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苏教版八年级数学暑假第08讲勾股定理练习(学生版+解析)
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这是一份苏教版八年级数学暑假第08讲勾股定理练习(学生版+解析)，共46页。
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【基础知识】
一．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
二．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
三．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
四．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
【考点剖析】
一．直角三角形的性质（共6小题）
1．（真题•姜堰区期末）如图，∠AOB是一个锐角，点C、D分别为边OA、OB上的点，OC＝10，OD＝8，图中可能互相垂直的两条线是（ ）
A．OA与OBB．CD与OB
C．CD与OAD．没有可能垂直的两条线
2．（真题•毕节市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2022春•阜宁县期中）直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为 ．
4．（2022春•大丰区校级月考）在△ABC中，已知∠A＝90°，∠B＝∠C，则∠B＝ ．
5．（2022春•滨海县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
6．（真题•仪征市期末）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，5
二．勾股定理（共5小题）
7．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
8．（真题•宜兴市期末）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A．30B．40C．50D．60
9．（2022春•岳麓区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，则S2＝（ ）
A．6B．2C．11D．24
10．（2022春•工业园区校级期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1＝∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
11．（真题•阳山县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．5B．6C．12D．13
三．勾股定理的证明（共4小题）
12．（真题•崇川区期末）如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的面积等于（ ）
A．36B．48C．54D．108
13．（2022春•江都区期中）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为 ．
14．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
15．（真题•六合区期中）如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a、b（b＞a），斜边为c，中间是正方形，请你利用这个图来验证勾股定理．
四．等腰直角三角形（共6小题）
16．（真题•镇江期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，若∠B＝45°，则线段BC的长为 ．
17．（2022春•泗洪县期中）如图，将一个含有45°角的直角三角尺放在两条平行线m、n上，已知∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．65°B．70°C．45°D．75°
18．（真题•邗江区月考）探究与发现：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
19．（真题•滨湖区期末）如图，△ABC为等边三角形，CD⊥AC，CD＝AC，则∠BDC＝ °．
20．（真题•句容市期末）如图，将一副三角板摆放在直线AB上，∠ECD＝∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，设∠EDF＝x，则用x的代数式表示∠GDB的度数为 ．
21．（真题•盐城期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角板的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝ ；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；
（2）接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒4.5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当旋转到第 秒时，∠COM与∠CON互补．
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．（真题•山亭区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算
2．（2022春•泗洪县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c2
3．（真题•栾城区校级期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A．x2+y2＝81B．x+y＝13C．2xy+16＝81D．x﹣y＝4
4．（2022春•江阴市期中）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．（真题•东台市期末）如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（ ）
A．17B．10C．6D．7
6．（真题•泗阳县期末）已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A．5B．25C．D．5或
7．（真题•泗阳县期末）如图是一正方体的平面展开图，若AB＝6，则该正方体A、B两点间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．（真题•江阴市期末）如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD，已知∠ADB＝∠ACB＝90°，，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．3C．D．4
9．（2022春•新田县期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A．S甲＝S丁B．S乙＝S丙
C．S甲+S乙＝S丙+S丁D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁
10．（真题•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
二．填空题（共5小题）
11．（真题•大丰区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是 ．
12．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝7，则AB＝ ．
13．（2022春•丹阳市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，点 D、E分别AB、BC的中点，点F在CA的延长线上，且∠FDA＝∠BAE，则四边形AFDE的周长为 ．
14．（2022春•海安市期中）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为 时，△BCP为等腰三角形．
15．（2022春•如皋市校级月考）如图，线段AB的长为8，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE长的最小值是 ．
三．解答题（共6小题）
16．（真题•如皋市期末）如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF．
（1）求AB的长；
（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．
17．（真题•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求AD的长；
（2）求AF的长．
18．（真题•连云港期末）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．
（1）求AB的长；
（2）求△ACB的面积．
19．（真题•宜兴市期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数；
（2）若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．
20．（真题•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．
（1）△ABC的面积是 ．
（2）求BC、AD的长．
21．（真题•石狮市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
第08讲 勾股定理
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【基础知识】
一．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
二．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
三．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
四．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
【考点剖析】
一．直角三角形的性质（共6小题）
1．（真题•姜堰区期末）如图，∠AOB是一个锐角，点C、D分别为边OA、OB上的点，OC＝10，OD＝8，图中可能互相垂直的两条线是（ ）
A．OA与OBB．CD与OB
C．CD与OAD．没有可能垂直的两条线
【分析】根据题干及三角形三边关系、勾股定理即可判断．
【解答】解：A、∵∠AOB是一个锐角，
∴OA与OB不可能垂直，
该选项不符合题意；
B、若CD与OB垂直，则∠ODC＝90°，
根据勾股定理可得：CD6，
故有可能存在，
该选项符合题意；
C、若CD与OA垂直，则∠OCD＝90°，
在Rt△OCD中，斜边OD＝8＜直角边OC＝10，与三角形三边关系矛盾，
该选项不符合题意；
D、因为CD与OB可能垂直，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的概念，能联想到三角形三边关系、勾股定理是解题的关键．
2．（真题•毕节市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C＝90°，再结合∠B﹣∠C＝30°计算出∠B的度数即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．
3．（2022春•阜宁县期中）直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为 15° ．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x，
则x+5x＝90°，
解得：x＝15°，
则较小的一个锐角为15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
4．（2022春•大丰区校级月考）在△ABC中，已知∠A＝90°，∠B＝∠C，则∠B＝ 45° ．
【分析】根据直角三角形的性质得到∠B+∠C＝90°，根据题意计算，得到答案．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
5．（2022春•滨海县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
【分析】（1）根据条件的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
6．（真题•仪征市期末）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，5
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；
C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
二．勾股定理（共5小题）
7．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】根据勾股定理直接求即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：AB．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理求线段的长度，熟记勾股定理是解题的关键．
8．（真题•宜兴市期末）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A．30B．40C．50D．60
【分析】由勾股定理得，另一条直角边长为：，即可计算面积．
【解答】解：由勾股定理得，另一条直角边长为：，
∴这个直角三角形的面积为5×12÷2＝30，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
9．（2022春•岳麓区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，则S2＝（ ）
A．6B．2C．11D．24
【分析】根据题意，可以得到BC2＝5，AB2＝16，然后根据勾股定理即可得到AC2的值，从而可以求得S2的值．
【解答】解：∵以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，
∴BC2＝5，AB2＝16，
由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，
∴AC2＝16﹣5＝11，
即S2＝11，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2022春•工业园区校级期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1＝∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
【分析】（1）由已知可得，从而△ACD∽△ABC，∠ACD＝∠B，可证点D是△ABC的“理想点”；
（2）由D是△ABC的“理想点”，分三种情况：当D在AB上时，CD是AB边上的高，根据面积法可求CD长度；当D在AC上时，△BDC∽△ABC，对应边成比例即可求CD长度；D不可能在BC上．
【解答】解：（1）点D是△ABC的“理想点”，理由如下：
∵D是AB中点，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，AD•AB＝8，
∵AC＝2，
∴AC2＝8，
∴AC2＝AD•AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∴点D是△ABC的“理想点”；
（2）①D在AB上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
当∠ACD＝∠B时，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
当∠BCD＝∠A时，同理可证∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC3，
∵S△ABCAB•CDAC•BC，
∴CD，
②∵AC＝4，BC＝3，
∴AC＞BC有∠B＞∠A，
∴“理想点”D不可能在BC边上，
③D在AC边上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠DBC＝∠A，
又∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
∴CD，
综上所述，点D是△ABC的“理想点”，CD的长为或．
【点评】本题考查相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
11．（真题•阳山县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．5B．6C．12D．13
【分析】根据勾股定理求出AB2，根据正方形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
则AB2＝AC2+BC2＝32+22＝13，
∴正方形的面积＝AB2＝13，
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理、正方形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
三．勾股定理的证明（共4小题）
12．（真题•崇川区期末）如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的面积等于（ ）
A．36B．48C．54D．108
【分析】根据正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵小正方形边长为3，大正方形边长为15，
∴一个直角三角形的面积（152﹣32）＝54，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，解题的关键是正确的识别图形．
13．（2022春•江都区期中）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为 110 ．
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50，
∴2ab＝50，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110．
故答案为：110．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
14．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
【分析】根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证．
【解答】解：图形的总面积可以表示为：c2+2ab＝c2+ab，
也可以表示为：a2+b2+2ab＝a2+b2+ab，
所以，c2+ab＝a2+b2+ab，
所以，a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，观察图形，利用两种方法表示出图形的面积是解题的关键．
15．（真题•六合区期中）如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a、b（b＞a），斜边为c，中间是正方形，请你利用这个图来验证勾股定理．
【分析】利用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题．
【解答】解：∵S大正方形＝4ab+（b﹣a）2，
＝a2+b2，
S大正方形＝c2，
∴a2+b2＝c2．
【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积得出是解题关键．
四．等腰直角三角形（共6小题）
16．（真题•镇江期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，若∠B＝45°，则线段BC的长为 ．
【分析】由AB＝AC得∠B＝∠C＝45°，从而∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，由勾股定理即得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴BC，
故答案为：．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是证明∠A＝90°及熟练应用勾股定理．
17．（2022春•泗洪县期中）如图，将一个含有45°角的直角三角尺放在两条平行线m、n上，已知∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．65°B．70°C．45°D．75°
【分析】根据平行线的性质得出∠4，进而利用三角形外角性质解答即可．
【解答】解：过点C作CE∥m∥n，
∴∠ACE＝∠3，∠ECB＝∠4，
∵∠1＝∠3，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠3+∠4＝∠1+∠4＝70°+∠4＝90°，
∴∠4＝20°，
∴∠5＝20°，
∴∠2＝∠5+∠B＝20°+45°＝65°，
故选：A．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
18．（真题•邗江区月考）探究与发现：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠B＝∠C＝45°，∠AED＝75°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠B＝∠C＝45°，∠AED＝45°x，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）猜想∠CDE∠BAD，理由如下：
设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°x，
∴∠CDEx∠BAD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
19．（真题•滨湖区期末）如图，△ABC为等边三角形，CD⊥AC，CD＝AC，则∠BDC＝ 15 °．
【分析】根据等边三角形的性质及垂线的性质可求得∠BCD＝150°，AC＝BC＝CD，由等要三角形的性质可得∠CBD＝∠BDC，结合三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝60°+90°＝150°，
∵CD＝AC，
∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠BDC，
∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，
∴∠BDC（180°﹣150°）＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形，三角形的内角和定理，求得∠CBD＝∠BDC是解题的关键．
20．（真题•句容市期末）如图，将一副三角板摆放在直线AB上，∠ECD＝∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，设∠EDF＝x，则用x的代数式表示∠GDB的度数为 45°﹣x ．
【分析】利用平角180°减去∠FDG，∠EDC与∠EDF的和即可．
【解答】解：∵∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，∠EDF＝x，
∴∠GDB＝180°﹣（∠FDG+∠EDC+∠EDF）
＝180°﹣（90°+45°+x）
＝45°﹣x，
∴用x的代数式表示∠GDB的度数为：45°﹣x，
故答案为：45°﹣x．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，熟练掌握平角定义是解题的关键．
21．（真题•盐城期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角板的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝ 90° ；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；
（2）接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒4.5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当旋转到第 15或55 秒时，∠COM与∠CON互补．
【分析】（1）利用旋转的性质可得∠BOM的度数，然后计算∠MOC的度数判断OM是否平分∠CON；
（2）利用∠AOM＝45°﹣∠AON和∠NOC＝45°﹣∠AON可判断∠AOM与∠CON之间的数量关系；
（3）在旋转的过程中，∠COM与∠CON互补，则ON旋转67.5°或247.5°，即可得出结果．
【解答】解：（1）如图2，∠BOM＝90°，
OM平分∠CON．理由如下：
∵∠BOC＝135°，
∴∠MOC＝135°﹣90°＝45°，
而∠MON＝45°，
∴∠MOC＝∠MON；
故答案为90°；
（2）∠AOM＝∠CON．
理由如下：如图3，
∵∠MON＝45°，
∴∠AOM＝45°﹣∠AON，
∵∠AOC＝45°，
∴∠NOC＝45°﹣∠AON，
∴∠AOM＝∠CON；
（3）如图2，OM、ON都在OC右侧，∠COM+∠CON＝2∠COM+45°＝180°，
∴∠COM＝67.5°，
∴∠CON＝67.5+45＝112.5°，
∴45°+∠BON＝180°﹣112.5＝67.5°，
如图3，OM、ON都在OC左侧，∠COM+∠CON＝2∠CON+45°＝180°，
∴∠CON＝67.5°，
∴∠BOM＝67.5+45＝112.5°，
∴∠BOC+∠COM＝135+112.5＝247.5°，
∴在旋转的过程中，∠COM与∠CON互补，则ON旋转67.5°或247.5°，
∴15或55，
故答案为：15或55．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线定义、补角的定义、旋转的性质等知识，熟练掌握角平分线以及补角定义是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．（真题•山亭区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算
【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，
则AC2+BC2＝225cm2．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
2．（2022春•泗洪县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c2
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【解答】解：根据题意得：S（a+b）（a+b），Sababc2，
∴（a+b）（a+b）ababc2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（真题•栾城区校级期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A．x2+y2＝81B．x+y＝13C．2xy+16＝81D．x﹣y＝4
【分析】由题意 ，①﹣②可得2xy＝65记为③，①+③得到（x+y）2＝146由此即可判断．
【解答】解：由题意，
①﹣②可得2xy＝65③，
∴2xy+16＝81，
①+③得x2+2xy+y2＝146，
∴x+y，
∴①③④正确，②错误．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．
4．（2022春•江阴市期中）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，再根据完全平方公式的变式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求出ab的值，根据直角三角形的面积计算方法即可得出答案．
【解答】解：设AC＝a，BC＝b，
由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴20＝62﹣2ab，
∴ab＝8，
∴△BCD的面积ab8＝4．
图中△BCD的面积为4．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
5．（真题•东台市期末）如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（ ）
A．17B．10C．6D．7
【分析】由正方形的性质得BC2＝15，∠ABC＝90°，则∠EBC＝90°，再由勾股定理求出BE的长即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为15，
∴BC2＝15，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE7，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（真题•泗阳县期末）已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A．5B．25C．D．5或
【分析】分两种情况：当3和4都是直角边时；当4是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【解答】解：当3和4都是直角边时，第三边长为：；
当4是斜边长时，第三边长为：．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
7．（真题•泗阳县期末）如图是一正方体的平面展开图，若AB＝6，则该正方体A、B两点间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】首先求出正方体的棱长，进而得出正方体A、B两点间的距离即可．
【解答】解：∵AB＝6，
∴该正方体的棱长为3，
∴把正方形组合起来之后会发现A、B在同一平面的对角线上，
所以该正方体A、B两点间的距离为3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，得出正方体的棱长是解题关键．
8．（真题•江阴市期末）如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD，已知∠ADB＝∠ACB＝90°，，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．3C．D．4
【分析】过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC，根据圆周角定理得到BAC＝∠BDC＝45°，求得CE＝DE＝1，根据勾股定理得到AE2，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∴∠EDC＝45°，
∴△CED是等腰直角三角形，
∵CD，
∴CE＝DE＝1，
∵AE2，
∴AD＝1，
∴四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ACBAD•CEAC•BC1×13，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，四点共圆，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．（2022春•新田县期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A．S甲＝S丁B．S乙＝S丙
C．S甲+S乙＝S丙+S丁D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁
【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【解答】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，
∴甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．
10．（真题•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【分析】根据∠CBP＝∠BAD，得∠ABD+∠BAD＝90°，则∠ADB＝90°，可知点D在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于D，此时CD最小，利用勾股定理求出OC的长，从而得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴点D在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于D，此时CD最小，
∴BOAB＝4，
∴OCOB＝4，
∴CD的最小值为44，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理等知识，根据题意得出点D在以AB为直径的⊙O上是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（真题•大丰区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是 5 ．
【分析】作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质得CD＝DE，再利用面积法求出CD的长，从而解决问题．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC，
∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC，
∴6CD+10CD＝48，
∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积等知识，运用面积法求出CD的长是解题的关键．
12．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝7，则AB＝ 2.5 ．
【分析】平移一腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．
【解答】解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE＝2，∠DEC＝∠B＝60°，
∴EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，
∵∠C＝30°，
∴∠EDC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∴EC＝2DE＝5．
∴AB＝DE＝2.5．
故答案是：2.5．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造平行四边形ABED是解题的关键．
13．（2022春•丹阳市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，点 D、E分别AB、BC的中点，点F在CA的延长线上，且∠FDA＝∠BAE，则四边形AFDE的周长为 24 ．
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和三角形中位线定理得出AEBC＝BE，DE∥AF，DEAC，由∠FDA＝∠BAE，得出AE∥DF，即可得出四边形AFDE是平行四边形．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，
∴AB＝12，
∵点 D、E分别AB、BC的中点，
∴DE∥AC，AE＝CE＝BE，DEAC＝4.5，
∵∠FDA＝∠BAE，
∴AE∥DF，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴四边形AFDE的周长＝2ED+2AE＝9+15＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由三角形中位线定理得出DE∥AC，DEAC是解决问题的关键．
14．（2022春•海安市期中）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为 5或20或或 时，△BCP为等腰三角形．
【分析】分情况讨论，由等腰三角形的判定与性质分别求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB13，
当点P在AC上时，CP＝CB＝5，
∴t＝5；
当点P在AB上时，分三种情况：
①当BP＝BC＝5，如图1所示：
则AP＝13﹣5＝8，
∴t＝12+8＝20；
②当CP＝CB＝5时，
过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：
则BM＝PMBP，
∵AC•BCAB•CM，
∴CM，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM，
∴BP＝2BM
∴AP＝13，
∴t＝12；
③当PC＝PB时，如图3所示：
则∠B＝∠BCP，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴AP＝PBAB，
∴t＝12；
综上所述，当t＝5或20或或时，△BCP为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（2022春•如皋市校级月考）如图，线段AB的长为8，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE长的最小值是 2 ．
【分析】设AC＝x，BC＝10﹣x，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得CDx，CE（8﹣x），再由勾股定理和配方法即可求解．
【解答】解：设AC＝x，BC＝8﹣x，
∵△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，∠A＝30°，
∴CDACx，∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，
∵△BCE为直角三角形，∠BEC＝90°，∠B＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BEBC，
∴CE（8﹣x），
∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝90°，
∴DE2＝CD2+CE2＝（x）2+[（8﹣x）]2＝x2﹣12x+40＝（x﹣6）2+12，
∴当x＝6时，DE2取最小值为12，
此时DE的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及最小值问题，熟练掌握勾股定理和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
16．（真题•如皋市期末）如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF．
（1）求AB的长；
（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．
【分析】（1）证出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；
（2）分三种情况，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE，
∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，
∴AC2+CE2＝AE2，
∴∠ACE＝90°，
∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，
∴AB5；
（2）①当BF＝BE＝4时，
AF＝AB﹣BF＝54；
②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，
∴∠BFE＝90°，BF＝EF，
设BF＝EF＝x，
∵BF2+EF2＝BE2，
∴x2+x2＝42，
∴x＝2（负值舍去），
∴AF＝AB﹣BF＝523；
③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，
∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，
∴BF4，
∴AF＝AB﹣BF＝5．
综上所述，AF的长为54或3或．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．（真题•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求AD的长；
（2）求AF的长．
【分析】（1）根据勾股定理得到AB，根据线段中点的定义即可得到ADAB；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到BF＝AF，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB，
∵AB的中垂线DE交AB于点D，
∴ADAB；
（2）∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴BF＝AF，
∴CF＝BF﹣BC＝AF﹣1，
∵∠ACF＝90°，
∴CF2+AC2＝AF2，
∴（AF﹣1）2+22＝AF2，
∴AF，
故AF的长为．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
18．（真题•连云港期末）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．
（1）求AB的长；
（2）求△ACB的面积．
【分析】（1）根据三角形的面积公式计算，求出AB；
（2）根据勾股定理的逆定理求出∠C＝90°，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABE的面积为35，DE＝7，
∴AB×7＝35，
解得：AB＝10；
（2）在△ABC中，AB2＝102＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，
则AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，
∴S△ABCAC•BC6×8＝24，
答：△ACB的面积24．
【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，根据勾股定理的逆定理求出∠C＝90°是解题的关键．
19．（真题•宜兴市期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数；
（2）若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ACB，根据直角三角形的性质求出∠ACD，计算即可；
（2）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠ABC（180°﹣42°）＝69°，
在Rt△ADC中，∠A＝42°，
则∠ACD＝90°﹣42°＝48°，
∴∠DCB＝69°﹣48°＝21°；
（2）设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣1，
在Rt△ADC中，AC2＝CD2+AD2，即x2＝32+（x﹣1）2，
解得：x＝5，即AC＝5，
在Rt△ADC中，M为AC的中点，
则DMAC＝2.5，
答：DM的长为2.5．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．（真题•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．
（1）△ABC的面积是 150 ．
（2）求BC、AD的长．
【分析】（1）由直角三角形的面积公式直接求解即可；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，再利用三角形面积公式得出BC•AD＝150，然后即可求出AD．
【解答】解：（1）△ABC的面积是：•AB•AC150．
故答案是：150；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC25，
∵S△ABC＝150BC•AD，
∴300＝25AD，
∴AD＝12．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的灵活运用，解答此题的关键是三角形ABC的面积可以用AB•AC表示，也可以用BC•AD表示，从而得出AB•AC＝BC•AD，这是此题的突破点．
21．（真题•石狮市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理求出BC的长即可；
（2）连接AP，过点P作PE⊥AB于E，则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，证△AEP≌△ACP（AAS），得AE＝AC＝6cm，则BE＝AB﹣AE＝4（cm），再在Rt△BEP中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC8（cm）；
（2）存在，理由如下：
如图，当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等，
由已知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，
连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示：
则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，
在△AEP与△ACP中，
，
∴△AEP≌△ACP（AAS），
∴AE＝AC＝6cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），
在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，
即（2t）2＝42+（8﹣2t）2，
解得：t，
即当t的值为时，点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等．
【点评】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【基础知识】
一．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
二．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
三．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
四．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
【考点剖析】
一．直角三角形的性质（共6小题）
1．（真题•姜堰区期末）如图，∠AOB是一个锐角，点C、D分别为边OA、OB上的点，OC＝10，OD＝8，图中可能互相垂直的两条线是（ ）
A．OA与OBB．CD与OB
C．CD与OAD．没有可能垂直的两条线
2．（真题•毕节市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2022春•阜宁县期中）直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为 ．
4．（2022春•大丰区校级月考）在△ABC中，已知∠A＝90°，∠B＝∠C，则∠B＝ ．
5．（2022春•滨海县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
6．（真题•仪征市期末）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，5
二．勾股定理（共5小题）
7．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
8．（真题•宜兴市期末）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A．30B．40C．50D．60
9．（2022春•岳麓区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，则S2＝（ ）
A．6B．2C．11D．24
10．（2022春•工业园区校级期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1＝∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
11．（真题•阳山县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．5B．6C．12D．13
三．勾股定理的证明（共4小题）
12．（真题•崇川区期末）如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的面积等于（ ）
A．36B．48C．54D．108
13．（2022春•江都区期中）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为 ．
14．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
15．（真题•六合区期中）如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a、b（b＞a），斜边为c，中间是正方形，请你利用这个图来验证勾股定理．
四．等腰直角三角形（共6小题）
16．（真题•镇江期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，若∠B＝45°，则线段BC的长为 ．
17．（2022春•泗洪县期中）如图，将一个含有45°角的直角三角尺放在两条平行线m、n上，已知∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．65°B．70°C．45°D．75°
18．（真题•邗江区月考）探究与发现：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
19．（真题•滨湖区期末）如图，△ABC为等边三角形，CD⊥AC，CD＝AC，则∠BDC＝ °．
20．（真题•句容市期末）如图，将一副三角板摆放在直线AB上，∠ECD＝∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，设∠EDF＝x，则用x的代数式表示∠GDB的度数为 ．
21．（真题•盐城期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角板的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝ ；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；
（2）接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒4.5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当旋转到第 秒时，∠COM与∠CON互补．
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．（真题•山亭区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算
2．（2022春•泗洪县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c2
3．（真题•栾城区校级期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A．x2+y2＝81B．x+y＝13C．2xy+16＝81D．x﹣y＝4
4．（2022春•江阴市期中）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．（真题•东台市期末）如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（ ）
A．17B．10C．6D．7
6．（真题•泗阳县期末）已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A．5B．25C．D．5或
7．（真题•泗阳县期末）如图是一正方体的平面展开图，若AB＝6，则该正方体A、B两点间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．（真题•江阴市期末）如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD，已知∠ADB＝∠ACB＝90°，，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．3C．D．4
9．（2022春•新田县期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A．S甲＝S丁B．S乙＝S丙
C．S甲+S乙＝S丙+S丁D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁
10．（真题•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
二．填空题（共5小题）
11．（真题•大丰区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是 ．
12．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝7，则AB＝ ．
13．（2022春•丹阳市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，点 D、E分别AB、BC的中点，点F在CA的延长线上，且∠FDA＝∠BAE，则四边形AFDE的周长为 ．
14．（2022春•海安市期中）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为 时，△BCP为等腰三角形．
15．（2022春•如皋市校级月考）如图，线段AB的长为8，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE长的最小值是 ．
三．解答题（共6小题）
16．（真题•如皋市期末）如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF．
（1）求AB的长；
（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．
17．（真题•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求AD的长；
（2）求AF的长．
18．（真题•连云港期末）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．
（1）求AB的长；
（2）求△ACB的面积．
19．（真题•宜兴市期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数；
（2）若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．
20．（真题•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．
（1）△ABC的面积是 ．
（2）求BC、AD的长．
21．（真题•石狮市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
第08讲 勾股定理
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【基础知识】
一．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
二．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
三．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
四．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
【考点剖析】
一．直角三角形的性质（共6小题）
1．（真题•姜堰区期末）如图，∠AOB是一个锐角，点C、D分别为边OA、OB上的点，OC＝10，OD＝8，图中可能互相垂直的两条线是（ ）
A．OA与OBB．CD与OB
C．CD与OAD．没有可能垂直的两条线
【分析】根据题干及三角形三边关系、勾股定理即可判断．
【解答】解：A、∵∠AOB是一个锐角，
∴OA与OB不可能垂直，
该选项不符合题意；
B、若CD与OB垂直，则∠ODC＝90°，
根据勾股定理可得：CD6，
故有可能存在，
该选项符合题意；
C、若CD与OA垂直，则∠OCD＝90°，
在Rt△OCD中，斜边OD＝8＜直角边OC＝10，与三角形三边关系矛盾，
该选项不符合题意；
D、因为CD与OB可能垂直，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的概念，能联想到三角形三边关系、勾股定理是解题的关键．
2．（真题•毕节市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C＝90°，再结合∠B﹣∠C＝30°计算出∠B的度数即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．
3．（2022春•阜宁县期中）直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为 15° ．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x，
则x+5x＝90°，
解得：x＝15°，
则较小的一个锐角为15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
4．（2022春•大丰区校级月考）在△ABC中，已知∠A＝90°，∠B＝∠C，则∠B＝ 45° ．
【分析】根据直角三角形的性质得到∠B+∠C＝90°，根据题意计算，得到答案．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
5．（2022春•滨海县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
【分析】（1）根据条件的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
6．（真题•仪征市期末）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，5
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；
C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
二．勾股定理（共5小题）
7．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】根据勾股定理直接求即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：AB．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理求线段的长度，熟记勾股定理是解题的关键．
8．（真题•宜兴市期末）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A．30B．40C．50D．60
【分析】由勾股定理得，另一条直角边长为：，即可计算面积．
【解答】解：由勾股定理得，另一条直角边长为：，
∴这个直角三角形的面积为5×12÷2＝30，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
9．（2022春•岳麓区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，则S2＝（ ）
A．6B．2C．11D．24
【分析】根据题意，可以得到BC2＝5，AB2＝16，然后根据勾股定理即可得到AC2的值，从而可以求得S2的值．
【解答】解：∵以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，
∴BC2＝5，AB2＝16，
由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，
∴AC2＝16﹣5＝11，
即S2＝11，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2022春•工业园区校级期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1＝∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
【分析】（1）由已知可得，从而△ACD∽△ABC，∠ACD＝∠B，可证点D是△ABC的“理想点”；
（2）由D是△ABC的“理想点”，分三种情况：当D在AB上时，CD是AB边上的高，根据面积法可求CD长度；当D在AC上时，△BDC∽△ABC，对应边成比例即可求CD长度；D不可能在BC上．
【解答】解：（1）点D是△ABC的“理想点”，理由如下：
∵D是AB中点，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，AD•AB＝8，
∵AC＝2，
∴AC2＝8，
∴AC2＝AD•AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∴点D是△ABC的“理想点”；
（2）①D在AB上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
当∠ACD＝∠B时，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
当∠BCD＝∠A时，同理可证∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC3，
∵S△ABCAB•CDAC•BC，
∴CD，
②∵AC＝4，BC＝3，
∴AC＞BC有∠B＞∠A，
∴“理想点”D不可能在BC边上，
③D在AC边上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠DBC＝∠A，
又∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
∴CD，
综上所述，点D是△ABC的“理想点”，CD的长为或．
【点评】本题考查相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
11．（真题•阳山县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．5B．6C．12D．13
【分析】根据勾股定理求出AB2，根据正方形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
则AB2＝AC2+BC2＝32+22＝13，
∴正方形的面积＝AB2＝13，
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理、正方形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
三．勾股定理的证明（共4小题）
12．（真题•崇川区期末）如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．若小正方形边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的面积等于（ ）
A．36B．48C．54D．108
【分析】根据正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵小正方形边长为3，大正方形边长为15，
∴一个直角三角形的面积（152﹣32）＝54，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，解题的关键是正确的识别图形．
13．（2022春•江都区期中）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为 110 ．
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50，
∴2ab＝50，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110．
故答案为：110．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
14．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
【分析】根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证．
【解答】解：图形的总面积可以表示为：c2+2ab＝c2+ab，
也可以表示为：a2+b2+2ab＝a2+b2+ab，
所以，c2+ab＝a2+b2+ab，
所以，a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，观察图形，利用两种方法表示出图形的面积是解题的关键．
15．（真题•六合区期中）如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a、b（b＞a），斜边为c，中间是正方形，请你利用这个图来验证勾股定理．
【分析】利用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题．
【解答】解：∵S大正方形＝4ab+（b﹣a）2，
＝a2+b2，
S大正方形＝c2，
∴a2+b2＝c2．
【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积得出是解题关键．
四．等腰直角三角形（共6小题）
16．（真题•镇江期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，若∠B＝45°，则线段BC的长为 ．
【分析】由AB＝AC得∠B＝∠C＝45°，从而∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，由勾股定理即得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴BC，
故答案为：．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是证明∠A＝90°及熟练应用勾股定理．
17．（2022春•泗洪县期中）如图，将一个含有45°角的直角三角尺放在两条平行线m、n上，已知∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．65°B．70°C．45°D．75°
【分析】根据平行线的性质得出∠4，进而利用三角形外角性质解答即可．
【解答】解：过点C作CE∥m∥n，
∴∠ACE＝∠3，∠ECB＝∠4，
∵∠1＝∠3，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠3+∠4＝∠1+∠4＝70°+∠4＝90°，
∴∠4＝20°，
∴∠5＝20°，
∴∠2＝∠5+∠B＝20°+45°＝65°，
故选：A．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
18．（真题•邗江区月考）探究与发现：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠B＝∠C＝45°，∠AED＝75°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠B＝∠C＝45°，∠AED＝45°x，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）猜想∠CDE∠BAD，理由如下：
设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°x，
∴∠CDEx∠BAD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
19．（真题•滨湖区期末）如图，△ABC为等边三角形，CD⊥AC，CD＝AC，则∠BDC＝ 15 °．
【分析】根据等边三角形的性质及垂线的性质可求得∠BCD＝150°，AC＝BC＝CD，由等要三角形的性质可得∠CBD＝∠BDC，结合三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝60°+90°＝150°，
∵CD＝AC，
∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠BDC，
∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，
∴∠BDC（180°﹣150°）＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形，三角形的内角和定理，求得∠CBD＝∠BDC是解题的关键．
20．（真题•句容市期末）如图，将一副三角板摆放在直线AB上，∠ECD＝∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，设∠EDF＝x，则用x的代数式表示∠GDB的度数为 45°﹣x ．
【分析】利用平角180°减去∠FDG，∠EDC与∠EDF的和即可．
【解答】解：∵∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，∠EDF＝x，
∴∠GDB＝180°﹣（∠FDG+∠EDC+∠EDF）
＝180°﹣（90°+45°+x）
＝45°﹣x，
∴用x的代数式表示∠GDB的度数为：45°﹣x，
故答案为：45°﹣x．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，熟练掌握平角定义是解题的关键．
21．（真题•盐城期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角板的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝ 90° ；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；
（2）接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒4.5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当旋转到第 15或55 秒时，∠COM与∠CON互补．
【分析】（1）利用旋转的性质可得∠BOM的度数，然后计算∠MOC的度数判断OM是否平分∠CON；
（2）利用∠AOM＝45°﹣∠AON和∠NOC＝45°﹣∠AON可判断∠AOM与∠CON之间的数量关系；
（3）在旋转的过程中，∠COM与∠CON互补，则ON旋转67.5°或247.5°，即可得出结果．
【解答】解：（1）如图2，∠BOM＝90°，
OM平分∠CON．理由如下：
∵∠BOC＝135°，
∴∠MOC＝135°﹣90°＝45°，
而∠MON＝45°，
∴∠MOC＝∠MON；
故答案为90°；
（2）∠AOM＝∠CON．
理由如下：如图3，
∵∠MON＝45°，
∴∠AOM＝45°﹣∠AON，
∵∠AOC＝45°，
∴∠NOC＝45°﹣∠AON，
∴∠AOM＝∠CON；
（3）如图2，OM、ON都在OC右侧，∠COM+∠CON＝2∠COM+45°＝180°，
∴∠COM＝67.5°，
∴∠CON＝67.5+45＝112.5°，
∴45°+∠BON＝180°﹣112.5＝67.5°，
如图3，OM、ON都在OC左侧，∠COM+∠CON＝2∠CON+45°＝180°，
∴∠CON＝67.5°，
∴∠BOM＝67.5+45＝112.5°，
∴∠BOC+∠COM＝135+112.5＝247.5°，
∴在旋转的过程中，∠COM与∠CON互补，则ON旋转67.5°或247.5°，
∴15或55，
故答案为：15或55．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线定义、补角的定义、旋转的性质等知识，熟练掌握角平分线以及补角定义是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．（真题•山亭区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算
【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，
则AC2+BC2＝225cm2．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
2．（2022春•泗洪县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c2
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【解答】解：根据题意得：S（a+b）（a+b），Sababc2，
∴（a+b）（a+b）ababc2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（真题•栾城区校级期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A．x2+y2＝81B．x+y＝13C．2xy+16＝81D．x﹣y＝4
【分析】由题意 ，①﹣②可得2xy＝65记为③，①+③得到（x+y）2＝146由此即可判断．
【解答】解：由题意，
①﹣②可得2xy＝65③，
∴2xy+16＝81，
①+③得x2+2xy+y2＝146，
∴x+y，
∴①③④正确，②错误．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．
4．（2022春•江阴市期中）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，再根据完全平方公式的变式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求出ab的值，根据直角三角形的面积计算方法即可得出答案．
【解答】解：设AC＝a，BC＝b，
由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴20＝62﹣2ab，
∴ab＝8，
∴△BCD的面积ab8＝4．
图中△BCD的面积为4．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
5．（真题•东台市期末）如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（ ）
A．17B．10C．6D．7
【分析】由正方形的性质得BC2＝15，∠ABC＝90°，则∠EBC＝90°，再由勾股定理求出BE的长即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为15，
∴BC2＝15，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE7，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（真题•泗阳县期末）已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A．5B．25C．D．5或
【分析】分两种情况：当3和4都是直角边时；当4是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【解答】解：当3和4都是直角边时，第三边长为：；
当4是斜边长时，第三边长为：．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
7．（真题•泗阳县期末）如图是一正方体的平面展开图，若AB＝6，则该正方体A、B两点间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】首先求出正方体的棱长，进而得出正方体A、B两点间的距离即可．
【解答】解：∵AB＝6，
∴该正方体的棱长为3，
∴把正方形组合起来之后会发现A、B在同一平面的对角线上，
所以该正方体A、B两点间的距离为3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，得出正方体的棱长是解题关键．
8．（真题•江阴市期末）如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD，已知∠ADB＝∠ACB＝90°，，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．3C．D．4
【分析】过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC，根据圆周角定理得到BAC＝∠BDC＝45°，求得CE＝DE＝1，根据勾股定理得到AE2，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∴∠EDC＝45°，
∴△CED是等腰直角三角形，
∵CD，
∴CE＝DE＝1，
∵AE2，
∴AD＝1，
∴四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ACBAD•CEAC•BC1×13，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，四点共圆，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．（2022春•新田县期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A．S甲＝S丁B．S乙＝S丙
C．S甲+S乙＝S丙+S丁D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁
【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【解答】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，
∴甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．
10．（真题•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【分析】根据∠CBP＝∠BAD，得∠ABD+∠BAD＝90°，则∠ADB＝90°，可知点D在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于D，此时CD最小，利用勾股定理求出OC的长，从而得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴点D在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于D，此时CD最小，
∴BOAB＝4，
∴OCOB＝4，
∴CD的最小值为44，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理等知识，根据题意得出点D在以AB为直径的⊙O上是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（真题•大丰区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是 5 ．
【分析】作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质得CD＝DE，再利用面积法求出CD的长，从而解决问题．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC，
∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC，
∴6CD+10CD＝48，
∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积等知识，运用面积法求出CD的长是解题的关键．
12．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝7，则AB＝ 2.5 ．
【分析】平移一腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．
【解答】解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE＝2，∠DEC＝∠B＝60°，
∴EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，
∵∠C＝30°，
∴∠EDC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∴EC＝2DE＝5．
∴AB＝DE＝2.5．
故答案是：2.5．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造平行四边形ABED是解题的关键．
13．（2022春•丹阳市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，点 D、E分别AB、BC的中点，点F在CA的延长线上，且∠FDA＝∠BAE，则四边形AFDE的周长为 24 ．
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和三角形中位线定理得出AEBC＝BE，DE∥AF，DEAC，由∠FDA＝∠BAE，得出AE∥DF，即可得出四边形AFDE是平行四边形．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，
∴AB＝12，
∵点 D、E分别AB、BC的中点，
∴DE∥AC，AE＝CE＝BE，DEAC＝4.5，
∵∠FDA＝∠BAE，
∴AE∥DF，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴四边形AFDE的周长＝2ED+2AE＝9+15＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由三角形中位线定理得出DE∥AC，DEAC是解决问题的关键．
14．（2022春•海安市期中）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为 5或20或或 时，△BCP为等腰三角形．
【分析】分情况讨论，由等腰三角形的判定与性质分别求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB13，
当点P在AC上时，CP＝CB＝5，
∴t＝5；
当点P在AB上时，分三种情况：
①当BP＝BC＝5，如图1所示：
则AP＝13﹣5＝8，
∴t＝12+8＝20；
②当CP＝CB＝5时，
过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：
则BM＝PMBP，
∵AC•BCAB•CM，
∴CM，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM，
∴BP＝2BM
∴AP＝13，
∴t＝12；
③当PC＝PB时，如图3所示：
则∠B＝∠BCP，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴AP＝PBAB，
∴t＝12；
综上所述，当t＝5或20或或时，△BCP为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（2022春•如皋市校级月考）如图，线段AB的长为8，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE长的最小值是 2 ．
【分析】设AC＝x，BC＝10﹣x，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得CDx，CE（8﹣x），再由勾股定理和配方法即可求解．
【解答】解：设AC＝x，BC＝8﹣x，
∵△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，∠A＝30°，
∴CDACx，∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，
∵△BCE为直角三角形，∠BEC＝90°，∠B＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BEBC，
∴CE（8﹣x），
∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝90°，
∴DE2＝CD2+CE2＝（x）2+[（8﹣x）]2＝x2﹣12x+40＝（x﹣6）2+12，
∴当x＝6时，DE2取最小值为12，
此时DE的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及最小值问题，熟练掌握勾股定理和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
16．（真题•如皋市期末）如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF．
（1）求AB的长；
（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．
【分析】（1）证出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；
（2）分三种情况，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE，
∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，
∴AC2+CE2＝AE2，
∴∠ACE＝90°，
∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，
∴AB5；
（2）①当BF＝BE＝4时，
AF＝AB﹣BF＝54；
②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，
∴∠BFE＝90°，BF＝EF，
设BF＝EF＝x，
∵BF2+EF2＝BE2，
∴x2+x2＝42，
∴x＝2（负值舍去），
∴AF＝AB﹣BF＝523；
③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，
∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，
∴BF4，
∴AF＝AB﹣BF＝5．
综上所述，AF的长为54或3或．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．（真题•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求AD的长；
（2）求AF的长．
【分析】（1）根据勾股定理得到AB，根据线段中点的定义即可得到ADAB；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到BF＝AF，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB，
∵AB的中垂线DE交AB于点D，
∴ADAB；
（2）∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴BF＝AF，
∴CF＝BF﹣BC＝AF﹣1，
∵∠ACF＝90°，
∴CF2+AC2＝AF2，
∴（AF﹣1）2+22＝AF2，
∴AF，
故AF的长为．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
18．（真题•连云港期末）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．
（1）求AB的长；
（2）求△ACB的面积．
【分析】（1）根据三角形的面积公式计算，求出AB；
（2）根据勾股定理的逆定理求出∠C＝90°，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABE的面积为35，DE＝7，
∴AB×7＝35，
解得：AB＝10；
（2）在△ABC中，AB2＝102＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，
则AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，
∴S△ABCAC•BC6×8＝24，
答：△ACB的面积24．
【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，根据勾股定理的逆定理求出∠C＝90°是解题的关键．
19．（真题•宜兴市期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数；
（2）若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ACB，根据直角三角形的性质求出∠ACD，计算即可；
（2）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠ABC（180°﹣42°）＝69°，
在Rt△ADC中，∠A＝42°，
则∠ACD＝90°﹣42°＝48°，
∴∠DCB＝69°﹣48°＝21°；
（2）设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣1，
在Rt△ADC中，AC2＝CD2+AD2，即x2＝32+（x﹣1）2，
解得：x＝5，即AC＝5，
在Rt△ADC中，M为AC的中点，
则DMAC＝2.5，
答：DM的长为2.5．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．（真题•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．
（1）△ABC的面积是 150 ．
（2）求BC、AD的长．
【分析】（1）由直角三角形的面积公式直接求解即可；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，再利用三角形面积公式得出BC•AD＝150，然后即可求出AD．
【解答】解：（1）△ABC的面积是：•AB•AC150．
故答案是：150；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC25，
∵S△ABC＝150BC•AD，
∴300＝25AD，
∴AD＝12．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的灵活运用，解答此题的关键是三角形ABC的面积可以用AB•AC表示，也可以用BC•AD表示，从而得出AB•AC＝BC•AD，这是此题的突破点．
21．（真题•石狮市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理求出BC的长即可；
（2）连接AP，过点P作PE⊥AB于E，则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，证△AEP≌△ACP（AAS），得AE＝AC＝6cm，则BE＝AB﹣AE＝4（cm），再在Rt△BEP中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC8（cm）；
（2）存在，理由如下：
如图，当点P恰好运动到∠BAC平分线上时，点P到直线AB的距离与点P到点C的距离相等，
由已知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，
连接AP，过点P作PE⊥AB于E，如图所示：
则PE＝PC＝（8﹣2t）cm，
在△AEP与△ACP中，
，
∴△AEP≌△ACP（AAS），
∴AE＝AC＝6cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），
在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，
即（2t）2＝42+（8﹣2t）2，
解得：t，
即当t的值为时，点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等．
【点评】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
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