苏教版八年级数学暑假第06讲等边三角形的性质与判定练习(学生版+解析)

这是一份苏教版八年级数学暑假第06讲等边三角形的性质与判定练习(学生版+解析)，共34页。

1.了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
【基础知识】
一．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
二．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
三．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
【考点剖析】
一．等边三角形的性质（共5小题）
1．（真题•濮阳期末）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（ ）
A．80°B．70°C．45°D．30°
2．（2022春•江都区月考）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（ ）
A．8B．9C．12D．15
3．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
4．（真题•无锡期末）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为 ．
5．（真题•宝应县期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，DE∥BC，DE交AB于点E．
（1）判断△ADE的形状，并说明理由．
（2）判断AE与AB的数量关系，并说明理由．
二．等边三角形的判定（共4小题）
6．（真题•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰非等边三角形D．钝角三角形
7．（真题•渑池县期末）下列对△ABC的判断，错误的是（ ）
A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°
C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形
D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形
8．（2017秋•兴化市期中）有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．
9．（2019秋•鼓楼区校级期中）如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．求证：△ADE为等边三角形．
三．等边三角形的判定与性质（共3小题）
10．（真题•淮安区期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝ cm．
11．（真题•河北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）求证：DC＝CF．
12．（真题•龙口市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（真题•梁溪区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝12，BD＝7，则△ADE的周长为（ ）
A．5B．36C．21D．15
2．（真题•鼓楼区月考）在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（ ）
A．点E在AB的垂直平分线上
B．点E到AB、BC、AC的距离相等
C．点E是AD的中点
D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C
3．（真题•鼓楼区期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（真题•东台市期中）一边上的中线等于这边的一半，此三角形一定是（ ）
A．等边三角形
B．有一角为钝角的等腰三角形
C．直角三角形
D．顶角是36°的等腰三角形
5．（真题•罗湖区校级期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④
二．填空题（共3小题）
6．（真题•淅川县期末）如图，两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC＝4，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于 ．
7．（真题•韩城市期中）在△ABC中，∠A＝∠B＝60°，AB＝3，则BC等于 ．
8．（真题•饶平县校级期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点
O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为 ．（填序号）
三．解答题（共6小题）
9．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
10．（2018秋•盱眙县期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．
（1）求证：∠C＝∠CDE．
（2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
11．（真题•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
12．（真题•黄陂区期中）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
13．（2019秋•桐城市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
14．（2019秋•滨海县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC中点．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
第06讲 等边三角形的性质与判定
【学习目标】
1.了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
【基础知识】
一．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
二．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
三．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
【考点剖析】
一．等边三角形的性质（共5小题）
1．（真题•濮阳期末）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（ ）
A．80°B．70°C．45°D．30°
【分析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个60°的角即可．
【解答】解：∵3×180°＝540°，3×60°＝180°，
∴540°﹣180°﹣180°＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°，
∵∠1+∠2＝100°，
∴∠3＝80°，
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键．
2．（2022春•江都区月考）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（ ）
A．8B．9C．12D．15
【分析】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可求解此题．
【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，
∴△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又∵△ABC的周长为24，
∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC24＝8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，应熟练掌握，解题的关键是得到△PFG，△PDH是等边三角形．
3．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】连接CN，根据等边三角形的性质可得∠MCN＝90°，设AC＝2m，则BC＝4﹣2m，根据勾股定理，可得MN，根据二次函数的性质可求MN的最小值．
【解答】解：连接CN，如图所示：
∵△ACD和△BCE为等边三角形，
∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∵N是BE的中点，
∴CN⊥BE，∠ECN＝30°，
∴∠DCN＝90°，
设AC＝2m，则CM＝m，
∵AB＝4，
∴BC＝4﹣2m，
∴BN＝2﹣m，
根据勾股定理，得CN（2﹣m），
在△MCN中，根据勾股定理，
得MN，
当m时，MN取得最小值，
故答案选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，涉及勾股定理，二次函数求最值等，熟练掌握等边三角形的性质以及添加辅助线将MN构造到直角三角形里是解题的关键．
4．（真题•无锡期末）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为 50° ．
【分析】由等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝60°，由等腰三角形的性质可求∠ABD＝140°，可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝20°，
∴∠ABD＝140°，
∴∠CBD＝80°，
又∵BC＝BD，
∴∠BCD＝50°＝∠BDC，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
5．（真题•宝应县期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，DE∥BC，DE交AB于点E．
（1）判断△ADE的形状，并说明理由．
（2）判断AE与AB的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，由DE∥BC得出∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，进而得出∠A＝∠AED＝∠ADE，即可证明△ADE是等边三角形；
（2）由（1）可知AE＝DE，由平行线性质、角平分线的性质可得出∠EDB＝∠ABD，进而得出AE＝DE＝EB，即可证明结论．
【解答】解：（1）△ADE是等边三角形，
理由：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠A＝∠AED＝∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）AEAB，
理由：∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴EB＝ED，
∴AE＝DE＝EB，
∴AEAB．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质是解决问题的关键．
二．等边三角形的判定（共4小题）
6．（真题•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰非等边三角形D．钝角三角形
【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，进而可得出a＝b＝c，再结合a，b，c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形．
【解答】解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c．
又∵a，b，c是三角形的三边长，
∴这个三角形是等边三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方及绝对值的非负性，牢记三条边都相等的三角形是等边三角形是解题的关键．
7．（真题•渑池县期末）下列对△ABC的判断，错误的是（ ）
A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°
C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形
D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形
【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断．
【解答】解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
所以△ABC是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；
B．若AB＝BC，∠C＝50°，
则∠A＝∠C＝50°，∠B＝100°，故此选项错误，符合题意；
C．若AB＝BC，∠A＝60°，则∠A＝∠C＝60°，∠B＝60°，
所以△ABC是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；
D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则∠B＝80°，∠C＝∠B＝80°，
所以△ABC是等腰三角形，故此选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的判定以及等边三角形的判定．根据已知条件解出三角形中的角是解题的关键．
8．（2017秋•兴化市期中）有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
【分析】根据等腰三角形的性质可知，等腰三角形的两个底角相等，如果这个60度的角是底角，则另一个底角也是60度，三角形内角和是180度，所以第三个角也是180﹣60﹣60＝60度，即三个角相等，即为等边三角形．
【解答】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
故答案为：60°．
【点评】此题考查等边三角形的判定，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答．
9．（2019秋•鼓楼区校级期中）如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．求证：△ADE为等边三角形．
【分析】先判定△ABD≌△DCE（ASA），即可得到AD＝ED，再根据∠ADE＝60°，即可得出△ADE是等边三角形．
【解答】证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°+∠CDE，
∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝∠CDE，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴AD＝ED，
又∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
三．等边三角形的判定与性质（共3小题）
10．（真题•淮安区期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝ 5 cm．
【分析】先判定△ABC是等边三角形，再根据BC的长，即可得出AC的长．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC＝5cm，
∴AC＝5cm，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，有一个角等于60°的等腰三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
11．（真题•河北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）求证：DC＝CF．
【分析】（1）利用平行线的性质求出∠EDC，再利用三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）想办法证明EC＝CD，EC＝CF即可解决问题．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣60°＝30°．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（真题•龙口市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；
（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．
【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，
理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，
∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，
∴AE＝CE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝4，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（真题•梁溪区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝12，BD＝7，则△ADE的周长为（ ）
A．5B．36C．21D．15
【分析】利用平行线和等边三角形的性质，证明△ADE是等边三角形即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵AB＝12，BD＝7，
∴AD＝5，
∴C△ADE＝5×3＝15，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明△ADE是等边三角形是解题的关键．
2．（真题•鼓楼区月考）在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（ ）
A．点E在AB的垂直平分线上
B．点E到AB、BC、AC的距离相等
C．点E是AD的中点
D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C
【分析】由等边三角形的性质可得E是AB，BC，AC的垂直平分线的交点，也是∠ABC，∠BAC，∠ACB的交点，即可求解．
【解答】解：在等边三角形ABC中，AD是高，BE平分∠ABC，
∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，
∴点E是AB，BC，AC的垂直平分线的交点，也是∠ABC，∠BAC，∠ACB的交点，
∴故选项A，B，D不合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
3．（真题•鼓楼区期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】方案A中求出两边之和得到铺设通讯电缆的长度；方案C中，如图1，AD⊥BC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理表示出AD，由AD+BC表示出铺设通讯电缆的长度；由垂线段最短得方案B中光缆比方案C中长；方案D中，O为三角形三条高的交点，根据方案2求出的高AD，求出AO的长，由OA+OB+OC表示出铺设通讯电缆的长度，比较大小即可．
【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，
A、铺设的电缆长为a+a＝2a；
C、如图1：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∴BD＝DCBCa，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD，
则铺设的电缆长为aaa；
B、由垂线段最短得：方案B中光缆比方案C中长；
D、如图2所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，
∴设DO＝x，则BO＝2x，BD，
故x2+（ ）2＝（2x）2，
解得：xa，
则BOa，
则铺设的电缆长为AO+OB+OC＝3aa，
∵aa＜2a，
∴方案D中光缆最短；
故选：D．
【点评】此题考查了等边三角形的性质、作图﹣应用与设计作图、垂线段最短以及勾股定理等知识，是一道方案型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
4．（真题•东台市期中）一边上的中线等于这边的一半，此三角形一定是（ ）
A．等边三角形
B．有一角为钝角的等腰三角形
C．直角三角形
D．顶角是36°的等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠1，∠2＝∠B，根据三角形的内角和定理得出∠2+∠B+∠A+∠1＝180°，代入即可求出∠1+∠2＝90°，即可推出答案．
【解答】解：如图：∵AD＝CD＝BD，
∴∠A＝∠1．∠2＝∠B．
∵∠2+∠B+∠A+∠1＝180°，
即2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
即：∠ACB＝90°，
故选：C．
【点评】此题考查的是等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用．
5．（真题•罗湖区校级期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④
【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP．
【解答】解：①如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD∠BAC120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；
故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PE，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；
故④正确；
本题正确的结论有：①③④
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
二．填空题（共3小题）
6．（真题•淅川县期末）如图，两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC＝4，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于 2 ．
【分析】连接AA'，由旋转的性质可得CM＝C'M＝2，AM＝A'M＝2，可证△AMA'是等边三角形，即可求AA'的长．
【解答】解：如图，连接AA'，
∵点M是AC中点，
∴AM＝CMAC＝2，
∵旋转，
∴CM＝C'M，AM＝A'M
∴A'M＝MC＝AM＝2，
∴∠C'A'B'＝∠A'CM＝30°
∴∠AMA'＝∠C'A'B'+∠MCA'＝60°，且AM＝A'M
∴△AMA'是等边三角形
∴A'A＝AM＝2
故答案为：2
【点评】本题考查了等边三角形的判定，旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
7．（真题•韩城市期中）在△ABC中，∠A＝∠B＝60°，AB＝3，则BC等于 3 ．
【分析】先判定三角形ABC是等边三角形，进而利用等边三角形的性质得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝∠B＝60°，
∴∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
又∵AB＝3，
∴BC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
8．（真题•饶平县校级期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点
O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为 ①②③④ ．（填序号）
【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB＝OC＝OP，即可解题；
②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC＝2∠ABD＝60°，即可解题；
③在AC上截取AE＝PA，易证△OPA≌△CPE，可得AO＝CE，即可解题；
④作CH⊥BP，可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．
【解答】解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB＝AC，BD＝CD，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；
②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，
△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，
∴∠POC＝2∠ABD＝60°，
∵PO＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故③正确；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，
∴∠PCH＝∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD＝S△CHP
∴CH＝CD，
∵CD＝BD，
∴BD＝CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD＝S△AHC，
∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD
∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
三．解答题（共6小题）
9．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【分析】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．
（2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．
【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
【点评】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用平行线的性质、等边三角形的性质来分析、判断、解答．
10．（2018秋•盱眙县期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．
（1）求证：∠C＝∠CDE．
（2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出即可；
（2）利用等边三角形的判定方法，结合△DEC是等腰三角形求出即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠B，
∴∠C＝∠CDE；
（2）△DEC是等边三角形，
理由：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝60°，
由（1），△DEC是等腰三角形，
∴△DEC是等边三角形．
【点评】此题主要考查了等腰三角形性质和判定以及平行线的性质，得出△DEC是等腰三角形是解题关键．
11．（真题•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和是180°，可以求得∠CAE的度数；
（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定，可以得到结论成立．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，AECE，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为EC的中点，
∴ADCE＝DE，
∴AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（真题•黄陂区期中）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．
（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．
【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，AD＝AE．
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE．
（2）∵AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝60°．
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA．
∴∠DAB∠ADE＝30°．
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
13．（2019秋•桐城市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【分析】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．
14．（2019秋•滨海县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC中点．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝30°，∠BAE＝∠B＝30°，即可得出结果；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得出ADEC＝ED＝DC，得出∠DAC＝∠C＝30°，因此∠EAD＝60°，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B（180°﹣120°）＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠CAE＝120°﹣30°＝90°；
（2）证明：∵∠CAE＝90°，D是EC的中点，
∴ADEC＝ED＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟记各性质并准确识图是解题的关键．