新九年级数学时期讲义第10讲反比例函数-提高班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第10讲反比例函数-提高班(学生版+解析)，共27页。学案主要包含了反比例函数的定义等内容，欢迎下载使用。

1 反比例函数的定义
一、反比例函数的定义
函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
【例题精选】
例1 (2023秋•揭阳期末）下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝kx﹣1C．y＝D．y＝
例2(2023秋•澧县期末）下列各式中x，y均不为0，x和y成反比例关系的是（ ）
A．y＝6xB．C．x+y＝53D．
【随堂练习】
1．(2023•余干县模拟）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝3xB．y＝3x+1C．D．y＝3x2
2．(2023•广西模拟）下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣B．y＝C．y＝5﹣3xD．y＝﹣x2+1
3．(2023秋•龙岗区期末）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x＜0
C．x≠0的一切实数D．x取任意实数
2反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象
反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．
反比例函数的性质
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
【例题精选】
例1 (2023•瑶海区二模）已知点（a，m），（b，n）在反比例函数y＝﹣的图象上，且a＞b，则（ ）
A．m＞nB．m＜n
C．m＝nD．m、n的大小无法确定
例2(2023春•常熟市期中）已知反比例函数y＝的图象分别位于一、三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＞5B．k＜5C．k＞﹣5D．k＜﹣5
【随堂练习】
1．(2023春•吴中区期中）对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣4）
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．图象关于原点中心对称
2．(2023•中原区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列说法中不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．它的图象在第一、三象限
C．点（﹣3，﹣1）在它的图象上
D．函数图象关于原点中心对称
3 k的几何意义
反比例函数的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
【例题精选】
例1(2023•武汉模拟）如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（ ）
A．﹣12B．﹣8C．﹣6D．﹣4
例2 (2023•安阳模拟）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4B．﹣4C．8D．﹣8
【随堂练习】
1．(2023•市中区一模）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．(2023•曹县校级模拟）如图，点P、Q是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，记S△ABP＝S1，S△QMN＝S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．无法判定
4反比例函数的实际应用
【例题精选】
例1(2023秋•靖远县期末）当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
例2(2023•莫旗一模）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A．v＝B．v+t＝480C．v＝D．v＝
【随堂练习】
1．(2023秋•沧州期末）一个直角三角形的两直角边分别为x，y，其面积为1，则y与x之间的关系用图象表示为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023秋•阜阳期末）如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流y与电阻x的函数关系图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023秋•黄岩区期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为__________．
综合应用
一．选择题
1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．
3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（ ）
A．（1，2）B．（4，﹣）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（ ）
A．9B．18C．25D．9
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
二．解答题
6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积．
8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．
（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；
（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
第10讲反比例函数
1 反比例函数的定义
一、反比例函数的定义
函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
【例题精选】
例1 (2023秋•揭阳期末）下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣2xB．y＝kx﹣1C．y＝D．y＝
分析：根据反比例函数的定义逐一判断可得答案．
【解答】解：A．y＝﹣2x是正比例函数，不符合题意；
B．y＝kx﹣1只有当k≠0时才符合反比例函数定义，不符合题意；
C．y＝﹣是反比例函数，符合题意；
D．y＝不是反比例函数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
例2(2023秋•澧县期末）下列各式中x，y均不为0，x和y成反比例关系的是（ ）
A．y＝6xB．C．x+y＝53D．
分析：根据反比例函数的定义可以判定．
【解答】解：根据反比例函数的定义可知x＝是反比例函数，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
【随堂练习】
1．(2023•余干县模拟）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝3xB．y＝3x+1C．D．y＝3x2
【解答】解：A、y＝3x是正比例函数，故此选项不合题意；
B、y＝3x+1是一次函数，故此选项不合题意；
C、y＝是反比例函数，故此选项符合题意；
D、y＝3x2是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2．(2023•广西模拟）下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣B．y＝C．y＝5﹣3xD．y＝﹣x2+1
【解答】解：A、该函数属于正比例函数，故本选项错误；
B、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确；
C、该函数属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数属于二次函数，故本选项错误．
故选：B．
3．(2023秋•龙岗区期末）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x＜0
C．x≠0的一切实数D．x取任意实数
【解答】解：函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠0，
故选：C．
2反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象
反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．
反比例函数的性质
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
【例题精选】
例1 (2023•瑶海区二模）已知点（a，m），（b，n）在反比例函数y＝﹣的图象上，且a＞b，则（ ）
A．m＞nB．m＜n
C．m＝nD．m、n的大小无法确定
分析：根据a、b与0的大小关系利用反比例函数的性质确定答案即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣2＜0，
∴在每一象限内y随着x的增大而增大，
∵点（a，m），（b，n）在反比例函数y＝﹣的图象上，且a＞b，
∴当a＞b＞0时，m＞n＞0，
当0＞a＞b时，m＞n＞0，
当a＞0＞b时，m＜0＜n，
∴m、n的大小无法确定，
故选：D．
【点评】考查了反比例函数的应用，解题的关键是了解反比例函数的性质，难度不大．
例2(2023春•常熟市期中）已知反比例函数y＝的图象分别位于一、三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＞5B．k＜5C．k＞﹣5D．k＜﹣5
分析：根据反比例函数的性质可得k﹣5＞0，再解不等式即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于一、三象限，
∴k﹣5＞0，
解得，k＞5．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝，当k＞0时，函数图象分别位于一、三象限；当k＜0时，函数图象分别位于二、四象限．
【随堂练习】
1．(2023春•吴中区期中）对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣4）
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．图象关于原点中心对称
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，
∴当x＝1时，y＝﹣4，即图象经过点（1，﹣4），故选项A正确；
它的图象在第二、四象限，故选项B错误；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C正确；
图象关于原点中心对称，故选项D正确；
故选：B．
2．(2023•中原区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列说法中不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．它的图象在第一、三象限
C．点（﹣3，﹣1）在它的图象上
D．函数图象关于原点中心对称
【解答】解：∵反比例函数y＝，
∴该函数图象在第一、三象限，故选项B正确；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项A错误；
当x＝﹣3时，y＝﹣1，即点（﹣3，﹣1）在它的图象上，故选项C正确；
函数图象关于原点中心对称，故选项D正确；
故选：A．
3 k的几何意义
反比例函数的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
【例题精选】
例1(2023•武汉模拟）如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（ ）
A．﹣12B．﹣8C．﹣6D．﹣4
分析：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，依据S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC＝8，即可得到k的值．
【解答】解：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，
设A（k，1），B（2，k），则AC＝2﹣k，BC＝1﹣k，
∵S△ABO＝8，
∴S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC＝8，
即（2﹣k）（1﹣k）﹣（2﹣k）×1﹣（1﹣k）×2＝8，
解得k＝±6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，正确理解△AOB的面积的计算方法是关键．
例2 (2023•安阳模拟）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4B．﹣4C．8D．﹣8
分析：连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
【随堂练习】
1．(2023•市中区一模）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【解答】解：根据题意得△OAB的面积＝×|4|＝2．
故选：B．
2．(2023•曹县校级模拟）如图，点P、Q是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，记S△ABP＝S1，S△QMN＝S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．无法判定
【解答】解；设p（a，b），Q（m，n），
则S△ABP＝AP•AB＝a（b﹣n）＝ab﹣an，
S△QMN＝MN•QN＝（m﹣a）n＝mn﹣，
∵点P，Q在反比例函数的图象上，
∴ab＝mn＝k，
∴S1＝S2．
故选：C．
4反比例函数的实际应用
【例题精选】
例1(2023秋•靖远县期末）当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解答】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
例2(2023•莫旗一模）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A．v＝B．v+t＝480C．v＝D．v＝
分析：先求得路程，再由等量关系“速度＝路程÷时间”列出关系式即可．
【解答】解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6＝480千米，
∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v＝．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
【随堂练习】
1．(2023秋•沧州期末）一个直角三角形的两直角边分别为x，y，其面积为1，则y与x之间的关系用图象表示为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵xy＝2，
∴y＝（x＞0，y＞0）．
故选：C．
2．(2023秋•阜阳期末）如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流y与电阻x的函数关系图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：依题意，得电压（U）＝电阻（x）×电流（y），
当U一定时，可得y＝（x＞0，y＞0），
∴函数图象为双曲线在第一象限的部分．
故选：B．
3．(2023秋•黄岩区期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为__________．
【解答】解：由题意可得：1200×0.5＝Fl，
故F＝．
故答案为：F＝．
综合应用
一．选择题
1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝﹣3，y2＝3，y3＝1，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．
【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．
∵P（x，y）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴xy＝﹣2，
∴△OPM的面积S△POA＝|xy|＝1，
故选：B．
3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（ ）
A．（1，2）B．（4，﹣）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：将点（2，﹣1）代入y＝得，m2+2m﹣7＝2×（﹣1）＝﹣2，
可知函数解析式为y＝﹣，
则xy＝﹣2，
A、1×2＝2≠﹣2，故本选项错误；
B、4×（﹣）＝2，故本选项正确；
C、3×（﹣2）＝﹣6≠﹣2，故本选项错误；
D、﹣2×（﹣1）＝2≠﹣2，故本选项错误；
故选：B．
4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（ ）
A．9B．18C．25D．9
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
可得：∠ODE＝30∠BCD＝30°，
设OE＝a，则OD＝2a，DE＝a，
∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，
∴AF＝AC＝2a﹣5，CF＝AF＝（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，
∴点D（a，a），点C[15﹣2a，（2a﹣5）]．
∵点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，
∴a•a＝（15﹣2a）×（2a﹣5），
解得：a＝3或a＝5．
当a＝5时，DO＝OB，AC＝AB，点C、D与点B重合，不符合题意，
∴a＝5舍去．
∴点D（3，3），
∴k＝3×3＝9．
故选：A．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（，0），B（0，﹣2）．
设C（x，），
∵点A为线段BC的中点，
∴，
解得．
故选：C．
二．解答题
6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，m）．
∴m＝2，即A（1，2）．由点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直线y＝kx+b上，得，
解得：，
∴直线的解析式为：y＝x+1．
（2）设直线AB与y轴交于点C．
在y＝x+1中，令x＝0得：y＝1，
∴C（0，1）．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝．
7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
∴k1＝8，m＝﹣2，则B（﹣4，﹣2），
由题意得，
解得：k2＝2，b＝6；
∴一次函数解析式为：y＝2x+6．
综上所述，m的值为﹣2，一次函数解析式为y＝2x+6；
（2）∵一次函数y＝2x+6与y轴的交点坐标为（0，6），
∴△AOB的面积＝×6×4+×6×1＝15．
8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
【解答】解：（1）把（1，5）代入y1＝mx+n，得 m+n＝5．
又∵n＝4m，
∴m＝1，n＝4．
∴y1＝x+4，y2＝．
∴当y1≥5时，x≥1．
此时，0＜y2≤5．
（2）令＝mx+n，得mx2+nx﹣（m+n）＝0．
由题意得，△＝n2+4m（m+n）＝（m+2n）2＝0，即m+2n＝0．
∴＝﹣2．
9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．
（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；
（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）A（1，m）、B（n，1）两点坐标分别代入反比例函数y2＝，可得
m＝3，n＝3，
∴A（1，3）、B（3，1），
把A（1，3）、B（3，1）代入一次函数y1＝kx+b，可得
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
∴M（0，4），N（4，0）．
∴S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝××＝4．
（2）从图象看出0＜x＜1或x＞3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3．
（3）如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，
过C作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，交于点D，则
Rt△BCD中，BD＝4，CD＝2，BC＝＝＝2
∴PA+PB的最小值为2．