八年级数学下册压轴题培优专题05 直角三角形斜边上的中线

这是一份八年级数学下册压轴题培优专题05 直角三角形斜边上的中线，共31页。
2022-2023学年苏科版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题05 直角三角形斜边上的中线
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得 分


一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•武城县期末）一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线和高分别为（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
2．（2分）（2022秋•北碚区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（　　）

A． B．16 C．8 D．
3．（2分）（2022春•安乡县期末）如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8cm，则DE的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
4．（2分）（2022春•闽侯县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，且BD＝，若Rt△ABC的面积为2，则它的周长为（　　）

A．+2 B．+4 C．2+4 D．2+2
5．（2分）（2022春•凤山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AC＝8，BC＝6，则△ADC的周长为（　　）

A．14 B．24 C．12 D．18
6．（2分）（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE＝，则∠ACD＝（　　）

A．15° B．30° C．22.5° D．45°
7．（2分）（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（　　）

A．12 B．12.5 C．15 D．24
8．（2分）（2020•汝阳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（　　）

A．2 B． C．1 D．
9．（2分）（2019春•嘉祥县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（　　）

A．8 B．7.5 C．7 D．6
10．（2分）（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（　　）

A．125° B．145° C．175° D．190°
评卷人
得 分


二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•南岗区校级期中）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∠BDE＝52°，则∠DEB的度数为 　 　．

12．（2分）（2022春•渝中区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝20°，点D为斜边BC的中点，连接AD，AE⊥BC于点E，则∠DAE为 　 　度．

13．（2分）（2022春•广安期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点．若∠B＝35°，则∠EPF的度数为 　 　．

14．（2分）（2022春•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E，F分别是BC，AC的中点，则DE的长为 　 　．

15．（2分）（2021春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为　 　．

16．（2分）（2021秋•诸暨市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝40°，则∠EPF＝　 　．

17．（2分）（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝　 　°．

18．（2分）（2020春•揭西县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为　 　．

19．（2分）（2019春•瑶海区期末）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为 　 　．

20．（2分）（2017春•武侯区校级月考）如图，∠MON＝90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为　 　．

评卷人
得 分


三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•汉滨区期中）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．





22．（6分）（2021春•抚顺期末）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN．




23．（6分）（2019春•房山区期中）如图，锐角△ABC中，AD，CE为两条高，F，G分别为AC，DE的中点，猜想FG与DE的位置关系并加以证明．

24．（6分）（2021春•新泰市期中）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点．EF⊥BD，垂足为F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若AC＝26，EF＝5，求BD的长．




25．（6分）（2020春•江岸区校级月考）在三角形△ABC中，D是BC边的中点，AD＝BC．
（1）△ABC的形状为　 　．
（2）如图，BM＝3，BC＝12，∠B＝45°，∠MAN＝45°，求CN；
（3）在（2）的条件下，AN＝　 　．










26．（6分）（2019春•城关区校级期中）小明在学完北师大数学八年级（下）第一章后，看到这样一道题目：“已知，如图
∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．小明思考片刻，找到了解决方法，他作了辅助线．聪明的你知道他作的辅助线是什么吗？怎么证明的？小明又突然想到，在边AD上能找一点P，使得PB＝PD，请你写出证明过程．





27．（6分）（2022•宜城市模拟）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．



28．（8分）（2022春•永丰县期中）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”
（1）请写出它的逆命题 　 　；
（2）应用：若学校有一块三角形的绿地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求绿地△ABC的面积？


29．（10分）（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．


答案与解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•武城县期末）一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线和高分别为（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
解：∵直角三角形的两条直角边分别为5和12，
∴斜边长＝＝13，
∴斜边上的中线＝，斜边上的高＝＝，
故选：C．
2．（2分）（2022秋•北碚区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（　　）

A． B．16 C．8 D．
解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，BD＝8，
∴AE＝CE＝BD＝4，
∴∠ABE＝∠BAE，∠CBE＝∠BCE，
∵∠AED＝∠ABE+∠BAE＝2∠ABE，∠CED＝∠CBE+∠BCE＝2∠CBE，
∴∠AEC＝2∠ABE+2∠CBE＝2∠ABC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴S△ACE＝AE•CE＝×4÷4＝8．
故选：C．
3．（2分）（2022春•安乡县期末）如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8cm，则DE的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
解：∵∠A＝30°，DC＝8cm，D是斜梁AB的中点，
∴CD＝AB，
∴AB＝2CD＝2×8＝16，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB＝8，
∵BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵点D是斜梁AB的中点，
∴DE＝BC＝×8＝4cm．
故选：B．
4．（2分）（2022春•闽侯县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，且BD＝，若Rt△ABC的面积为2，则它的周长为（　　）

A．+2 B．+4 C．2+4 D．2+2
解：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴AC＝2BD＝2，
∴AB2+BC2＝AC2＝8，
∵Rt△ABC的面积为2，
∴AB•BC＝2，
∴AB•BC＝4，
∴（AB+BC）2＝AB2+BC2+2AB•BC
＝8+8
＝16，
∴AB+BC＝4或AB+BC＝﹣4（舍去），
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝4+2，
故选：C．
5．（2分）（2022春•凤山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AC＝8，BC＝6，则△ADC的周长为（　　）

A．14 B．24 C．12 D．18
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝，
∵D是AB的中点，
∴AD＝CD＝AB＝5，
∴△ACD的周长为：AD+CD+AC＝5+5+8＝18．
故选：D．
6．（2分）（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE＝，则∠ACD＝（　　）

A．15° B．30° C．22.5° D．45°
解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE＝，
∴BC＝2DE＝2，
∵AB＝4，AC＝2，
∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC＝30°．
故选：B．
7．（2分）（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（　　）

A．12 B．12.5 C．15 D．24
解：
过M作ME⊥CD于E，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，
∴CM＝AB＝5，MD＝AB＝5，
∴CM＝DM，
∵ME⊥CD，CD＝6，
∴CE＝DE＝3，
由勾股定理得：EM＝＝＝4，
∴△MCD的面积为＝＝12，
故选：A．
8．（2分）（2020•汝阳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（　　）

A．2 B． C．1 D．
解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACD＝30°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，
∵AC2+BC2＝AB2，AC＝2，
∴（2）2+BC2＝（2BC）2，
解得：BC＝2（负数舍去），
∴AB＝2BC＝4，
∵AB＝4，D为AB的中点，
∴BD＝AD＝2＝BC，
∵BF⊥CD，
∴CF＝DF，
∵DE∥BC，D为AB的中点，
∴AE＝CE，
∴EF＝AD＝＝1，
故选：C．
9．（2分）（2019春•嘉祥县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（　　）

A．8 B．7.5 C．7 D．6
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点，
∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，
∵CD⊥AB，DE＝4，
∴CD＝＝3，
∴S△AEC＝S△BEC＝BE•CD＝3＝7.5，
故选：B．
10．（2分）（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（　　）

A．125° B．145° C．175° D．190°
解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF＝AC＝CF，
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE＝65°，
∴∠CED＝115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，
故选：C．

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•南岗区校级期中）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∠BDE＝52°，则∠DEB的度数为 　76°　．

解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，
∴DE＝AC，BE＝AC，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠DBE＝52°，
∴∠DEB＝180°﹣∠BDE﹣∠DBE＝76°，
故答案为：76°．
12．（2分）（2022春•渝中区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝20°，点D为斜边BC的中点，连接AD，AE⊥BC于点E，则∠DAE为 　50　度．

解：∵∠BAC＝90°，点D为斜边BC的中点，
∴AD＝CD＝BC，
∴∠C＝∠DAC＝20°，
∴∠ADE＝∠C+∠DAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝50°，
故答案为：50．
13．（2分）（2022春•广安期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点．若∠B＝35°，则∠EPF的度数为 　110°　．

解：∵CE⊥BE，AF⊥BC，
∴∠CEB＝∠AFC＝90°，
∵∠B＝35°，
∴∠ECB＝90°﹣∠B＝55°，
∵点P是AC的中点，
∴PF＝PC＝AC，PE＝PC＝AC，
∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，
∵∠APF是△CFP的一个外角，
∴∠APF＝∠PFC+∠PCF，
∴∠APF＝2∠PCF，
∵∠APE是△CEP的一个外角，
∴∠APE＝∠ACE+∠PEC，
∴∠APE＝2∠ACE，
∴∠EPF＝∠APE+∠APF
＝2∠PCF+2∠ACE
＝2∠ECB
＝110°，
故答案为：110°
14．（2分）（2022春•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E，F分别是BC，AC的中点，则DE的长为 　2　．

解：∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，F是AC的中点，
∴DF＝AF＝AC＝×4＝2，
∴∠FDA＝∠CAD＝30°，
∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝60°
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB＝×4＝2，
∴∠EFC＝∠CAB＝30°，
∴∠EFD＝60°+30°＝90°，
∴ED＝＝＝2．
故答案为：2．
15．（2分）（2021春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为　　．

解：如图，连接DM，DN，

由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），
M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），
当M在AN上时，如图，

设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，
∵D、N分别是BC、AC的中点，
∴DN＝AB＝，
在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得
DM2＝DN2+MN2，
∴x2＝（3﹣x）2+2.52，
解得x＝，
∴3﹣x＝，
此时AM﹣MN＝﹣＝．
∴AM﹣MN的最大值为．
故答案为：．
16．（2分）（2021秋•诸暨市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝40°，则∠EPF＝　100°　．

解：∵CE⊥BA，∠B＝40°，
∴∠BCE＝50°，
∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，
∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，
∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，
∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝100°，
故答案为：100°．
17．（2分）（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝　75　°．

解：∵∠ACB＝90°，点E是AB中点，
∴EC＝EA＝EB＝AB，
∴∠ECA＝∠CAB＝30°，
∴∠CEB＝60°，
∵AD＝BD，点E是AB中点，
∴DE⊥AB，即∠AED＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵∠ADB＝90°，点E是AB中点，
∴DE＝AB，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝75°，
故答案为：75．
18．（2分）（2020春•揭西县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为　6　．

解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝4.5．
∵CF＝CD，
∴DF＝CD＝×4.5＝3．
∵BE∥DC，
∴DF是△ABE的中位线，
∴BE＝2DF＝6．
故答案为6．
19．（2分）（2019春•瑶海区期末）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为 　　．

解：连接CM、CN，
由勾股定理得，AB＝DE＝＝5，
∵△ABC、△CDE是直角三角形，M，N为斜边的中点，
∴CM＝，CN＝，∠MCB＝∠B，∠NCD＝∠D，
∴∠MCN＝90°，
∴MN＝，
故答案为：．

20．（2分）（2017春•武侯区校级月考）如图，∠MON＝90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为　2+2　．

解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴CD＝＝2，
∵∠MON＝90°，
∴OD＝AB＝＝2，
由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，
最大值为2+2．
故答案为：2+2．

三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•汉滨区期中）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．
（1）求证：DE⊥MN；
（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．

（1）证明：如图，连接DM，DN，

∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴DM＝BC，DN＝BC，
∴DM＝DN，
∵E为MN的中点，
∴DE⊥MN；
（2）解：∵BC＝26，
∴DM＝BC＝13，
∵点E是MN的中点，MN＝10，
∴ME＝5，
由勾股定理得：DE＝＝12．
22．（6分）（2021春•抚顺期末）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN．

证明：如图，连接DM，DN，

∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴DM＝BC，DN＝BC，
∴DM＝DN，
又∵E为MN的中点，
∴DE⊥MN．
23．（6分）（2019春•房山区期中）如图，锐角△ABC中，AD，CE为两条高，F，G分别为AC，DE的中点，猜想FG与DE的位置关系并加以证明．

解：FG⊥DE，
理由如下：连接FE、FD，
∵AD，CE为两条高，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，
∵F为AC的中点，
∴EF＝AC，FD＝AC，
∴FE＝FD，
∵G为DE的中点，
∴FG⊥DE．

24．（6分）（2021春•新泰市期中）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点．EF⊥BD，垂足为F．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若AC＝26，EF＝5，求BD的长．

解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，
∴BE＝DE＝AC；
（2）∵BE＝DE，EF⊥BD，
∴BD＝2BF，
∵BE＝AC，AC＝26，
∴BE＝13，
∵EF＝5，
∴BF＝＝＝12，
∴BD＝2BF＝24．
25．（6分）（2020春•江岸区校级月考）在三角形△ABC中，D是BC边的中点，AD＝BC．
（1）△ABC的形状为　直角三角形　．
（2）如图，BM＝3，BC＝12，∠B＝45°，∠MAN＝45°，求CN；
（3）在（2）的条件下，AN＝　2　．

解：（1）结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵BD＝DC，AD＝BC，
∴DA＝DB＝DC，
∴∠BAC＝90°．
故答案为直角三角形．

（2）如图，设CN＝x．

∵∠B＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∴AB＝AC，
∵BD＝DC，
∴AD⊥BC，
将△BAM绕点A逆时针旋转90°得到△ACH，连接NH．
∵∠ACB＝∠ACH＝∠B＝45°，
∴∠NCH＝90°，
∵∠MAN＝45°，∠MAH＝90°，
∴∠NAM＝∠NAH＝45°，
∵NA＝NA，AM＝AH，
∴△NAM≌△NAH（SAS），
∴MN＝NH，
∵BM＝CH＝3，BC＝12，
∴CM＝12﹣3＝9，
∴MN＝NH＝9﹣x，
∵NH2＝CH2+CN2，
∴（9﹣x）2＝x2+32，
解得x＝4．
∴CN＝4．

（3）在Rt△ADN中，∵∠ADN＝90°，AD＝BD＝CD＝6，DN＝CD﹣CN＝6﹣4＝2，
∴AN＝＝＝2．
故答案为2．
26．（6分）（2019春•城关区校级期中）小明在学完北师大数学八年级（下）第一章后，看到这样一道题目：“已知，如图
∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．小明思考片刻，找到了解决方法，他作了辅助线．聪明的你知道他作的辅助线是什么吗？怎么证明的？小明又突然想到，在边AD上能找一点P，使得PB＝PD，请你写出证明过程．

解：①连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝AC，DM＝AC，
∴BM＝DM，又N为BD的中点，
∴MN⊥BD；
②∵BM＝DM，
∴M在BD的垂直平分线上，
∵PB＝PD，
∴P在BD的垂直平分线上，
∴PM垂直平分BD，
∴MN⊥BD．

27．（6分）（2022•宜城市模拟）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．

（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，
∴DE＝BE＝AB．
∴∠1＝∠2．
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴BD平分∠ABC．

（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，
∴∠1＝60°．
∴∠3＝∠2＝60°．
∵∠BCD＝90°，
∴∠4＝30°．
∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°．
在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝，
∴DB＝2．
∵DE＝BE，∠1＝60°，
∴DE＝DB＝2．
∴EC＝＝＝．

28．（8分）（2022春•永丰县期中）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”
（1）请写出它的逆命题 　在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半　；
（2）应用：若学校有一块三角形的绿地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求绿地△ABC的面积？

解：（1）逆命题为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，
故答案为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（2）过C点作CD⊥AB交AB的延长线于点D，

∵AB＝BC＝20m，∠A＝15°，
∴∠A＝∠ACB＝15°，
∴∠DBC＝∠A+∠ACB＝30°，
∴CD＝BC＝10cm，
∴S△ABC＝AB•CD＝×20×10＝100（cm2）．
29．（10分）（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．

（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．