2023年新八年级数学北师大版暑假自学预习——第01讲 勾股定理

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第01讲 勾股定理
学习目标
1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法；
会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系；
3.能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。


知识点 1 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.




注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3） 理解勾股定理的一些变式：
，， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为的线段
知识点2 勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
　　　 图（1）中，所以.
　　　　　




　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
　　图（2）中，所以.
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
　　　　　
　　　　 ，所以.


考点一：一直直角三角形的两边，求第三边长
例1．（2022八下·灌阳期末）在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：在直角三角形中，若勾为6，股为8，
则弦为62+82=10.
故答案为：D.
【变式1-1】（2022八下·福州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，b＝8，则c的值是（　　）
A．10 B．2 34 C．2 7 D．4.8
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，
由勾股定理得：c＝ a2+b2=62+82 ＝10.
故答案为：A.
【变式1-2】（2022八下·兴仁月考）在一个直角三角形中，斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，则另一条直角边的长为（　　）
A．234 B．12 C．9 D．8
【答案】D
【解答】解：在直角三角形中，
∵斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，
∴另一条直角边的长为：102−62=8.
故答案为：D.
【变式1-3】（2022秋•雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（　　）
A．13 B．119 C．169 D．119或169
【答案】D
【解答】解：当m为直角边时，m2＝122﹣52＝119；
当m为斜边时，m2＝52+122＝169．
故选：D．
考点二：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题
例2.（2022秋•南关区校级期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（　　）

A．7 B．5 C．25 D．1
【答案】A
【解答】解：∵正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，
∴正方形C的面积＝3+4＝7．
故选：A．
【变式2-1】（2022秋•浑南区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3的值为（　　）

A．13 B．17 C．7 D．169
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
则AC2+BC2＝AB2，
∴S1+S2＝S3，
∵S1＝5，S2＝12，
∴S3＝5+12＝17．
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•兴庆区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（　　）

A．18 B．48 C．65 D．72
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝AC2﹣BC2＝82﹣42＝48，
∴正方形ABDE的面积为48，
故选：B．
【变式2-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 　 cm2．

【答案】256　
【解答】解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
S正方形2+S正方形3＝S正方形1，
S正方形C+S正方形D＝S正方形3，
S正方形A+S正方形B＝S正方形2，
∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝162＝256（cm2）．
故答案为：256．
考点三：等面积法求直接斜边上的高问题
例3.（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　）

A．6 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，
解得，CD＝，
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•杭州期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　）
A．6 B．8 C．13 D．
【答案】D
【解答】解：根据勾股定理可得：斜边长2＝52+122，
则斜边长＝13，
直角三角形面积S＝×5×12＝×13×斜边的高，
解得：斜边的高＝；
故选：D．
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）AD的长．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝＝＝25，
∵CD⊥AB，
∴S，
∴CD＝＝12；
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，
BD＝＝＝9，
AD＝25﹣9＝16．
考点四：作无理数的线段
例4.（2022八上·兴平期中）如图，△ABC是直角三角形，点C在数轴上对应的数为−2，目AC=3，AB=1，若以点C为圆心，CB为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（　　）

A．0.4 B．10−2 C．10−3 D．5−1
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB=1，AC=3，OA=1
∴BC=CM=12+32=10，
∵AC=1-（-2）=3，
∴A，M之间的距离为10−3.
故答案为：C
【变式4-1】（2022八上·历城期中）如图，点A表示的数为x，则x=（　　）

A．2−1 B．-1 C．1−2 D．−2
【答案】D
【解答】解：根据题意得，如图所示，

∵Rt△BCD是等腰直角三角形，且BC=BD=1，
∴CD=BC2+BD2=12+12=2，
又∵弧AD是以CD长为半径的圆的一部分，
∴CA=CD=2，
∵是在数轴上原点的坐标，
∴点A表示的数是−2，即x=−2，
故答案为：D．
【变式4-2】（2022八上·薛城期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（　　）

A．13 B．3 C．5−2 D．2−3
【答案】D
【解答】解：如图所示：

∵AD=AB=2，
∴DE=22−12=3，
∴CD=2−3；
故答案为：D．
【变式4-3】（2022八上·埇桥期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（　　）

A．−5 B．﹣1−5 C．1−5 D．﹣1+5
【答案】B
【解答】解：∵BD=22+12=5，
∴BA=5，
∴a＝﹣1−5，
故答案为：B．
考点五：勾股定理的证明
例5.勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．

【解答】证明：方法一：由（1）图可知：S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，
又∵S正方形ABCD＝，
∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，
方法二：由（2）图可知：S正方形ABCD＝c2，
又∵S正方形ABCD＝＝2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，
方法三：由（3）图可知：S梯形ABCD＝＝+ab，
又∵s梯形ABCD＝，
∴，
∴a2+b2＝c2．
【变式5-1】（2022八上·历城期中）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，若AE=5，AB=13，则中间小正方形EFGH的面积是　 　．

【答案】49
【解答】解：根据题意得，在Rt△ABF中，AE=5，AB=13，且AE=BF=CG=DH=5，
∴AF=AB2−BF2=132−52=12，
又∵EF=FG=GH=GE=AF−AE，
∴EF=12−5=7，即小正方形EFGH的边长是7，
∴小正方形EFGH的面积为7×7=49，
故答案是：49．
【变式5-2】（2021秋•东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．

【解答】证明：∵两个全等的直角三角形如图摆放，
∴∠EBA＝∠CED，
∵∠EBA+∠BEA＝90°，
∴∠BEA+∠CED＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BCE是直角三角形，
用两种方法求梯形的面积：
S梯形ABCD＝2×ab+c2，
S梯形ABCD＝（a+b）2，
∴2×ab+c2＝（a+b）2，
化简得a2+b2＝c2．

1．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（　　）

A．120m B．60m C．60m D．120m
【答案】B
【解答】解：如图，

∵底部是边长为120m的正方形，
∴BC＝×120＝60m，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝120m，
∴AC＝＝m．
故选：B
2．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　　．

【答案】3
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，
即×6•CD+×10•CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案为：3．


3．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝　　．

【答案】1
【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，
又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，
∴1＝AC×PF+AB×PE，
即1＝×2×PF+×2×PE，
∴PE+PF＝1，
故答案为：1．

4．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝　　．

【答案】3
【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，
根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，
则AE＝x﹣1，
在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，
∴（x﹣1）2+x2＝52，
解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），
∴x﹣1＝3，
故答案为：3．
5．（2022•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝　 　；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝　 　，S△CDE＝　 　；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝　 　．

【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；
（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案为：，；
（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，
故答案为：．

1．（2022八上·大田期中）直角三角形的一条直角边长是8cm，另一条直角边比斜边短2cm，则斜边长为（　　）
A．12 cm B．15 cm C．17 cm D．20 cm
【答案】C
【解答】解：设直角三角形斜边为xcm，则另一条直角边为(x−2)cm，
根据勾股定理，得：82+(x−2)2=x2，
解得：x=17，
∴斜边长为17cm，
故答案为：C
2．（2023八上·渠县期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为﹣2，2，CB⊥AB于点B，且BC=2.连接AC，在AC上截取CD=BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　）

A．25−2 B．25−4 C．45−4 D．2−45
【答案】B
【解答】解：∵点A，B表示的数分别为﹣2，2，
∴AB=2−(−2)=4，
∵CB⊥AB于点B，且BC=2.
∴AC=AB2+BC2=42+22=25，
∵CD=BC=2，
∴AD=AC−CD=25−2，
∴AE=AD=25−2，
∴点E表示的实数是−2+25−2=25−4，
故答案为：B.
3．（2022八上·杏花岭期中）如图，作一个正方形，使其边长为单位长度，以表示数1的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）

A．−12 B．−13 C．1−3 D．1−2
【答案】D
【解答】解：由题意得：正方形对角线的长为12+12=2，
则点A表示的数为1−2，
故答案为：D．
4．（2021八上·侯马期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是9cm，则图中所有正方形的面积的和是（　　）

A．64cm2 B．81cm2 C．162cm2 D．243cm2
【答案】D
【解答】解：如图所示，根据勾股定理可知，
，
S正方形2+S正方形3=S正方形1=92=81
S正方形A+S正方形E=S正方形2，
S正方形C+S正方形D=S正方形3，
则S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E=S正方形1，
则S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E=3S正方形1=3×92=3×81=243(cm2)．故答案为：D.
5．（2022八上·泗县期中）若直角三角形的两条边长为a，b，且满足a−2+|b−3|=0，则该直角三角形的斜边长为 　 　．
【答案】2或7
【解答】解：∵a−2≥0，|b−3|≥0，
∴当a−2+|b−3|=0时，a−2=0且b−3=0，
∴a=2，b=3，
当a，b是两直角边长时，则该直角三角形的斜边长=a2+b2=22+(3)2=7；
由于a>b，当a是斜边长时，则该直角三角形的斜边长为2；
故答案为：2或7
6．（2022八上·大田期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2=49，②a−b=4，③2ab+4=49，④a+b=9.其中正确的是　 　.

【答案】①③
【解答】解∶由题意可得小正方形的边长=2，大正方形的边长=7，故可得a−b=2，即②错误；
a2+b2等于大正方形斜边的平方=大正方形的面积=49，即①正确；
小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得2ab+4=49，即③正确；
根据③可得2ab=45，故可得(a+b)2=a2+b2+45=94，从而可得a+b=94，即④错误.
综上可得①③正确，
故答案为∶①③
7．（2022八上·源城期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是　 　cm．
【答案】8
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，

∵AB=AC=10cm，BC=12cm，
∴BD=12BC=6cm，
∴AD=AB2−BD2=8cm．
故答案为：8．
8．（2022八上·代县期末）如图，△ABC是张大爷的一块小菜地，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC=5，CD=4，BC=3AD，求BD的长．（结果保留根号）

【答案】解：∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴△ACD和△BCD都是直角三角形.
在Rt△ACD中AC=5，CD=4，
∴AD=52−42=3，
∵BC=3AD，
∴BC=9，
在Rt△BCD中，
BD=92−42=65.
9.（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．

【解答】证明：如图，连接BF，

∵AC＝b，
∴正方形ACDE的面积为b2，
∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，
∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，
∵∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE＝90°，
∴△BAE为等腰直角三角形，
∴四边形ABDF的面积为：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2），
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
∴b2＝c2+（b2﹣a2），
∴b2＝c2+b2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2．
10．（2022八上·太原期中）阅读与应用：
下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．
2022年9月22日 天气：晴
无理数与线段长．今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．
回顾梳理：要在数轴上找到表示±2的点，关键是在数轴上构造线段OA=OA′=2．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A，A′，则点A对应的数为2，点A′对应的数为−2．类似地，我们可以在数轴上找到表示±5，±10，…的点．
拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段OB与OB′，其中O仍为原点，点B，B′分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB与OB′的长得到点B，B′所表示的无理数！
按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！

任务：
（1）“拓展思考”中，线段OB的长为　 　，OB′的长为　 　；点B表示的数为　 　，点B′表示的数为　 　．
（2）请从A，B两题中任选一题作答．我选择　 　题．
A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示±10的点M，N；
B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示2−10的点M．

【答案】（1）2+1；2−1；2+1；1−2
（2）解：选A题：因为10=9+1，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是10，然后以原点为圆心，以10为半径画弧，如图所示：选B题：∵2−10<0，∴点M在数轴的负半轴；10=9+1，以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是10，然后，以10为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求，如图所示：
【解析】【解答】解：（1）记表示的数为1的点（记作C）为圆心作弧，
∵圆的半径为2，即CB′=CB=2，
∴OB=CB+OC=2+1；OB′=CB′−OC=2−1；
又点B，B′分别在原点的右侧、左侧，
∴点B表示的数为2+1，点B′表示的数为1−2