新九年级数学时期讲义第9讲圆的计算-基础班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第9讲圆的计算-基础班(学生版+解析)，共19页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1 弧长的计算
弧长公式:半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【例题精选】
例1(2023秋•北碚区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上点，AO＝4，BC＝4，则劣弧的长度为（ ）
A．πB．2πC．πD．π
例2 (2023•成都模拟）如图，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，则弧AB的长为（ ）
A．B．C．D．π
【随堂练习】
1．(2023•合肥二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是的弦，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，连接BC，若∠ABC＝24°，则劣弧CD的长为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023•东莞市校级一模）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
2扇形面积的计算
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【例题精选】
例1(2023•张家港市模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（ ）
A．2πB．πC．D．
例2 (2023•镇江模拟）如图所示，菱形ABCD边长为2，∠ABC＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【随堂练习】
1．(2023•铁西区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠A＝45°，⊙O的半径长为6，则阴影部分的面积为（ ）
A．9π﹣18B．9πC．6πD．18π﹣18
3圆锥的计算
圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【例题精选】
例1 (2023•湖州模拟）一个圆锥的底面半径为4．侧面展开图是半径为8的扇形，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．8πB．16πC．32πD．48π
例2(2023•北海模拟）如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是3m，底面半径为2m，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（ ）
A．4πm2B．2πm2C．8πm2D．6πm2
【随堂练习】
1．(2023春•锡山区期中）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．20cm2B．20πcm2C．10cm2D．10πcm2
2．(2023•宁波模拟）将一个底面半径为3cm，高为4cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开，所得的侧面展开图的面积为（ ）
A．24πcm2B．18πcm2C．15πcm2D．12πcm2
3． (2023•双柏县二模）一个圆锥的母线长是3，底面直径是2，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
4．(2023•通州区一模）若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．(2023•嘉祥县一模）圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则它的底面半径为（ ）
A．2B．1C．3D．4
综合应用
一．选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径长为3，则该扇形的面积为（ ）
A．2πB．3πC．6πD．12π
2．已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．5πcm2B．30πcm2C．55πcm2D．85πcm2
3．若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．6cm
4．在半径为1的圆中，圆心角为120°所对的弧长是（ ）
A．B．C．D．
二．解答题
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；
（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．
7．如图，图中圆O的周长为8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD为45度，求图中阴影部分（即扇形AOD）的面积．（结果保留π）
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求阴影部分的面积．
第9讲与圆有关的计算
1 弧长的计算
弧长公式:半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【例题精选】
例1(2023秋•北碚区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上点，AO＝4，BC＝4，则劣弧的长度为（ ）
A．πB．2πC．πD．π
分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角函数的定义得到∠A＝60°，求得∠BOC＝2∠A＝120°，由弧长公式即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AO＝4，
∴AB＝8，
∵BC＝4，
∴sinA＝＝＝，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴劣弧的长度＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，三角函数的定义，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
例2 (2023•成都模拟）如图，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，则弧AB的长为（ ）
A．B．C．D．π
分析：根据圆周角定理求出圆心角∠AOB的度数，然后根据弧长公式求解即可．
【解答】解：∵∠C＝30°，
根据圆周角定理可知：∠AOB＝60°，
∵OA＝2，
∴l＝＝，
∴弧AB的长为π．
故选：A．
【点评】本题主要考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题关键，难度一般．
【随堂练习】
1．(2023•合肥二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是的弦，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，连接BC，若∠ABC＝24°，则劣弧CD的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝24°，
∴∠A＝90°﹣24°＝66°，
∴∠BOC＝2×66°＝132°，
∵AC∥OD，
∴∠BOD＝∠A＝66°，
∴∠COD＝132°﹣66°＝66°，
∵AB＝4，
∴劣弧CD的长＝＝；
故选：B．
2．(2023•东莞市校级一模）如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【解答】解：∵∠B＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵⊙O的半径为1，
∴的长＝＝＝π，
故选：C．
2扇形面积的计算
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【例题精选】
例1(2023•张家港市模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（ ）
A．2πB．πC．D．
分析：先根据圆周角定理得到∠BOD＝60°，然后根据扇形的面积公式计算阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴阴影部分的面积＝＝π．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形面积计算，圆周角定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
例2 (2023•镇江模拟）如图所示，菱形ABCD边长为2，∠ABC＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
分析：连接BD，AC交于O，根据菱形的性质得到AC＝2AO，BD＝2BO，AC⊥BD，解直角三角形得到AC＝2，BD＝2，于是得到结论．
【解答】解：连接BD，AC交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵AB＝2，
∴AO＝AB＝1，BO＝AB＝，
∴AC＝2，BD＝2，
∴阴影部分的面积＝S菱形ABCD﹣S扇形ABC＝2×2﹣＝2﹣π
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，菱形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023•铁西区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠A＝45°，⊙O的半径长为6，则阴影部分的面积为（ ）
A．9π﹣18B．9πC．6πD．18π﹣18
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径长为6，
∴∠COB＝90°，OA＝OB＝6，
∴阴影部分的面积是：＝9π﹣18，
故选：A．
3圆锥的计算
圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【例题精选】
例1 (2023•湖州模拟）一个圆锥的底面半径为4．侧面展开图是半径为8的扇形，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．8πB．16πC．32πD．48π
分析：首先求得扇形的弧长，然后利用扇形的面积公式求得圆锥的侧面展开扇形的面积即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为4，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为8π，
∵侧面展开扇形的半径为8，
∴该圆锥的侧面积为lr＝×8×8π＝32π，
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是熟记扇形的面积公式，难度不大．
例2(2023•北海模拟）如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是3m，底面半径为2m，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（ ）
A．4πm2B．2πm2C．8πm2D．6πm2
分析：由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以通过计算圆侧的面积可得到做这把遮阳伞需用布料的面积．
【解答】解：做这把遮阳伞需用布料的面积＝×2π×2×3＝6π（m2）．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【随堂练习】
1．(2023春•锡山区期中）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．20cm2B．20πcm2C．10cm2D．10πcm2
【解答】解：这个圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π（cm2）．
故选：B．
2．(2023•宁波模拟）将一个底面半径为3cm，高为4cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开，所得的侧面展开图的面积为（ ）
A．24πcm2B．18πcm2C．15πcm2D．12πcm2
【解答】解：圆锥的母线长＝＝5，
所以圆锥的侧面积＝×2π×3×5＝15π（cm2）．
故选：C．
3． (2023•双柏县二模）一个圆锥的母线长是3，底面直径是2，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
【解答】解：这个圆锥的表面积＝π•12+×2π×1×3＝4π．
故选：C．
4．(2023•通州区一模）若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，
∴圆锥的底面圆的周长＝4π，
∴圆锥的底面圆半径＝＝2，
故选：B．
5．(2023•嘉祥县一模）圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则它的底面半径为（ ）
A．2B．1C．3D．4
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得×2πr×4＝8π，解得r＝2．
故选：A．
综合应用
一．选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径长为3，则该扇形的面积为（ ）
A．2πB．3πC．6πD．12π
【解答】解：S扇形＝＝3π，
故选：B．
2．已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．5πcm2B．30πcm2C．55πcm2D．85πcm2
【解答】解：底面周长是2×5π＝10πcm，底面积是：52π＝25πcm2．
母线长是：＝6（cm），
则圆锥的侧面积是：×10π×6＝30π（cm2），
则圆锥的表面积为25π+30π＝55π（cm2）．
故选：C．
3．若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．6cm
【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，
那么圆锥底面圆周长为2πrcm，
所以侧面展开图的弧长为2πrcm，
S圆锥侧面积＝×2πr×6＝，
解得：r＝3，
故选：C．
4．在半径为1的圆中，圆心角为120°所对的弧长是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：120°的圆心角所对的弧长＝＝．
故选：A．
二．解答题
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．
【解答】解：连接CF，
则阴影部分的面积＝S△BCF+S扇形CGF﹣S△CGF＝ab+πb2﹣b2＝．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；
（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵∠C＝60°，AB＝AC，
∴∠BAC＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴∠OBE＝30°，
∵AB＝8，
∴OB＝4，
∴S阴影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∴∠CAB＝2∠EBC．
7．如图，图中圆O的周长为8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD为45度，求图中阴影部分（即扇形AOD）的面积．（结果保留π）
【解答】解：设圆O的半径为r
由题意：2•π•r＝8π，
∴r＝4，
∵S△AOB＝•OA•OB＝•AB•OC，
∴OA2＝8×4＝32，
∴S扇形OAD＝＝4π．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求阴影部分的面积．
【解答】解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝（垂径定理），
故S△OCE＝S△ODE，
∴S阴＝S扇形OBD，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°（圆周角定理），
∴OC＝2，
故S扇形OBD＝＝，即阴影部分的面积为．