新九年级数学时期讲义第7讲圆的认识-基础班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第7讲圆的认识-基础班(学生版+解析)，共36页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1 圆的认识
1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
2.圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
3.两圆的性质
两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.
4. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
5. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
5.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
6.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【例题精选】
例1(2023春•浏阳市期中）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆的对称轴
B．经过圆心的直线是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与半径垂直的直线是圆的对称轴
例2(2023秋•相城区期中）到圆心的距离大于半径的点的集合是（ ）
A．圆的内部B．圆的外部
C．圆D．圆的外部和圆
【随堂练习】
1．(2023秋•南通期中）下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径
B．圆有无数条对称轴
C．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径
D．度数相等的弧是等弧
2．(2023秋•高邮市月考）下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．(2023春•潍城区期末）对于以下图形有下列结论，其中正确的是（ ）
A．如图①，AC是弦
B．如图①，直径AB与组成半圆
C．如图②，线段CD是△ABC边AB上的高
D．如图②，线段AE是△ABC边AC上的高
4．(2023春•沂源县期中）直径为1的圆的周长是（ ）
A．πB．πC．2πD．4π
2垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
注意：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
【例题精选】
例1 (2023•河北一模）《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
例2 (2023•番禺区模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A．B．8C．D．
【随堂练习】
1．(2023秋•齐齐哈尔期末）如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
A．3mmB．4mmC．5mmD．8mm
2．(2023•云南模拟）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）
A．10 cmB．16 cmC．24 cmD．26 cm
3．(2023秋•滦南县期末）如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
4．(2023秋•苍溪县期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4B．5C．6D．6

3弦、弧、圆心角的关系
1.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
【例题精选】
例1(2023秋•柯桥区期末）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
例2(2023•汉阳区模拟）如图：AB为半圆的直径，AB＝4，C为OA中点，D为半圆上一点，连CD，E为的中点，且CD∥BE，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
【随堂练习】
1. (2023秋•鼓楼区校级月考）如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（ ）
A．AB＝ACB．AC＝2ABC．AC＜2ABD．AC＞2AB
2．(2023秋•瑞安市期末）如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．125°D．130°
3．(2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（ ）
A．132.5°B．130°C．122.5°D．115°
4．(2023秋•涪城区校级月考）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．弦的垂直平分线一定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
4圆周角定理
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【例题精选】
例1(2023•龙岩二模）如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC＝52°，则∠D的大小为（ ）
A．104°B．114°C．116°D．128°
例2 (2023春•九龙坡区校级月考）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是的中点，如果∠DAB＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【随堂练习】
1．(2023秋•北仑区期末）已知，如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝72°，则∠OBC的度数是（ ）
A．12°B．15°C．18°D．20°
2．(2023•龙泉驿区模拟）如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝60°，则∠C＝（ ）
A．20°B．25°C．45°D．30°
3．(2023秋•涟源市期末）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝100°，则∠D的度数是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．45°
4．(2023•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（ ）
A．B．2C．3D．不能确定
5．(2023秋•桥东区期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝112°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（ ）
A．56°B．35°C．38°D．28°

综合练习
一．选择题
1．如图，AB、BC为⊙O的两条弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，则∠ABC的度数为（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
3．如图，在圆O中，点A、B、C在圆上，∠OAB＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝50°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
5．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二．解答题
6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度数．
8．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．
（1）求证：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．
第7讲 圆的认识
1 圆的认识
1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
2.圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
3.两圆的性质
两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.
4. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
5. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
5.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
6.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【例题精选】
例1(2023春•浏阳市期中）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆的对称轴
B．经过圆心的直线是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与半径垂直的直线是圆的对称轴
分析：利用直径所在的直线为圆的对称轴对各选项进行判断．
【解答】解：A、直径所在的直线为圆的对称轴，所以A错误；
B、经过圆心的直线是圆的对称轴，所以B正确；
C、与圆相交的直线不一定是圆的对称轴，所以C错误；
D、与半径垂直的直线不一定是圆的对称轴，所以D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识，关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
例2(2023秋•相城区期中）到圆心的距离大于半径的点的集合是（ ）
A．圆的内部B．圆的外部
C．圆D．圆的外部和圆
分析：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决．
【解答】解：根据点和圆的位置关系，知圆的外部是到圆心的距离大于的所有点的集合；
故选：B．
【点评】此题考查圆的认识问题，理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件．
【随堂练习】
1．(2023秋•南通期中）下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径
B．圆有无数条对称轴
C．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径
D．度数相等的弧是等弧
【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
B、圆有无数条直径，故正确，符合题意；
C、过圆心有无数条直径，故错误，不符合题意；
D、完全重合的弧是等弧，故错误，不符合题意；
故选：B．
2．(2023秋•高邮市月考）下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
3．(2023春•潍城区期末）对于以下图形有下列结论，其中正确的是（ ）
A．如图①，AC是弦
B．如图①，直径AB与组成半圆
C．如图②，线段CD是△ABC边AB上的高
D．如图②，线段AE是△ABC边AC上的高
【解答】解：A、AC不是弦，故错误；
B、半圆是弧，不包括弧所对的弦，故错误；
C、线段CD是△ABC边AB上的高，正确；
D、线段AE不是△ABC边AC上的高，故错误，
故选：C．
4．(2023春•沂源县期中）直径为1的圆的周长是（ ）
A．πB．πC．2πD．4π
【解答】解：圆的周长＝1×π＝π，
故选：B．
2垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
注意：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
【例题精选】
例1 (2023•河北一模）《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
分析：连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
例2 (2023•番禺区模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A．B．8C．D．
分析：根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可．
【解答】解：连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出AC＝BC是解此题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•齐齐哈尔期末）如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
A．3mmB．4mmC．5mmD．8mm
【解答】解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4，
由勾股定理得，OA＝＝5，
故选：C．
2．(2023•云南模拟）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）
A．10 cmB．16 cmC．24 cmD．26 cm
【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD＝8，OD＝13，
∴OC＝5，
又∵OB＝13，
∴Rt△BCO中，BC＝＝12，
∴AB＝2BC＝24．
故选：C．
3．(2023秋•滦南县期末）如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【解答】解：如图，
连接OA，
∵⊙O的直径CD＝12cm，
∴OD＝OA＝OC＝6，
∵OE：OC＝1：3，
∴OE＝2，
∵AB⊥CD，
∴AB＝2AE，∠OEA＝90°，
在Rt△OAE中，AE＝＝＝4，
∴AB＝2AE＝8cm．
故选：D．
4．(2023秋•苍溪县期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4B．5C．6D．6
【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
故选：D．

3弦、弧、圆心角的关系
1.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
【例题精选】
例1(2023秋•柯桥区期末）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
分析：根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此题的关键．
例2(2023•汉阳区模拟）如图：AB为半圆的直径，AB＝4，C为OA中点，D为半圆上一点，连CD，E为的中点，且CD∥BE，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
分析：连接EO并延长与DC的延长线相交于点K，连接BD交OE于点H，由题意，可得△BHE≌△DHK，所以BE＝KD＝2x，EH＝KH，由△KCO∽△EBO，可得，所以KO＝1，KC＝x，在Rt△BHE和Rt△BHO中，有BE2﹣EH2＝BH2＝BO2﹣OH2，即可得出x的值，进而得出CD的长．
【解答】解：如图，连接EO并延长与DC的延长线相交于点K，连接BD交OE于点H，
∵E为弧AD中点，
∴OE⊥AD，BH＝DH，
∵BE∥CD，
∴∠EBH＝∠KDH，∠E＝∠K，
∴△BHE≌△DHK（AAS），
∴BE＝KD＝2x，EH＝KH，
∵BE∥CD，
∴△KCO∽△EBO，
∴，
∵AB是半圆⊙O的直径，AB＝4，C为OA的中点，
∴，
∴KO＝1，KC＝x，
∴KE＝KO+OE＝1+2＝3，
∴EH＝KH＝1.5，OH＝0.5，
∵BE2﹣EH2＝BH2＝BO2﹣OH2，
∴4x2﹣1.52＝22﹣0.52，
解得：x＝，
∴CD＝KD﹣KC＝2x﹣x＝x＝，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．
【随堂练习】
1. (2023秋•鼓楼区校级月考）如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（ ）
A．AB＝ACB．AC＝2ABC．AC＜2ABD．AC＞2AB
【解答】解：如图．连接BC．
∵＝2，
∴＝，
∴AB＝BC，
∴AB+BC＞AC，
∴2AB＞AC，
故选：C．
2．(2023秋•瑞安市期末）如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．125°D．130°
【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．
在△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，
同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，
故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．
故选：A．
3．(2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（ ）
A．132.5°B．130°C．122.5°D．115°
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝57.5°，
∴∠ACB＝∠ABC＝57.5°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝65°，
∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝130°，
故选：B．
4．(2023秋•涪城区校级月考）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．弦的垂直平分线一定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【解答】解：A、直径为弦，所以A选项的说法正确；
B、弦的垂直平分线一定经过圆心，所以B选项的说法正确；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项的说法错误；
D、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，所以D选项的说法正确．
故选：C．
4圆周角定理
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【例题精选】
例1(2023•龙岩二模）如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC＝52°，则∠D的大小为（ ）
A．104°B．114°C．116°D．128°
分析：先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠OBC＝64°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠D的度数．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝（180°﹣52°）＝64°，
∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣64°＝116°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
例2 (2023春•九龙坡区校级月考）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是的中点，如果∠DAB＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
分析：连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求出∠ABD，根据圆内接四边形的性质求出∠C，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝20°，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠C＝180°﹣∠DAB＝110°，
∵点C是的中点，
∴CD＝CB，
∴∠CBD＝×（180°﹣110°）＝35°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝55°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•北仑区期末）已知，如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝72°，则∠OBC的度数是（ ）
A．12°B．15°C．18°D．20°
【解答】解：根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝2×72°＝144°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC＝（180°﹣144°）＝18°．
故选：C．
2．(2023•龙泉驿区模拟）如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝60°，则∠C＝（ ）
A．20°B．25°C．45°D．30°
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠AOB，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝30°，
故选：D．
3．(2023秋•涟源市期末）如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝100°，则∠D的度数是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．45°
【解答】解：∵∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝180°﹣100°＝80°，
∴∠D＝＝40°．
故选：B．
4．(2023•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（ ）
A．B．2C．3D．不能确定
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°，
∴∠A＝180°﹣145°＝45°，
∵BH⊥AD，AB＝4，
∴BH＝＝＝2，
故选：B．
5．(2023秋•桥东区期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝112°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（ ）
A．56°B．35°C．38°D．28°
【解答】解：连接OB，
∵点B是弧AC的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝56°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝28°，
故选：D．

综合练习
一．选择题
1．如图，AB、BC为⊙O的两条弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，则∠ABC的度数为（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
【解答】解：在优弧上取点D，连接DA、DC，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOC，
由圆内接四边形的性质得，∠ABC+∠D＝180°，
∵∠AOC﹣∠ABC＝60°，
∴2（180°﹣∠ABC）﹣∠ABC＝60°，
解得，∠ABC＝100°，
故选：B．
2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝130°，
∴∠ABE＝180°﹣130°＝50°，
∵AO⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝40°，
∵AO⊥BC，
∴BC＝2BE，
∴∠BDC＝2∠BAE＝80°，
故选：B．
3．如图，在圆O中，点A、B、C在圆上，∠OAB＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°，
故选：B．
4．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝50°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
【解答】解：∵∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝∠AOB＝25°．
故选：B．
5．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：如图所示，连接OA．
⊙O的直径CD＝10cm，
则⊙O的半径为5cm，
即OA＝OC＝5，
又∵OM：OC＝4：5，
所以OM＝4，
∵AB⊥CD，垂足为M，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，AM＝＝3，
∴AB＝2AM＝2×3＝6．
故选：A．
二．解答题
6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠AOD＝×50°＝25°；
（2）根据勾股定理得，AC＝＝＝8，
∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×8＝16．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，
∴∠ABC＝40°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝80°，
8．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．
【解答】解：∵⊙O中，OA⊥BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AOB＝×50°＝25°．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．
（1）求证：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．
【解答】（1）证明：
∵AH＝AC，AF平分线∠CAH
∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，
∴∠HAF+∠ACH＝90°
∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，
∴∠HAF＝∠BCE，
∵E为的中点，
∴，
∴∠EBD＝∠BCE，
∴∠HAF＝∠EBD，
∴BE∥AF；
（2）解：连接OH、CD．
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵AH＝AC＝6
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB
∴△EBH∽△ECB，
∴，
EB＝2EH，
由勾股定理得 BE2+EH2＝BH2，
即（2EH）2+EH2＝42，
∴EH＝．