新九年级数学时期讲义第9讲圆的计算-满分班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第9讲圆的计算-满分班(学生版+解析)，共17页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1 弧长的计算
弧长公式:半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【例题精选】
例1(2023•麒麟区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径AB＝10，点D平分，DE⊥AB交⊙O于点E，∠EDC＝99°，则的长是（ ）
A．B．C．3πD．
【随堂练习】
1．(2023•宁波模拟）已知扇形OAB的圆心O是坐标原点，点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（﹣4，3），那么扇形OAB的面积是（ ）
A．25πB．πC．16πD．π
2扇形面积的计算
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【例题精选】
例1(2023秋•龙岗区期末）扇子是引风用品，夏令营必备之物，纸扇在DE与BC之间糊有纸条，可以题字或者作画．如图，竹条AD的长为5cm，贴纸的部分BD的长为10cm．扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，则纸扇贴纸部分的面积为（ ）
A．πcm2B．πcm2 C．πcm2 D．100πcm2
例2(2023•瑞安市一模）如图，一个圆形飞镖板被分为四个圆心角相等的扇形，若大圆半径为2，小圆半径为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．πB．πC．3πD．π
【随堂练习】
1．(2023秋•巴彦县期末）若一个扇形的圆心角是45°，面积是2π，则这个扇形的半径是（ ）
A．4B．2C．4πD．21
2．(2023秋•海淀区期末）若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（ ）
A．B．πC．2πD．4π
3．(2023秋•济南期末）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A．πB．πC．D．π
3圆锥的计算
圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【例题精选】
例1 (2023•开福区模拟）如果圆锥的母线长为10cm，高为8cm，那么它的侧面积等于（ ）
A．80πcm2B．60πcm2C．40πcm2D．30πcm2
例2(2023秋•新吴区期末）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的全面积是（ ）
A．65πcm2B．90πcm2C．130πcm2D．155πcm2
【随堂练习】
1．(2023秋•河南期末）已知一扇形的圆心角为60°，半径为5，则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为（ ）
A．πB．10πC．πD．π
2．(2023秋•富锦市期末）用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为（ ）
A．B．4C．3D．2
3．(2023•枣阳市校级模拟）小李要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为（ ）cm2
A．15πB．24πC．30πD．39π
4．(2023•无锡一模）如果圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为________°．
综合应用
一．选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径长为3，则该扇形的面积为（ ）
A．2πB．3πC．6πD．12π
2．已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．5πcm2B．30πcm2C．55πcm2D．85πcm2
3．若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．6cm
4．在半径为1的圆中，圆心角为120°所对的弧长是（ ）
A．B．C．D．
二．解答题
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；
（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．
7．如图，图中圆O的周长为8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD为45度，求图中阴影部分（即扇形AOD）的面积．（结果保留π）
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求阴影部分的面积．
第9讲与圆有关的计算
1 弧长的计算
弧长公式:半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【例题精选】
例1(2023•麒麟区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径AB＝10，点D平分，DE⊥AB交⊙O于点E，∠EDC＝99°，则的长是（ ）
A．B．C．3πD．
分析：连接OC、OD、OE、BE．根据圆内接四边形的性质得出∠EBC＝180°﹣99°＝81°，由圆周角定理得到∠EOC＝2∠EBC＝162°．结合垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理求出∠EOA＝∠AOD＝∠DOC＝54°，那么∠DOE＝108°，最后利用弧长计算公式求出的长．
【解答】解：如图，连接OC、OD、OE、BE．
∵∠EDC＝99°，
∴∠EBC＝180°﹣99°＝81°，
∴∠EOC＝2∠EBC＝162°．
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴点A平分，
又点D平分，
∴∠EOA＝∠AOD＝∠DOC，
∵∠EOC＝∠EOA+∠AOD+∠DOC＝162°，
∴∠EOA＝∠AOD＝∠DOC＝54°，
∴∠DOE＝108°，
∵直径AB＝10，
∴的长是：＝3π．
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，求出∠DOE的度数是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023•宁波模拟）已知扇形OAB的圆心O是坐标原点，点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（﹣4，3），那么扇形OAB的面积是（ ）
A．25πB．πC．16πD．π
【解答】解：∵点A的坐标是（3，4），点B的坐标是（﹣4，3），
∴∠AOB＝90°，OA＝OB＝＝5，
∴扇形OAB的面积＝＝π，
故选：D．
2扇形面积的计算
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【例题精选】
例1(2023秋•龙岗区期末）扇子是引风用品，夏令营必备之物，纸扇在DE与BC之间糊有纸条，可以题字或者作画．如图，竹条AD的长为5cm，贴纸的部分BD的长为10cm．扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，则纸扇贴纸部分的面积为（ ）
A．πcm2B．πcm2 C．πcm2 D．100πcm2
分析：贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形ADE的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为30cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
【解答】解：设AB＝R，AD＝r，
则S贴纸＝πR2﹣πr2
＝π（R2﹣r2）
＝π（R+r）（R﹣r）
＝×（15+5）×（15﹣5）π
＝π（cm2）．
答：贴纸部分的面积为πcm2．
故选：C．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式，此题难度一般．
例2(2023•瑞安市一模）如图，一个圆形飞镖板被分为四个圆心角相等的扇形，若大圆半径为2，小圆半径为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．πB．πC．3πD．π
分析：根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝2（S大扇形﹣S小扇形）进行计算．
【解答】解：阴影部分的面积＝2（S大扇形﹣S小扇形）
＝2（﹣
＝π．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【随堂练习】
1．(2023秋•巴彦县期末）若一个扇形的圆心角是45°，面积是2π，则这个扇形的半径是（ ）
A．4B．2C．4πD．21
【解答】解：设扇形的半径为r．
由题意：2π＝，
解得r＝4，
故选：A．
2．(2023秋•海淀区期末）若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（ ）
A．B．πC．2πD．4π
【解答】解：这个扇形的面积＝＝π．
故选：B．
3．(2023秋•济南期末）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A．πB．πC．D．π
【解答】解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°，
则分针在钟面上扫过的面积是：＝π．
故选：B．
3圆锥的计算
圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【例题精选】
例1 (2023•开福区模拟）如果圆锥的母线长为10cm，高为8cm，那么它的侧面积等于（ ）
A．80πcm2B．60πcm2C．40πcm2D．30πcm2
分析：利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的母线长为10cm，高为8cm，
∴圆锥的底面半径为6cm，
∴圆锥的侧面积＝π×6×10＝60π（cm2）．
故选：B．
【点评】考查圆锥的侧面积的计算公式，熟记关于底面半径和母线长的圆锥的侧面积公式是解决本题的关键．用到的知识点为：圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直角三角形．
例2(2023秋•新吴区期末）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的全面积是（ ）
A．65πcm2B．90πcm2C．130πcm2D．155πcm2
分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算扇形的侧面积，然后计算扇形的底面积，从而求得答案．
【解答】解：这个圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π（cm2）．
底面积为：52×π＝25π（cm2），
所以全面积为65π+25π＝90π（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【随堂练习】
1．(2023秋•河南期末）已知一扇形的圆心角为60°，半径为5，则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为（ ）
A．πB．10πC．πD．π
【解答】解：半径为5，圆心角为60°的扇形的弧长是＝π，
所以以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为，
故选：A．
2．(2023秋•富锦市期末）用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为（ ）
A．B．4C．3D．2
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得
2πr＝，
解得r＝2cm，
所以圆锥的高为＝4cm，
故选：B．
3．(2023•枣阳市校级模拟）小李要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为（ ）cm2
A．15πB．24πC．30πD．39π
【解答】解：底面半径为3cm，则底面周长＝6π（cm），
圆锥的侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2），
底面面积＝9π（cm2），
∴圆锥的表面积＝15π+9π＝24π（cm2）．
故选：B．
4．(2023•无锡一模）如果圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为________°．
【解答】解：因为底面半径为3cm，
所以地面周长为6πcm，
设圆心角为n°，
根据题意得6π＝，
解得n＝180．
故答案为：180．
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综合应用
一．选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径长为3，则该扇形的面积为（ ）
A．2πB．3πC．6πD．12π
【解答】解：S扇形＝＝3π，
故选：B．
2．已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．5πcm2B．30πcm2C．55πcm2D．85πcm2
【解答】解：底面周长是2×5π＝10πcm，底面积是：52π＝25πcm2．
母线长是：＝6（cm），
则圆锥的侧面积是：×10π×6＝30π（cm2），
则圆锥的表面积为25π+30π＝55π（cm2）．
故选：C．
3．若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．6cm
【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，
那么圆锥底面圆周长为2πrcm，
所以侧面展开图的弧长为2πrcm，
S圆锥侧面积＝×2πr×6＝，
解得：r＝3，
故选：C．
4．在半径为1的圆中，圆心角为120°所对的弧长是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：120°的圆心角所对的弧长＝＝．
故选：A．
二．解答题
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．
【解答】解：连接CF，
则阴影部分的面积＝S△BCF+S扇形CGF﹣S△CGF＝ab+πb2﹣b2＝．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；
（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵∠C＝60°，AB＝AC，
∴∠BAC＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴∠OBE＝30°，
∵AB＝8，
∴OB＝4，
∴S阴影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∴∠CAB＝2∠EBC．
7．如图，图中圆O的周长为8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD为45度，求图中阴影部分（即扇形AOD）的面积．（结果保留π）
【解答】解：设圆O的半径为r
由题意：2•π•r＝8π，
∴r＝4，
∵S△AOB＝•OA•OB＝•AB•OC，
∴OA2＝8×4＝32，
∴S扇形OAD＝＝4π．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求阴影部分的面积．
【解答】解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝（垂径定理），
故S△OCE＝S△ODE，
∴S阴＝S扇形OBD，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°（圆周角定理），
∴OC＝2，
故S扇形OBD＝＝，即阴影部分的面积为．