苏教版八年级数学暑假第07讲含30度直角三角形与斜边上的中线练习(学生版+解析)

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重难点：含30度角的直角三角形的性质定理和直角三角形斜边上中线的发现与证明
【基础知识】
一．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
二．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【考点剖析】
一．选择题（共5小题）
1．（真题•云浮期末）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
2．（真题•兴化市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，若CD＝4，那么AB的长是（ ）
A．4B．8C．12D．24
3．（真题•宁德期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（ ）
A．12B．6C．4D．3
4．（真题•江岸区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若ADCD．则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（真题•丹阳市期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝70°，点E是AC的中点．则∠EBD的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．55°
二．填空题（共5小题）
6．（真题•滨海县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，则CD的长是 ．
7．（2022春•济源期中）直角三角形的两边长为5、12，则斜边上的中线长为 ．
8．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝6，则CD＝ ．
9．（真题•海门市期末）等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为 cm．
10．（真题•海门市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为 cm．
三．解答题（共5小题）
11．（真题•丹阳市期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长．
12．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AC＝CD＝1，求直角边BC的长．
13．（真题•东台市月考）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若BC＝10，MN＝6，求DE．
14．（真题•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，且交AC于点D，DE垂直平分AB于点E，DE＝3cm．求线段AC的长．
15．（真题•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．
【过关检测】
一．选择题（共9小题）
1．（真题•博兴县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定B．C．1D．2
2．（真题•如皋市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
3．（真题•崇川区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝2，则CE的长为（ ）
A．B．2C．D．3
4．（2021•苏州模拟）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2021•苏州模拟）如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
6．（真题•信都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（ ）
A．80°B．100°
C．130°D．发生变化，无法确定
7．（真题•安陆市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（ ）
A．12B．9C．6D．3
8．（真题•南平期末）四边形ABCD中，△ACD是边长为6的等边三角形，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，则对角线BD的长的取值范围是（ ）
A．3＜BD≤3+3B．3＜BD＜6C．6＜BD≤3+3D．3＜BD≤3
9．（真题•姜堰区期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．1.8kmB．3.6kmC．3kmD．2km
二．填空题（共5小题）
10．（2022•盐城一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BE＝4，则AC＝ ．
11．（2022春•大丰区校级月考）一副三角板按如图所示的位置摆放，△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC斜边AC的中点M，BE交AC于点F，则∠BFM＝ °．
12．（真题•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，则AB＝ ．
13．（真题•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝ ．
14．（2022•邳州市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为 ．
三．解答题（共6小题）
15．（真题•溧水区期末）在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．
16．（真题•京口区校级期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．
17．（真题•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
18．（真题•淮安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．
19．（真题•天宁区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点．
（1）∠OAC和∠OCA相等吗？请说明理由；
（2）若P为AC中点，试判断OP与AC的关系．
20．（真题•姑苏区校级期中）已知在△ABC中，∠B＝60°，AD＝14，CD＝12，S△ADC＝30，求BD的长．
第07讲 含30度直角三角形与斜边上的中线
【学习目标】
重难点：含30度角的直角三角形的性质定理和直角三角形斜边上中线的发现与证明
【基础知识】
一．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
二．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
【考点剖析】
一．选择题（共5小题）
1．（真题•云浮期末）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2＝4cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
2．（真题•兴化市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，若CD＝4，那么AB的长是（ ）
A．4B．8C．12D．24
【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质计算即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，CD＝4，
∴AB＝2CD＝2×4＝8，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
3．（真题•宁德期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（ ）
A．12B．6C．4D．3
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，
则CDAB12＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
4．（真题•江岸区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若ADCD．则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设AC＝1，根据含30°直角三角形的性质和勾股定理求出AB，BC，根据ADCD，得到AD，CD，过点D作DH⊥AB于H点，求出AH，DH，根据△DEF是等边三角形，证明△DCF≌△EHD，得到CF，HE，故可求出BF，BE，AE，从而求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，设AC＝1，则AB＝2AC＝2，
∴BC，
∵ADCD，AD+CD＝1，
∴AD，CD，
过点D作DH⊥AB于H点，
∴∠ADH＝90°﹣∠A＝30°，
∴AHAD，DH，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF＝DE，∠C＝∠DHE＝90°，∠FDE＝60°，
∴∠CFD+∠CDF＝∠CDF+∠HDE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴∠CFD＝∠HDE，
∵∠FCD＝∠DHE＝90°，DF＝ED，
∴△DCF≌△EHD（AAS），
∴CF＝DH，HE＝CD，
∴BF，
BE＝2，
AE，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形与等边三角形综合，含30°直角三角形的性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
5．（真题•丹阳市期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝70°，点E是AC的中点．则∠EBD的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．55°
【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB＝140°，根据直角三角形的性质得到DE＝BEAC，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD＝70°，
∴∠DEB＝2∠BAD＝140°，
∵DE＝BEAC，
∴∠EBD＝∠EDB20°，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，推出A，B，C，D四点共圆是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（真题•滨海县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，则CD的长是 3 ．
【分析】根据直角三角形斜边中线是斜边一半得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，D为AB的中点，
∴CDAB＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线是斜边一半定理的应用，掌握边的数量关系．
7．（2022春•济源期中）直角三角形的两边长为5、12，则斜边上的中线长为 6.5或6 ．
【分析】由勾股定理可求解直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．
【解答】解：若5，12均为直角三角形的直角边，
由勾股定理可得：
直角三角形斜边长为，
∴斜边上的中线为6.5；
若12为直角三角形的斜边，
∴斜边上的中线为6，
故答案为6.5或6．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
8．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝6，则CD＝ 3 ．
【分析】在Rt△ABC中，利用斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，
∴CDAB6＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，牢记“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．
9．（真题•海门市期末）等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为 15 cm．
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC＝30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．
【解答】解：如图，AB＝AC＝30cm，∠B＝15°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，
∴CDAB＝15cm．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质以及含30°角的直角三角形，解题的关键是运用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半求解线段长．
10．（真题•海门市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为 6 cm．
【分析】过E点作EF⊥AB于点F，由含30度角的直角三角形的性质可求BC＝6cm，结合等边三角形的性质通过证明△EBF≌△DBC可得EF＝DC，由等腰直角三角形的性质可求解CD的长，进而可求解．
【解答】解：过E点作EF⊥AB于点F，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，
∴BCAB＝6cm，∠ABC＝60°，
∵△BDE为等边三角形，
∴BE＝BD，∠EBD＝60°，
∴∠EBD＝∠ABC＝60°，
∵∠EBF＝∠EBD﹣∠ABD，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBC，
在△EBF和△DBC中，
，
∴△EBF≌△DBC（AAS），
∴EF＝CD，
∵∠CBD＝45°，∠C＝90°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BC＝6cm，
∴EF＝6cm，
即点E到AB边的距离为6cm．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识的综合运用，证明EF＝CD是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（真题•丹阳市期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长．
【分析】（1）求出∠BAC＝110°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，可求出答案；
（2）连接OA，OB，OC，根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；
（2）连接OA，OB，OC，
∵△ADE的周长11cm
∴AD+DE+EA＝11（cm），
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝11（cm）；
∵△OBC的周长为27cm，
∴OB+OC+BC＝27（cm），
∵BC＝11cm，
∴OB+OC＝16（cm），
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝8（cm）．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AC＝CD＝1，求直角边BC的长．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝2，
由勾股定理得，BC，
故直角边BC的长为．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13．（真题•东台市月考）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若BC＝10，MN＝6，求DE．
【分析】（1）连接DM，DN．根据直角三角形的中线得到DM＝DN，根据等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接DM，DN．
∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴DMBC，DNBC，
∴DM＝DN，
∵E为MN的中点，
∴DE⊥MN；
（2）解：∵BC＝10，
∴DM＝5，
∵点E是MN的中点，MN＝6，
∴ME＝4，
由勾股定理得：DE4．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14．（真题•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，且交AC于点D，DE垂直平分AB于点E，DE＝3cm．求线段AC的长．
【分析】由角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，利用线段垂直平分线的性质可得∠A＝∠ABD，结合直角三角形的性质可求得∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，再根据含30° 角的直角三角形的性质可求解AD，CD的长，进而可求解AC的长度．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵DE＝3cm，
∴BD＝AD＝2DE＝6cm，
∴CDBD＝3cm，
∴AC＝AD+CD＝6+3＝9cm．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，运用含30°角的性质求解线段的长是解题的关键．
15．（真题•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．
【分析】FG⊥DE，连接GD、GE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GDBC＝GE，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论．
【解答】（1）证明：连接EF，
∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴△BCD，△BCE为直角三角形，
∵F是BC的中点，
∴EF＝DF＝BF＝CFBC，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵EF＝DF＝BF＝CFBC，
∴∠BEF＝∠ABC，∠CDF＝∠ACB，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴BC＝2DE＝4．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用．
【过关检测】
一．选择题（共9小题）
1．（真题•博兴县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定B．C．1D．2
【分析】利用三角形的面积公式求出GC，再根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠CBG＝∠ABG＝30°，
∴CGBG，
∴点G到AB的距离等于GC，
∴GP的最小值为，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
2．（真题•如皋市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出DE＝ECCD＝2．由含30度角的直角三角形的性质求出BEAB＝3，那么BD＝BE﹣DE＝1．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
又∵AD＝AC，CD＝4，
∴DE＝ECCD＝2．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BEAB6＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出BE与DE是解题的关键．
3．（真题•崇川区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝2，则CE的长为（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】由角平分线的性质推出∠CBD＝∠DBA＝30°，然后在Rt△BCD中，CEBD，即可求出CE的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∵BC＝2，
∴CD＝2
∴BD＝2CD＝4，
∵E点是BD的中点，
∴CEBD＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
4．（2021•苏州模拟）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．
【解答】解：作PH⊥MN于H，
∵PM＝PN，
∴MH＝NHMN＝1，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OHOP＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝4，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
5．（2021•苏州模拟）如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【分析】首先过点P作PD⊥CB于点D，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，再利用等腰三角形的性质求出CM的长．
【解答】解：过点P作PD⊥CB于点D，
∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，
∴DC＝6，
∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1.5，
∴CM＝6﹣1.5＝4.5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长以及等腰三角形的性质，得出CD的长是解题关键．
6．（真题•信都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（ ）
A．80°B．100°
C．130°D．发生变化，无法确定
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MC＝MB＝ME，MF＝MB＝ME，得到MB＝MC＝ME＝MF，证明结论，于是得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点M为线段BE的中点，
∴MC＝BF，即MC＝MB＝ME，
∵EF⊥AB，点M为线段BE的中点，
∴MF＝BF，即MF＝MB＝ME，
∴MB＝MC＝ME＝MF，
∴点B、C、E、F在以点M为圆心的同一个圆上；
∴∠CMF＝2∠CBA＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7．（真题•安陆市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（ ）
A．12B．9C．6D．3
【分析】根据三角形的内角和求出∠A，根据余角的定义求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝3，
∴AC＝2AD＝6，
∴AB＝2AC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC＝2AD，AB＝2AC．
8．（真题•南平期末）四边形ABCD中，△ACD是边长为6的等边三角形，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，则对角线BD的长的取值范围是（ ）
A．3＜BD≤3+3B．3＜BD＜6C．6＜BD≤3+3D．3＜BD≤3
【分析】由△ABC是以AC为斜边的直角三角形可知点B在以AC为直径的圆上，然后结合点到圆上点的距离求出对角线BD长度的取值范围．
【解答】解：∵△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴点B在以AC为直径的圆上，
如图中⊙O，连接OD并延长，交⊙O于点E和点B，
∴当点B在图中B点时，对角线BD最长，当点B靠近点A或点C时，对角线BD变短，
∵等边△ACD的边长为6，
∴AC＝BE＝6，OB＝OE＝OA＝OC＝3，OD⊥AC，
∴∠COD＝90°，
∴OD3，
∴BD＝OD+OB＝33，
∴对角线BD的长度的取值范围为6＜BD≤33，
故选：C．
【点评】本题考查了“90°角所对的弦是圆的直径”、等边三角的性质、点到圆上任意点的距离和勾股定理，发现点B在以AC为直径的圆上是本题的突破点．
9．（真题•姜堰区期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．1.8kmB．3.6kmC．3kmD．2km
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵M点是AB的中点，AB＝3.6km，
∴CMAB＝1.8km．
故选：A．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
10．（2022•盐城一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BE＝4，则AC＝ 6 ．
【分析】由直角三角形的性质得出AB＝10，由三角形中位线定理得出BC＝2BE＝8，由勾股定理求出AC＝6．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∵点D是AB的中点，
∴E是BC的中点，AB＝2CD＝10，
∴BC＝2BE＝8，
∴AC6，
故答案为6．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
11．（2022春•大丰区校级月考）一副三角板按如图所示的位置摆放，△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC斜边AC的中点M，BE交AC于点F，则∠BFM＝ 75 °．
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可得BM＝CM，可求得∠MBC＝30°，进而可求解∠EBC＝75°，再利用三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵M是Rt△ABC中斜边AC的中点，
∴BM＝CM，
∴∠MBC＝∠C＝30°，
∵∠DBE＝∠DEB＝45°，
∴∠EBC＝∠EBD+∠MBC＝75°，
∵∠BFC+∠FBC+∠C＝180°，
∴∠BFC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，三角形的内角和定理，求解∠EBC的度数是解题的关键．
12．（真题•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，则AB＝ 12 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，
∴AB＝2CD＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
13．（真题•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝ 4 ．
【分析】连接AM、AN，由等腰三角形的性质得∠B＝∠C＝30°，再由线段垂直平分线的性质得BM＝AM，CN＝AN，然后由等腰三角形的在得∠MAB＝∠B＝30°，∠NAC＝∠C＝30°，证△AMN是等边三角形，得MN＝AM＝AN，则MN＝BM＝CN，即可求解．
【解答】解：连接AM、AN，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°，
∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，
∴BM＝AM，CN＝AN，
∴∠MAB＝∠B＝30°，∠NAC＝∠C＝30°，
∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN＝AM＝AN，
∴MN＝BM＝CN，
∴MNBC＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明△AMN为等边三角形是解题的关键．
14．（2022•邳州市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为 ．
【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ACB＝∠A＝30°，再证明△BCD为等边三角形，可求得∠ACD＝90°，利用含30°角的直角三角形的性质可得AD＝2CD，再利用勾股定理可求解CD的长．
【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠A+∠ACB＝60°，
∵BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠D＝∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝2CD，
∵AC2+CD2＝AD2，AC＝2，
∴22+CD2＝（2CD）2，
解得CD．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，求解∠ACD＝90°，∠A＝30°是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．（真题•溧水区期末）在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．
【分析】关键是根据三角形内角和解答即可．
【解答】已知：在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，且CDAB，
求证：△ABC为直角三角形，
证明：由条件可知，AD＝BD＝CD，
则∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB，
又∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB＝180°，
∴∠DCA+∠DCB＝90°．
【点评】此题考查直角三角形的性质，根据是根据三角形的内角和解答．
16．（真题•京口区校级期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝MCBC，MF＝MBBC，然后根据根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等边对等角求出∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根据三角形的内角和定理求出∠BMF，∠EMC，然后利用平角等于180°列式计算得出∠EMF．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，
∴MEBC，
同理MFBC，
∴EM＝FM，
∴△MEF是等腰三角形；
（2）解：∵MF＝MB，
∴∠ABC＝∠MFB＝50°，
同理∠ACB＝∠MEC＝60°，
∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∠EMC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记性质并求出EM、MF与BC的关系是解题的关键．
17．（真题•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A＝∠C＝30°，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，求出∠DBA＝30°，再求出答案即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出BDCD，求出ADAC，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴BD⊥BC；
（2）解：∵∠DBC＝90°，∠C＝30°，
∴BDCD，
∵AD＝BD，
∴ADCDAC，
∵AC＝12，
∴AD＝4，
∴BD＝AC＝4．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
18．（真题•淮安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．
【分析】根据CD、CE三等分∠ACB，求得∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BDAB，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD＝30°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，
∵CD是AB边的中线，
∴AD＝CD＝BDAB，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∵CE是BD边的中线，DE＝2，
∴BD＝2DE＝4，
∴AB＝8，
∴BCAB＝4，
∴AC4，
故AC的长为4．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
19．（真题•天宁区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点．
（1）∠OAC和∠OCA相等吗？请说明理由；
（2）若P为AC中点，试判断OP与AC的关系．
【分析】（1）先根据O是BD的中点可知，OA．OC分别是Rt△ABD与Rt△BCD的中线，可知OA＝OC，再根据等边对等角即可求出∠OAC＝∠OCA；
（2）根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∠OAC＝∠OCA，
理由：∵△ABD是直角三角形，O为BD的中点，
∴OABD，
∵△BDC是直角三角形，O为BD的中点，
∴OCBD，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA；
（2）OP⊥AC，
理由：由（1）知AO＝OC，
∵P为AC中点，
∴OP⊥AC．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
20．（真题•姑苏区校级期中）已知在△ABC中，∠B＝60°，AD＝14，CD＝12，S△ADC＝30，求BD的长．
【分析】作AE⊥BD于E，则∠AEB＝∠AED＝90°，由三角形的面积求出AE＝5，由勾股定理求出DE11，再由三角函数求出BE，即可得出BD的长．
【解答】解：作AE⊥BD于E，如图所示：
则∠AEB＝∠AED＝90°，
∵S△ADCCD×AE＝30，
∴12×AE＝30，
∴AE＝5，
∴DE11，
∵∠B＝60°，
∴BEAE55，
∴BD＝BE+DE＝5+11＝16．
【点评】本题考查了勾股定理、三角函数、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．