新九年级数学时期讲义第7讲圆的认识-提高班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第7讲圆的认识-提高班(学生版+解析)，共34页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1 圆的认识
1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
2.圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
3.两圆的性质
两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.
4. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
5. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
5.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
6.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【例题精选】
例1 (2023秋•长兴县期中）已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可能是（ ）
A．2B．5C．9D．11
例2(2023秋•江城区期中）如图，图中的弦共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
例3. (2023秋•江都区期中）自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征（ ）
A．圆是轴对称图形
B．圆是中心对称图形
C．圆上各点到圆心的距离相等
D．直径是圆中最长的弦
【随堂练习】
1．(2023秋•滨海县期中）到定点的距离等于定长的点的集合是（ ）
A．圆的外部B．圆的内部
C．圆D．圆的内部和圆
2．(2023•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆O1可以经过点CB．点C可以在圆O1的内部
C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部
3．(2023•资中县一模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心

2垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
注意：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
【例题精选】
例1(2023秋•铁西区期末）如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为_________．
例2(2023•新宾县二模）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝4，则⊙O的半径为________．
【随堂练习】
1．(2023秋•江津区期末）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，若⊙O的半径为5cm，AB＝8cm，则PD的长为______cm．
2．(2023•顺义区二模）如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是_______cm．（结果保留一位小数）
3．(2023秋•开福区校级期末）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为______．
4．(2023•拱墅区校级模拟）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AD＝_________．

3弦、弧、圆心角的关系
1.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
【例题精选】
例1(2023秋•吴兴区期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
例2(2023•泸县模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D分别是⊙O上的两点，OC⊥OD，AC＝2cm，BD＝cm，则⊙O的半径是（ ）
A．cmB．2cmC．cmD．3cm
【随堂练习】
1．(2023秋•天心区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
2．(2023秋•福田区期末）下图中∠ACB是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023秋•鞍山期末）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，则下列说法中正确的是（ ）
A．AD＝2OBB．点B是劣弧CD的中点
C．OE＝EBD．点D是AB弧中点
4．(2023秋•江阴市校级期中）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4圆周角定理
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【例题精选】
例1(2023•平邑县一模）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．70°
例2 (2023•南岗区校级二模）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（ ）
A．70°B．110°C．120°D．140°
【随堂练习】
1．(2023•涪城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝25°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
2．(2023•富顺县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）
A．34°B．46°C．56°D．66°
3．(2023秋•定州市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
4．(2023•武汉模拟）如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．(2023秋•香坊区期末）如图，⊙O中，∠ABC＝45°，则∠AOC等于（ ）
A．55°B．80°C．90°D．135°

综合练习
一．选择题
1．如图，AB、BC为⊙O的两条弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，则∠ABC的度数为（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
3．如图，在圆O中，点A、B、C在圆上，∠OAB＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝50°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
5．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二．解答题
6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度数．
8．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．
（1）求证：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．
第7讲 圆的认识
1 圆的认识
1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
2.圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
3.两圆的性质
两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.
4. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
5. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
5.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
6.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【例题精选】
例1 (2023秋•长兴县期中）已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可能是（ ）
A．2B．5C．9D．11
分析：根据圆中最长的弦为直径求解．
【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，
所以弦长L≤10．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜L≤10．
例2(2023秋•江城区期中）如图，图中的弦共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
分析：根据弦的定义解答即可．
【解答】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选：B．
【点评】考查了圆的认识，解题的关键是了解弦的定义，难度不大．
例3. (2023秋•江都区期中）自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征（ ）
A．圆是轴对称图形
B．圆是中心对称图形
C．圆上各点到圆心的距离相等
D．直径是圆中最长的弦
分析：利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断．
【解答】解：因为圆上各点到圆心的距离相等，
所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，
所以自行车车轮要做成圆形．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【随堂练习】
1．(2023秋•滨海县期中）到定点的距离等于定长的点的集合是（ ）
A．圆的外部B．圆的内部
C．圆D．圆的内部和圆
【解答】解：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
故选：C．
2．(2023•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆O1可以经过点CB．点C可以在圆O1的内部
C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部
【解答】解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，
∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；
∵过点B、C的圆记作为圆O2，
∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；
∵过点C、A的圆记作为圆O3，
∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．
故选：B．
3．(2023•资中县一模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
B．圆有无数条对称轴，正确；
C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；
D．圆的对称中心是它的圆心，正确；
故选：C．

2垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
注意：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
【例题精选】
例1(2023秋•铁西区期末）如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为_________．
分析：首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D
∵CD＝4，OD＝10，
∴OC＝6，
又∵OB＝10，
∴Rt△BCO中，BC＝＝8，
∴AB＝2BC＝16．
故答案为：16cm．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．
例2(2023•新宾县二模）如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝4，则⊙O的半径为________．
分析：根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设⊙O的半径为R，
∵EM＝4，
∴OC＝R，OM＝4﹣R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD＝2，
∴∠OMC＝90°，CM＝DM＝1，
由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
即R2＝（4﹣R）2+12，
解得：R＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
【随堂练习】
1．(2023秋•江津区期末）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，若⊙O的半径为5cm，AB＝8cm，则PD的长为______cm．
【解答】解：连结OA，
∵CD⊥AB，
∴∠APO＝90°，PA＝PB＝，
在Rt△OAP中，OP2+PA2＝OA2，
∴OP2+42＝52，
解得OP＝3，
∴PD＝OD﹣OP＝5﹣3＝2（cm）
故答案为2．
2．(2023•顺义区二模）如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是_______cm．（结果保留一位小数）
【解答】解：由垂径定理可知，圆的圆心在点O处，连接OA，
由勾股定理得，OA＝＝，
∴圆的周长＝2π≈8.9，
故答案为：8.9．
3．(2023秋•开福区校级期末）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为______．
【解答】解：连接AO，
∵AB＝6，OP⊥AB，
∴AP＝3，
∵AO＝5，
∴OP＝＝＝4．
故答案为：4．
4．(2023•拱墅区校级模拟）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AD＝_________．
【解答】解：
∵CE＝2，DE＝6，
∴CD＝DE+CE＝8，
∴OD＝OB＝OC＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，
∵CD⊥AB，CD过O，
∴AE＝BE＝2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，
故答案为：4．

3弦、弧、圆心角的关系
1.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
【例题精选】
例1(2023秋•吴兴区期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
分析：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，利用等角的余角相等得到∠DOE＝∠AOC，则DE＝AC＝2，利用三角形内角和可计算出∠BDE＝135°，所以∠BDF＝45°，从而可计算出DF＝BF＝2，利用勾股定理计算出BE＝2，然后根据△BOE为等腰直角三角形可得到OB的长．
【解答】解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，
∵∠DOC＝90°，∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠AOC，
∴DE＝AC＝2，
∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠BDF＝45°，
∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，
在Rt△BEF，BE＝＝2，
∵△BOE为等腰直角三角形，
∴OB＝×2＝．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
例2(2023•泸县模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D分别是⊙O上的两点，OC⊥OD，AC＝2cm，BD＝cm，则⊙O的半径是（ ）
A．cmB．2cmC．cmD．3cm
分析：过点O作OE⊥AB，与圆交于点E，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CB于点G，连接CE、DE、BC．先证明四边形EDBC为等腰梯形，由BD＝，∠CBD＝45°，∠BDH＝45°，得到HB＝HD＝1，同理EG＝1，BC＝CG+GH+BH＝1+2+1＝4在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB＝，于是OA＝OB＝．
【解答】解：过点O作OE⊥AB，与圆交于点E，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EG⊥BC于点G，连接CE、DE、BC．
∴GH＝DE＝2
∵OC⊥OD，OE⊥AB，
∴∠COD＝∠AOE＝∠BOE＝90°，
∴∠AOC＝∠EOD，∠COE＝∠BOD，
∴AC＝DE＝2，CE＝BD＝，
∵∠COD＝90°，∠BOE＝90°，
∴∠CBD＝∠COD＝45°，∠BCE＝BOE＝45°，
∴∠CED＝180°﹣∠CBD＝135°，∠BDE＝180°﹣∠BCE＝135°，
∴∠CED+∠BCE＝180°，
∴DE∥AB，四边形EDBC为等腰梯形，
∵BD＝，∠CBD＝45°，∠DBH＝45°，
∴HB＝HD＝BD＝1，
同理EG＝1
∵GH＝DE＝2，
∴BC＝CG+GH+BH＝1+2+1＝4
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝AC2+BC2＝22+42＝20，
∴AB＝，
OA＝OB＝
故选：C．
【点评】本题考查了圆综合知识，熟练运用圆周角与圆心角与弦的关系是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•天心区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
【解答】解：A、正确．本选项符合题意．
B、错误．应该是平分弦（此弦分直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，本选项符合题意．
C、错误，必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．
D、错误．必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．
故选：A．
2．(2023秋•福田区期末）下图中∠ACB是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、∠ACB不是圆心角；
B、∠ACB是圆心角；
C、∠ACB不是圆心角；
D、∠ACB不是圆心角；
故选：B．
3．(2023秋•鞍山期末）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，则下列说法中正确的是（ ）
A．AD＝2OBB．点B是劣弧CD的中点
C．OE＝EBD．点D是AB弧中点
【解答】解：A．AB＝2OB，而AB＞AD，故此选项错误；
B．由AB⊥CD知点B是劣弧CD的中点，故此选项正确；
C．OE与EB不一定相等，故此选项错误；
D．当CD过圆心且AB⊥CD时，点D是AB弧中点，故此选项错误；
故选：B．
4．(2023秋•江阴市校级期中）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①正确；
②在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；
③圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；
因此正确的结论是①②；
故选：B．
4圆周角定理
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【例题精选】
例1(2023•平邑县一模）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．70°
分析：利用圆周角定理判断即可求出所求．
【解答】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝40°，
∵∠BOC与∠BDC都对，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
例2 (2023•南岗区校级二模）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（ ）
A．70°B．110°C．120°D．140°
分析：作所对的圆周角∠ADB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠ADB＝70°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：作所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【随堂练习】
1．(2023•涪城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝25°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
【解答】解：∵∠AOD＝2∠ACD，∠ACD＝25°，
∴∠AOD＝50°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
2．(2023•富顺县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）
A．34°B．46°C．56°D．66°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝34°，
∴∠ABD＝34°
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，
故选：C．
3．(2023秋•定州市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【解答】解：∵OB＝OC
∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°
故选：B．
4．(2023•武汉模拟）如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠BCD＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣30°＝60°．
故选：D．
5．(2023秋•香坊区期末）如图，⊙O中，∠ABC＝45°，则∠AOC等于（ ）
A．55°B．80°C．90°D．135°
【解答】解：∵∠ABC与∠AOC是一条弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°．
故选：C．

综合练习
一．选择题
1．如图，AB、BC为⊙O的两条弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，则∠ABC的度数为（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
【解答】解：在优弧上取点D，连接DA、DC，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOC，
由圆内接四边形的性质得，∠ABC+∠D＝180°，
∵∠AOC﹣∠ABC＝60°，
∴2（180°﹣∠ABC）﹣∠ABC＝60°，
解得，∠ABC＝100°，
故选：B．
2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝130°，
∴∠ABE＝180°﹣130°＝50°，
∵AO⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝40°，
∵AO⊥BC，
∴BC＝2BE，
∴∠BDC＝2∠BAE＝80°，
故选：B．
3．如图，在圆O中，点A、B、C在圆上，∠OAB＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°，
故选：B．
4．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝50°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
【解答】解：∵∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝∠AOB＝25°．
故选：B．
5．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：如图所示，连接OA．
⊙O的直径CD＝10cm，
则⊙O的半径为5cm，
即OA＝OC＝5，
又∵OM：OC＝4：5，
所以OM＝4，
∵AB⊥CD，垂足为M，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，AM＝＝3，
∴AB＝2AM＝2×3＝6．
故选：A．
二．解答题
6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠AOD＝×50°＝25°；
（2）根据勾股定理得，AC＝＝＝8，
∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×8＝16．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，
∴∠ABC＝40°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝80°，
8．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．
【解答】解：∵⊙O中，OA⊥BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AOB＝×50°＝25°．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．
（1）求证：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．
【解答】（1）证明：
∵AH＝AC，AF平分线∠CAH
∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，
∴∠HAF+∠ACH＝90°
∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，
∴∠HAF＝∠BCE，
∵E为的中点，
∴，
∴∠EBD＝∠BCE，
∴∠HAF＝∠EBD，
∴BE∥AF；
（2）解：连接OH、CD．
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵AH＝AC＝6
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB
∴△EBH∽△ECB，
∴，
EB＝2EH，
由勾股定理得 BE2+EH2＝BH2，
即（2EH）2+EH2＝42，
∴EH＝．