新九年级数学时期讲义第5讲二次函数(三)-基础班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第5讲二次函数(三)-基础班(学生版+解析)，共30页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
1.列二次函数关系
【例题精选】
例1(2023•昌图县校级一模）把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝320（x﹣1）B．y＝320（1﹣x）
C．y＝160（1﹣x2）D．y＝160（1﹣x）2
例2(2023•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣x2
C．y＝x2D．y＝﹣x2
【随堂练习】
1．(2023秋•永嘉县期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2+aB．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝a（1﹣x）2
2．(2023秋•庐阳区校级月考）某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1﹣x）2B．y＝a（1+x）2C．y＝ax2D．y＝x2+a

2．实际问题
【例题精选】
例1(2023秋•庐阳区校级期中）如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线
所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B离墙的距离OB．
例2 (2023秋•香坊区校级月考）如图，某养殖场在养殖面积扩建中，准备将总长为78米的篱笆围成矩形ABCD形状的鸡舍，其中AD一边利用现有的一段足够长的围墙，其余三边用篱笆，且在与墙平行的一边BC上开一个2米宽的门PQ．设AB边长为x米，鸡舍面积为y平方米．
（1）求出y与x的函数关系式；（不需写自变量的取值范围）
（2）当鸡舍的面积为800平方米时，求出鸡舍的一边AB的长．
【随堂练习】
1．(2023秋•淮南期中）某地网红秋千在推出后吸引了大量游客前来，其秋千高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，已知秋千在静止时的高度为0.6m．根据图象，当推出秋千3s后，秋千的高度为（ ）
A．10mB．15mC．16mD．18m
2．(2023秋•江岸区校级月考）一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度是（ ）
A．0.1mB．0.2mC．0.3mD．0.4m
3．(2023•铜仁市模拟）赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（ ）
A．2mB．4mC．10mD．16m
4．(2023•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（ ）平方米．
A．16B．18C．20D．24
3．二次函数与几何综合
【例题精选】
例1 (2023•雨花区校级模拟）如图1，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．
（3）若点F是抛物线对称轴上的一点，点P是（2）中位于直线AB上方的点，在抛物线上是否存在一点Q，使得P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存请说明理由．
【随堂练习】
1.(2023•无为县一模）如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023•雁塔区校级一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，D为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在x轴上方，且△OBD的面积等于△OBC的面积时，求点D的坐标；
（3）当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；
（4）点P在抛物线上（不与点B、C重合），连接PD、PD′、DD′，是否存在点P，使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）
A．600元B．625元C．650元D．675元
2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）
A．米B．8米C．米D．10米
3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）
A．（6+3）cmB．（6+2）cmC．（6+2）cmD．（6+3）cm
二．解答题（共5小题）
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解板式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
5．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）不销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）写出销售单价x的取值范围；
（2）求出一次函数y＝kx+b的解析式；
（3）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
6．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
（1）求y与x之间的解析式；
（2）若该商场获得利润为w元，写出利润w与销售单价x之间的关系式，并求出利润是500元时的销售单价；
（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
7．公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
（1）求出当销售量等于2.5万个时，销售价格等于多少？
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
8．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
销售价格x（元/个）
销售量y（万元）
30≤x≤60
﹣x+8
60≤x≤80
第5讲 二次函数（三）

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
1.列二次函数关系
【例题精选】
例1(2023•昌图县校级一模）把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝320（x﹣1）B．y＝320（1﹣x）
C．y＝160（1﹣x2）D．y＝160（1﹣x）2
分析：由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160（1﹣x）（1﹣x），由此即可得到函数关系式．
【解答】解：第一次降价后的价格是160（1﹣x），
第二次降价为160（1﹣x）×（1﹣x）＝160（1﹣x）2
则y与x的函数关系式为y＝160（1﹣x）2．
故选：D．
【点评】此题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x的二次函数．
例2(2023•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A．y＝x2B．y＝﹣x2
C．y＝x2D．y＝﹣x2
分析：直接利用图象假设出抛物线解析式，进而得出答案．
【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝ax2，
将B（45，﹣78）代入得：﹣78＝a×452，
解得：a＝﹣，
故此抛物线钢拱的函数表达式为：y＝﹣x2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确假设出抛物线解析式是解题关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•永嘉县期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2+aB．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝a（1﹣x）2
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：B．
2．(2023秋•庐阳区校级月考）某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1﹣x）2B．y＝a（1+x）2C．y＝ax2D．y＝x2+a
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：B．

2．实际问题
【例题精选】
例1(2023秋•庐阳区校级期中）如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线
所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B离墙的距离OB．
分析：（1）根据抛物线上点的坐标特点确定二次函数的解析式；
（2）根据（1）中求得的二次函数解析式即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得
A（0，9），顶点M（1，12），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，
把A（0，9）代入，得
a＝﹣3，
所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．
答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．
（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9
解得x1＝3，x2＝﹣1
所以B（3，0）．
答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据抛物线上点的坐标特点求解析式．
例2 (2023秋•香坊区校级月考）如图，某养殖场在养殖面积扩建中，准备将总长为78米的篱笆围成矩形ABCD形状的鸡舍，其中AD一边利用现有的一段足够长的围墙，其余三边用篱笆，且在与墙平行的一边BC上开一个2米宽的门PQ．设AB边长为x米，鸡舍面积为y平方米．
（1）求出y与x的函数关系式；（不需写自变量的取值范围）
（2）当鸡舍的面积为800平方米时，求出鸡舍的一边AB的长．
分析：解：（1）设AB边长为x米，鸡舍面积为y平方米，
由题意得：y＝AB×AD＝x（78+2﹣2x）＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x；
（2）由题意得：y＝﹣2x2+80x＝800，
解得：x＝20，
答鸡舍的一边AB的长为20米．
【解答】解：（1）设AB边长为x米，鸡舍面积为y平方米，
由题意得：y＝AB×AD＝x（78+2﹣2x）＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x；
（2）由题意得：y＝﹣2x2+80x＝800，
解得：x＝20，
答鸡舍的一边AB的长为20米．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．面积最大的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
【随堂练习】
1．(2023秋•淮南期中）某地网红秋千在推出后吸引了大量游客前来，其秋千高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，已知秋千在静止时的高度为0.6m．根据图象，当推出秋千3s后，秋千的高度为（ ）
A．10mB．15mC．16mD．18m
【解答】解：观察图象可知：
当推出秋千3s后，秋千的高度为15m．
故选：B．
2．(2023秋•江岸区校级月考）一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度是（ ）
A．0.1mB．0.2mC．0.3mD．0.4m
【解答】解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．
∴2.25a+3.5＝3.05，
解得：a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．
设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为y＝﹣0.2x2+3.5，
则球出手时，球的高度为h+1.9+0.25＝（h+2.15）m，
∴h+2.15＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h＝0.1（m）．
故选：A．
3．(2023•铜仁市模拟）赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（ ）
A．2mB．4mC．10mD．16m
【解答】解：根据题意B的横坐标为10，
把x＝10代入y＝﹣x2，
得y＝﹣4，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
即水面与桥拱顶的高度DO等于4m．
故选：B．
4．(2023•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（ ）平方米．
A．16B．18C．20D．24
【解答】解：
设AB＝x，则BC＝12﹣2x
得矩形ABCD的面积：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x﹣3）2+18
即矩形ABCD的最大面积为18平方米
故选：B．
3．二次函数与几何综合
【例题精选】
例1 (2023•雨花区校级模拟）如图1，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．
（3）若点F是抛物线对称轴上的一点，点P是（2）中位于直线AB上方的点，在抛物线上是否存在一点Q，使得P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存请说明理由．
分析：（1）将交点坐标代入解析式可求解；
（2）设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，设区PC解析式与抛物线解析式组成方程组，由△＝0，可求PC解析式，可求点P坐标，由等底等高的三角形面积相等，可得另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，可求P'E的解析式，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．
∴
∴
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+6，
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴顶点坐标为（2，8）
（2）∵点A（0，6），点B（6，0），
∴直线AB解析式y＝﹣x+6，
当x＝2时，y＝4，
∴点D（2，4）
如图1，设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，
设直线PC解析式为y＝﹣x+b，
∴﹣x2+2x+6＝﹣x+b，且只有一个交点，
∴△＝9﹣4××（b﹣6）＝0
∴b＝，
∴直线PC解析式为y＝﹣x+，
∴当x＝2，y＝
∴点C坐标（2，），
∴CD＝
∵﹣x2+2x+6＝﹣x+，
∴x＝3，
∴点P（3，）
∵在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，
∴另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，
∴DE＝CD＝，
∴点E（2，﹣），
设P'E的解析式为y＝﹣x+m，
∴﹣＝﹣2+m，
∴m＝
∴P'E的解析式为y＝﹣x+，
∴﹣x2+2x+6＝﹣x+，
∴x＝3±3，
∴点P'（3+3，﹣﹣3），P''（3﹣3，﹣+3），
∴S＝×6×（﹣3）＝．
（3）设点Q（x，y）
若PB是对角线，
∵P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形
∴BP与FQ互相平分，
∴
∴x＝7
∴点Q（7，﹣）；
若PB为边，
∵P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴BF∥PQ，BF＝PQ，或BQ∥FP，BQ＝PF，
∴xB﹣xF＝xP﹣xQ，或xB﹣xQ＝xP﹣xF，
∴xQ＝3﹣（6﹣2）＝﹣1，或xQ＝6﹣（3﹣2）＝5，
∴点Q（﹣1，）或（5，）；
综上所述，点Q（7，﹣）或（﹣1，）或（5，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行线的性质，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
【随堂练习】
1.(2023•无为县一模）如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设正方形的边长为m，则m＞0，
∵AE＝x，
∴DH＝x，
∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）2，
y＝x2+x2﹣2mx+m2，
y＝2x2﹣2mx+m2，
＝2[（x﹣m）2+]，
＝2（x﹣m）2+m2，
∴y与x的函数图象是A．
故选：A．
2．(2023•雁塔区校级一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，D为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在x轴上方，且△OBD的面积等于△OBC的面积时，求点D的坐标；
（3）当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；
（4）点P在抛物线上（不与点B、C重合），连接PD、PD′、DD′，是否存在点P，使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）
∴
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
设点D（0，y）（y＞0）
∵△OBD的面积等于△OBC的面积，
∴×OB×y＝OB×4，
∴y＝4，
∴点D（0，4）
（3）∵OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵点D关于直线BC的对称点为D′．
∴∠DCB＝∠D'CB＝45°，CD＝CD'，
∴∠DCD'＝90°，
∴CD'∥OB，
∴点D'的纵坐标为﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴CD＝CD'＝3，
∴点D（0，﹣1）
（4）若点D在点C上方，如图1，过点P作PH⊥y轴，
∵∠DCD'＝90°，CD＝CD'，
∴∠CDD'＝45°，
∵∠D'DP＝90°
∴∠HDP＝45°，且PH⊥y轴，
∴∠HDP＝∠HPD＝45°，
∴HP＝HD，
∵∠CDD'＝∠HDP，∠PHD＝∠DCD'＝90°，DP＝DD'，
∴△DPH≌△DD'C（AAS）
∴CD＝CD'＝HD＝HP，
设CD＝CD'＝HD＝HP＝a，
∴点P（a，﹣4+2a）
∴a2﹣3a﹣4＝﹣4+2a，
∴a＝5，a＝0（不合题意舍去），
∴点P（5，6）
若点D在点C下方，如图2，
∵DD'＝DP，∠DCD'＝90°，
∴CD＝CP，∠DCP＝∠COB，
∴CP∥AB，
∴点P纵坐标为﹣4，
∴﹣4＝x2﹣3x﹣4，
∴x1＝0（舍去），x2＝3，
∴点P（3，﹣4）
综上所述：点P（5，6）或（3，﹣4）．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）
A．600元B．625元C．650元D．675元
【解答】解：设降价x元，所获得的利润为W元，
则W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值W＝625．
∴获得的最大利润为625元．
故选：B．
2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）
A．米B．8米C．米D．10米
【解答】解：把t＝，s＝6代入s＝﹣6t2+bt得，
6＝﹣6×+b×，
解得，b＝15
∴函数解析式为s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，
∴当t＝时，s取得最大值，此时s＝，
故选：C．
3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）
A．（6+3）cmB．（6+2）cmC．（6+2）cmD．（6+3）cm
【解答】解：设左侧抛物线的方程为：y＝ax2，
点A的坐标为（﹣3，4），将点A坐标代入上式并解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2，
由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，
将y＝2代入抛物线表达式得：2＝x2，解得：x＝（负值已舍去），
则AD＝2AH+2x＝6+3，
故选：A．
二．解答题（共5小题）
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解板式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴点A（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C（﹣3，0），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，
∴设点P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴，解得：，，
∴点B（﹣4，﹣5），
如图，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，
则点M（m，m﹣1），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△ABP＝S△PBM+S△PBA
＝（﹣m2﹣3m+4）（m+4）+（﹣m2﹣3m+4）（1﹣m）
＝，
∴当m＝时，P最大，
∴点P（，）；
（3）当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点E（﹣1，﹣2），
如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，
联立得D1（0，3），
同理可得D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7），
综上所述，符合条件的点D的坐标为D1（0，3），D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7）．
5．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）不销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）写出销售单价x的取值范围；
（2）求出一次函数y＝kx+b的解析式；
（3）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得，
60≤x≤60×（1+40%），
即60≤x≤84；
（2）由题意得：，
∴．
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+120；
（3）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
∴当x＝84时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．
6．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
（1）求y与x之间的解析式；
（2）若该商场获得利润为w元，写出利润w与销售单价x之间的关系式，并求出利润是500元时的销售单价；
（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）∵当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+120（60≤x≤87）．
（2）w＝（﹣x+120）（x﹣60），
w＝﹣x2+180x﹣7200，
w＝﹣（x﹣90）2+900，
当w＝500时，有500＝﹣（x﹣90）2+900，
解得，x＝110（舍去）或x＝70，
故利润是500元时的销售单价70元/件．
（3）又∵60＜x≤60×（1+45%），
即60≤x≤87，
则x＝87时获利最多，
将x＝87代入，得w＝﹣（87﹣90）2+900＝891元．
答：售价定为87元有最大利润为891元．
7．公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
（1）求出当销售量等于2.5万个时，销售价格等于多少？
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意得，﹣x+8＝2.5，
解得，x＝55，
答：当销售量等于2.5万个时，销售价格等于55元/个；
（2）当30≤x≤60时，w＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣40＝﹣0.1x2+10x﹣200；
当60＜x≤80时，w＝（x﹣20）•﹣40＝﹣+89；
（3）当30≤x≤60时，w＝﹣0.1x2+10x﹣200＝﹣0.1（x﹣50）2+50，
∴当x＝50时，w取得最大值50（万元）；
当60＜x≤80时，w＝﹣+89，
∵﹣2580＜0，
∴w随x的增大而增大，当x＝80时，w最大＝121.25（万元）＞50万元，
∴销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是121.25万元．
答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是121.25万元．
8．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c得
解得．
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，
则y＝﹣（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝＞6，
所以这辆货车能安全通过．
销售价格x（元/个）
销售量y（万元）
30≤x≤60
﹣x+8
60≤x≤80