到9n2−39n−30=0，解得n=5，
若2个全是大集团，共有C52=10种情况，
若2个全是小集团，共有C32=3种情况，
故全为小集团的概率为33+10=313；
(2)由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
计算P(X=0)=C50C33C83=156，P(X=1)=C51C32C83=1556，
P(X=2)=C52C31C83=1528，P(X=3)=C53C30C83=1056，
故X的分布列为：
数学期望为E(X)=0×156+1×1556+2×1528+3×1056=158．
【解析】(1)根据古典概型的概率公式计算全为小集团的概率值；
(2)由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
17.【答案】解：(1)由题意可知|BF|=a=2e=ca=12b2=a2−c2，解得a=2，b2=3，
所以椭圆的方程为：x24+y23=1；
(2)设A(x1,y1)，C(x2,y2)，
联立3x2+4y2=12y=x−2m，整理可得：7x2−16mx+16m2−12=0，
Δ=162m2−4×7×(16m2−12)>0，可得m2<74，
且x1+x2=16m7，x1x2=16m2−127，
所以|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 162m249−4⋅16m2−127=4 21−12m27，
直线l过Q点(0,−2m)，所以|QN|=|3m|，
所以S△ACN=12|QN|⋅|x1−x2|=67⋅ −12m4+21m2，当m2=78时，符合Δ>0，的条件，
S△ACN最大，且最大值为：3 32．
【解析】(1)由题意可得a的值，再由离心率可得c的值，进而求出b的值，求出椭圆E的标准方程；
(2)联立直线l的方程与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，可得A，C的横坐标之差的绝对值，由直线l的方程可知过定点Q的坐标，代入三角形的面积公式，由二次函数的最值的求法，可得三角形面积的最大值．
18.【答案】(1)解：∵f(x)=ex−1−lnx，∴f′(x)=ex−1−1x，
设μ(x)=ex−1−1x，μ′(x)=ex−1+1x2>0，
∴μ(x)在(0,+∞)上为单调递增函数，
μ(1)=0，∴f′(1)=0，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴x=1时，f(x)取得最小值，f(x)min=f(1)=1；
(2)证明：要证exf(x)+(ex−1)lnx−ex+12>0，只需证ex(ex−1−lnx)+(ex−1)lnx−ex+12>0，
即证(x−1)ex−lnx+12>0，令g(x)=(x−1)ex−lnx+12，则g′(x)=xex−1x(x>0)，
当x>0时，令ℎ(x)=g′(x)=xex−1x，则ℎ′(x)=(x+1)ex+1x2>0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
即g′(x)=xex−1x在(0,+∞)上为增函数，
又∵g′(23)=23e23−32=23[e23−(278)23]<0,g′(1)=e−1>0，
∴存在x0∈(23,1)，使得g′(x0)=0，
由g′(x0)=x0ex0−1x0=x02ex0−1x0=0，
得x02ex0=1，即ex0=1x02，即−2lnx0=x0，
∴当x∈(0,x0)时，g′(x)=xex−1x<0，g(x)单调递减，
当x∈(x0,+∞)时，g′(x)=xex−1x>0，g(x)单调递增，
∴g(x)min=g(x0)=(x0−1)ex0−lnx0+12=x0−1x02+x02+12=x03+x02+2x0−22x02，
令φ(x)=x3+x2+2x−2(23则φ′(x)=3x2+2x+2=3(x+13)2+53>0，
∴φ(x)在(23,1)上单调递增，∴φ(x0)>φ(23)=227>0，
∴g(x)≥g(x0)=φ(x0)2x02>0，∴(x−1)ex−lnx+12>0，
即exf(x)+(ex−1)lnx−ex+12>0．
【解析】(1)对f(x)求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的最小值；
(2)分析可得要证exf(x)+(ex−1)lnx−ex+12>0，只需证(x−1)ex−lnx+12>0，令g(x)=(x−1)ex−lnx+12，利用导数求得g(x)min>0即可得证．X
0
1
2
3
P
156
1556
1528
1056