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数学第8章 统计和概率的简单应用8.1 中学生的视力情况调查同步测试题
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这是一份数学第8章 统计和概率的简单应用8.1 中学生的视力情况调查同步测试题，文件包含第02讲概率初步知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第02讲概率初步知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
2.在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概念，理解概率取值范围的意义.
3.能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.
4.能够通过试验，获得事件发生的频率，知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，了解频率与概率的区别与联系.
5.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题.
知识点1：事件类型
EQ \\ac(○,1)必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
EQ \\ac(○,2)不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
EQ \\ac(○,3)不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0知识点2：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．
求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【题型1：事件类型】
【典例1】（2023春•成华区期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放神舟载人飞船发射
B．掷一枚骰子，点数是3的面朝上
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等
D．三角形内角和是 180°
【答案】D
【解答】解：A．打开电视，正在播放神舟载人飞船发射，是随机事件，故A不符合题意；
B．掷一枚骰子，点数是3的面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等，是随机事件，故C不符合题意；
D．三角形内角和是 180°，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2023•武昌区一模）彩民小明购买10000张彩票，中一等奖．这个事件是（ ）
A．必然事件B．确定性事件C．不可能事件D．随机事件
【答案】D
【解答】解：彩民小明购买10000张彩票，中一等奖．这个事件是随机事件，
故选：D．
【变式1-2】（2023春•高港区月考）“水中捞月”是（ ）
A．随机事件B．必然事件C．确定事件D．随缘事件
【答案】C
【解答】解：水中捞月不可能达成，故为确定事件中的不可能事件．
故选：C．
【变式1-3】（2023春•江岸区校级月考）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．汽车累积行驶1000km，从未出现故障
D．购买1张彩票，中奖
【答案】A
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故A符合题意；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故B不符合题意；
C、汽车累积行驶1000km，从未出现故障，是随机事件，故C不符合题意；
D、购买1张彩票，中奖，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A
【题型2：可能性大小】
【典例2】（2023•西湖区开学）一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：∵一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），0＜4＜10＜16，
∴摸到红球可能性最大的是D选项．
故选：D．
【变式2-1】（2023•成武县校级开学）同时掷两个骰子，算点数之和．如果小芳选5、6、7、8、9五个数，而小明选2、3、4、10、11、12六个数，掷20次，（ ）赢的可能性大．
A．小芳B．小明C．机会均等D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵掷出和是5有4种情况，和是6有5种情况，和是7有6种情况，和是8有5种情况，和是9有4种情况，即这五个数的情况有24种，
掷出和是2有1种情况，和是3有2种情况，和是4有3种情况，和是10有3种情况，和是11有2种情况，和是12有1种情况，即这六个数的情况有12种，
∴小芳赢的可能性大，
故选：A．
【变式2-2】（2023春•乳山市期末）一个不透明的盒子中装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到白球是必然事件
B．摸到黑球是不可能事件
C．摸到红球比摸到白球的可能性大
D．摸到红球与摸到白球的可能性相等
【答案】B
【解答】解：A、摸到白球是随机事件，选项错误，不符合题意；
B、摸到黑球是不可能事件，选项正确，符合题意；
C、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不符合题意；
D、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不符合题意；
故选：B．
【变式2-3】（2023•白云区二模）一个不透明的盒子内装中有除颜色外，其余完全相同的2个红球，2个白球，2个黄球，小星将盒中小球搅匀后，每次从中随机摸出一球，记下颜色后放回盒中搅匀，再从中随机摸出一球下面是他前两次摸球的情况：当小星第三次摸球时，下列说法正确的是（ ）
A．一定摸到红球
B．摸到红球的可能性小
C．一定摸不到红球
D．摸到红球、白球、黄球的可能性一样大
【答案】D
【解答】解：∵不透明的盒子内装有完全相同的2个红球，2个白球，2个黄球，
∴小星第三次摸到红球、白球、黄球的可能性一样大．
故选：D．
【题型3：概率的意义】
【典例3】（2023•上城区开学）某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是85%，也就是说抽奖（ ）
A．100个人抽奖必有85个人中奖
B．抽100次必有85次中奖
C．一定中奖
D．有可能中奖
【答案】D
【解答】解：某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是85%，也就是说抽奖有可能中奖，
故选：D．
【变式3-1】（2023春•北票市期末）小刚掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【解答】解：根据概率的意义，无论哪一次掷硬币，都有2种情况，即正面、反面朝上，
正面朝上的概率都为，
故选：C．
【变式3-2】（2023春•清苑区期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
【答案】D
【解答】解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，就是经过大量重复的实验，抛一枚均匀硬币正面朝上的频率越稳定在左右，因此，
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因此选项A不符合题意；
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于，这种说法是正确的，因此选项B不符合题意；
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项C不符合题意；
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项D符合题意；
故选：D．
【变式3-3】（2023春•龙华区期末）某气象台预报“本市明天下雨的概率为90%”对此信息，下列说法正确的是（ ）
A．明天一定会下雨
B．明天全市90%的地方在下雨
C．明天90%的时间在下雨
D．明天下雨的可能性比较大
【答案】D
【解答】解：某气象台预报“本市明天下雨的概率为90%”，意思是：明天下雨的可能性比较大，
故选：D．
【题型4：几何意义】
【典例4】（2023春•沙坪坝区校级期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘转动并停止后，指针落在B区域的概率是
（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：由题意可得，指针落在B区域的概率是＝．
故选：C．
【变式4-1】（2022秋•连云港期末）如图，转盘中的各个扇形面积相等，任意转动转盘1次，指针落在阴影区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵圆被等分成5份，其中阴影部分占1份，
∴指针落在阴影部分的概率为．
故选：B．
【变式4-2】（2022秋•仓山区校级期末）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，
∴小球停留在阴影部分的概率是，
故选：A．
【变式4-3】（2023春•汝州市期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a，
则地板的总面积为5a×4a＝20a2，黑砖的面积为20a2﹣（3a×3a+2a×4a+a×5a）＝9a2，
∴小球最终停留在黑砖上的概率是＝，
故选：D．
【题型5：概率公式】
【典例5】（2022秋•铜梁区校级期末）一个布袋中放着12个黑球和8个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：布袋中球的总数为：8+12＝20（个），
因此从布袋中任取1个球，取出红球的概率是．
故选：C．
【变式5-1】（2023•柯桥区一模）学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女生中随机选取一人，则选中女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取一人，
∴选中女生的概率为，
故选：C．
【变式5-2】（2023春•渠县校级期末）某路口南北方向信号灯的设置时间为：红灯25s，绿灯30s，黄灯5s．王老师随机地由南往北开车到达该路口，他遇到绿灯的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：因为红灯25s，绿灯30s，黄灯5s，
所以他遇到绿灯的概率是，
故选：D．
【变式5-3】（2023•锡林浩特市二模）质检人员从编号为1，2，3，4，5的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于4的概率为（ ）
A．.B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵抽取的产品数为5种，编号不小于4的情况有2种，
∴所抽到的产品编号不小于4的概率为．
故选：B．
【题型6：列表法与树状图法】
【典例6】（2023•朝阳）某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 50 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；
（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
【答案】（1）50；
（2）．
【解答】解：（1）12÷24%＝50（人），
所以本次一共抽样调查了50名学生；
故答案为：50；
（2）B组人数为50﹣18﹣5﹣12＝15（人），
条形统计图补充为：
（3）600×＝60（人），
所以估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数为2，
所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率＝＝．
【变式6-1】（2023•东城区校级模拟）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：列表如下：
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，
故选：C．
【变式6-2】（2023春•渠县校级期末）有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：所有的情况有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共10种，其中能构成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，10，共3种，
则P＝．
故选：B．
【变式6-3】（2022秋•昌图县期末）小红有三顶帽子，分别为白色、红色和粉色，有两条围巾，分别为白色和红色．她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，
所以恰好为红色帽子和红色围巾的概率＝．
故选：C．
【变式6-4】（2023•舒城县模拟）甲、乙、丙三个同学并排走在一起，则甲乙恰好相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：用树状图分析如下：
∴一共有6种情况，甲、乙两人恰好相邻有4种情况，
∴甲、乙两人相邻的概率是．
故选：D．
【变式6-5】（2023•江山市模拟）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．
获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表：
根据图形信息，解答下列问题：
（1）求获奖学生的总人数，并补全条形统计图；
（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 90 分，众数是 90 分；
（3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
【答案】（1）200人，统计图见解答；
（2）90，90；
（3）．
【解答】解：（1）本次获奖人数有：20÷10%＝200（人），
则获得“秦九韶奖”的人数有200×46%＝92（人）．
则刘徽奖的人数为200×（1﹣24%﹣46%﹣10%）＝40（人），
补全条形统计图如解图所示：
（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分；
故答案为：90，90；
（3）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，分别是（甲，乙），（乙，甲）．
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是＝．
【题型7：游戏的公平性】
【典例7】（2021秋•乌兰察布期末）如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．
（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）列表：
由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3种结果．
∴P（乙获胜）＝；
（2）公平．
∵P（乙获胜）＝，P（甲获胜）＝．
∴P（乙获胜）＝P（甲获胜）
∴游戏公平．
【变式7-1】（2023春•酒泉期末）在“五•四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示．
游戏规定：随意转动转盘，若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：不会同意．
因为转盘中有两个3，一个2，这说明小丽去的可能性是，而小芳去的可能性是，
所以游戏不公平．
【变式7-2】（2023春•梅江区期末）有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去．
（1）求小明抽到4的概率；
（2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到4的结果有2种．所以，P（抽到4）＝．（2分）
答：小明抽到4的概率为．（3分）
（2）解：不公平．
理由如下：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种．所以，P（抽到比4大）＝．
所以小明去看演唱会的概率为，则小亮去看演唱会的概率为：
1﹣＝．因为＜，所以，游戏不公平．（5分）
修改游戏规则如下：（答案不唯一）从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；抽到比4小的牌，小亮去，抽到4重新抽，游戏对双方都公平．（7分）
【变式7-3】（2023•定西模拟）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．
（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）树状图如右：
则小红获胜的概率：＝，小丁获胜的概率：＝，
所以这个游戏比较公平．
1．（2023•呼和浩特）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：四张形状相同的小图片分别用A、a、B、b表示，其中A和a合成一张完整图片，B和b合成一张完整图片，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4，
所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率＝．
故选：B．
2．（2023•镇江）如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，
∴P＝，
故选：B．
3．（2023•盘锦）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．任意买一张电影票，座位号是单号
C．掷一次骰子，向上一面的点数是3
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】A
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故A不符合题意；
B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故B符合题意；
C、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，故C不符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
4．（2023•阜新）某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每位选手随机选取一个主题参赛．如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿精神”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：用1、2、3分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，
画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数为1，
所以他们同时选中主题“海州矿精神”的概率＝．
故选：D．
5．（2023•哈尔滨）将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能结果，其中取出的棋子是黑棋子的有10种结果，
所以其概率为＝，
故选：D．
6．（2023•德阳）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，这两个数字之和为奇数的有8种情况，
∴这两个数字之和为奇数概率为＝．
故选：C．
7．（2023•恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）
A．0.905B．0.90C．0.9D．0.8
【答案】C
【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9左右，
故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9．
故选：C．
8．（2023•北京）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，
故选：A．
9．（2023•湘西州）在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：摸到红球的概率为．
答案为：．
10．（2023•广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1）；
（2）公平，理由见解答．
【解答】解：（1）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴P（乙选中球拍C）＝；
（2）公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴P（甲先发球）＝，
P（乙先发球）＝，
∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），
∴这个约定公平．
11．（2023•盘锦）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 100 名学生，统计表中a＝ 30 ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【答案】（1）100，30；
（2）54°；
（3）140名；
（4）．
【解答】解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝100，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，
∴a＝30，
故答案为：100，30；
（2）∵样本中平均每天阅读时长为“60＜x≤80”有15名，
且15÷100×360°＝54°，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数为54°；
（3）∵样本中平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为10人，
且10÷100×1400＝140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为140名；
（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）＝．
一．选择题（共13小题）
1．下列调查，样本具有代表性的是（ ）
A．了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
B．了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D．了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查
【答案】D
【解答】解：A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故A错误；
B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；
D、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故D正确．
故选：D．
2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批圆珠笔的寿命
B．了解全国九年级学生身高的现状
C．考察人们保护海洋的意识
D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
【答案】D
【解答】解：A、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误；
B、了解全国九年级学生身高的现状，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
C、考察人们保护海洋的意识，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
D、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，事关重大，应用普查方式，故本选项正确；
故选：D．
3．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
【答案】D
【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故A选项错误；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是：＝；故B选项错误；
C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项错误；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为≈0.17，故D选项正确．故选：D．
4．如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：列表如下：
共有6种情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，
即能让灯泡发光的概率是＝．
故选：C．
5．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】A
【解答】解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）＝40﹣36＝4，
则第5组的频率为4÷40＝0.1，
故选：A．
6．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，
∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5＝．
故选：C．
7．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
则通话时间不超过15min的频率为（ ）
A．0.1B．0.4C．0.5D．0.9
【答案】D
【解答】解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9＝45次，通话总次数为20+16+9+5＝50次，
∴通话时间不超过15min的频率为＝0.9，
故选：D．
8．某学校将为初一学生开设A、B、C、D、E、F共6门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）
根据图表提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．这次被调查的学生人数为400人
B．扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72°
C．被调查的学生中喜欢选修课E、F的人数分别为80，70
D．喜欢选修课C的人数最少
【答案】D
【解答】解：被调查的学生人数为60÷15%＝400（人），次数
第1次
第2次
第3次
颜色
红球
红球
？
红
绿
红
（红，红）
（绿，红）
绿
（红，绿）
（绿，绿）
分数/分
80
85
90
95
人数/人
4
2
10
4
移植的棵数a
100
300
600
1000
7000
15000
成活的棵数b
84
279
505
847
6337
13581
成活的频率
0.84
0.93
0.842
0.847
0.905
0.905
平均每天阅读时长x/min
人数
0＜x≤20
20
20＜x≤40
a
40＜x≤60
25
60＜x≤80
15
x＞80
10
通话时间x/min
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
频数（通话次数）
20
16
9
5
选修课
A
B
C
D
E
F
人数
40
60
100
2.在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概念，理解概率取值范围的意义.
3.能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.
4.能够通过试验，获得事件发生的频率，知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，了解频率与概率的区别与联系.
5.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题.
知识点1：事件类型
EQ \\ac(○,1)必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
EQ \\ac(○,2)不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
EQ \\ac(○,3)不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．
求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【题型1：事件类型】
【典例1】（2023春•成华区期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放神舟载人飞船发射
B．掷一枚骰子，点数是3的面朝上
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等
D．三角形内角和是 180°
【答案】D
【解答】解：A．打开电视，正在播放神舟载人飞船发射，是随机事件，故A不符合题意；
B．掷一枚骰子，点数是3的面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等，是随机事件，故C不符合题意；
D．三角形内角和是 180°，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2023•武昌区一模）彩民小明购买10000张彩票，中一等奖．这个事件是（ ）
A．必然事件B．确定性事件C．不可能事件D．随机事件
【答案】D
【解答】解：彩民小明购买10000张彩票，中一等奖．这个事件是随机事件，
故选：D．
【变式1-2】（2023春•高港区月考）“水中捞月”是（ ）
A．随机事件B．必然事件C．确定事件D．随缘事件
【答案】C
【解答】解：水中捞月不可能达成，故为确定事件中的不可能事件．
故选：C．
【变式1-3】（2023春•江岸区校级月考）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．汽车累积行驶1000km，从未出现故障
D．购买1张彩票，中奖
【答案】A
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故A符合题意；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故B不符合题意；
C、汽车累积行驶1000km，从未出现故障，是随机事件，故C不符合题意；
D、购买1张彩票，中奖，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A
【题型2：可能性大小】
【典例2】（2023•西湖区开学）一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：∵一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），0＜4＜10＜16，
∴摸到红球可能性最大的是D选项．
故选：D．
【变式2-1】（2023•成武县校级开学）同时掷两个骰子，算点数之和．如果小芳选5、6、7、8、9五个数，而小明选2、3、4、10、11、12六个数，掷20次，（ ）赢的可能性大．
A．小芳B．小明C．机会均等D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵掷出和是5有4种情况，和是6有5种情况，和是7有6种情况，和是8有5种情况，和是9有4种情况，即这五个数的情况有24种，
掷出和是2有1种情况，和是3有2种情况，和是4有3种情况，和是10有3种情况，和是11有2种情况，和是12有1种情况，即这六个数的情况有12种，
∴小芳赢的可能性大，
故选：A．
【变式2-2】（2023春•乳山市期末）一个不透明的盒子中装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到白球是必然事件
B．摸到黑球是不可能事件
C．摸到红球比摸到白球的可能性大
D．摸到红球与摸到白球的可能性相等
【答案】B
【解答】解：A、摸到白球是随机事件，选项错误，不符合题意；
B、摸到黑球是不可能事件，选项正确，符合题意；
C、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不符合题意；
D、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不符合题意；
故选：B．
【变式2-3】（2023•白云区二模）一个不透明的盒子内装中有除颜色外，其余完全相同的2个红球，2个白球，2个黄球，小星将盒中小球搅匀后，每次从中随机摸出一球，记下颜色后放回盒中搅匀，再从中随机摸出一球下面是他前两次摸球的情况：当小星第三次摸球时，下列说法正确的是（ ）
A．一定摸到红球
B．摸到红球的可能性小
C．一定摸不到红球
D．摸到红球、白球、黄球的可能性一样大
【答案】D
【解答】解：∵不透明的盒子内装有完全相同的2个红球，2个白球，2个黄球，
∴小星第三次摸到红球、白球、黄球的可能性一样大．
故选：D．
【题型3：概率的意义】
【典例3】（2023•上城区开学）某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是85%，也就是说抽奖（ ）
A．100个人抽奖必有85个人中奖
B．抽100次必有85次中奖
C．一定中奖
D．有可能中奖
【答案】D
【解答】解：某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是85%，也就是说抽奖有可能中奖，
故选：D．
【变式3-1】（2023春•北票市期末）小刚掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【解答】解：根据概率的意义，无论哪一次掷硬币，都有2种情况，即正面、反面朝上，
正面朝上的概率都为，
故选：C．
【变式3-2】（2023春•清苑区期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
【答案】D
【解答】解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，就是经过大量重复的实验，抛一枚均匀硬币正面朝上的频率越稳定在左右，因此，
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因此选项A不符合题意；
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于，这种说法是正确的，因此选项B不符合题意；
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项C不符合题意；
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项D符合题意；
故选：D．
【变式3-3】（2023春•龙华区期末）某气象台预报“本市明天下雨的概率为90%”对此信息，下列说法正确的是（ ）
A．明天一定会下雨
B．明天全市90%的地方在下雨
C．明天90%的时间在下雨
D．明天下雨的可能性比较大
【答案】D
【解答】解：某气象台预报“本市明天下雨的概率为90%”，意思是：明天下雨的可能性比较大，
故选：D．
【题型4：几何意义】
【典例4】（2023春•沙坪坝区校级期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘转动并停止后，指针落在B区域的概率是
（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：由题意可得，指针落在B区域的概率是＝．
故选：C．
【变式4-1】（2022秋•连云港期末）如图，转盘中的各个扇形面积相等，任意转动转盘1次，指针落在阴影区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵圆被等分成5份，其中阴影部分占1份，
∴指针落在阴影部分的概率为．
故选：B．
【变式4-2】（2022秋•仓山区校级期末）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，
∴小球停留在阴影部分的概率是，
故选：A．
【变式4-3】（2023春•汝州市期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a，
则地板的总面积为5a×4a＝20a2，黑砖的面积为20a2﹣（3a×3a+2a×4a+a×5a）＝9a2，
∴小球最终停留在黑砖上的概率是＝，
故选：D．
【题型5：概率公式】
【典例5】（2022秋•铜梁区校级期末）一个布袋中放着12个黑球和8个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：布袋中球的总数为：8+12＝20（个），
因此从布袋中任取1个球，取出红球的概率是．
故选：C．
【变式5-1】（2023•柯桥区一模）学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女生中随机选取一人，则选中女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取一人，
∴选中女生的概率为，
故选：C．
【变式5-2】（2023春•渠县校级期末）某路口南北方向信号灯的设置时间为：红灯25s，绿灯30s，黄灯5s．王老师随机地由南往北开车到达该路口，他遇到绿灯的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：因为红灯25s，绿灯30s，黄灯5s，
所以他遇到绿灯的概率是，
故选：D．
【变式5-3】（2023•锡林浩特市二模）质检人员从编号为1，2，3，4，5的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于4的概率为（ ）
A．.B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵抽取的产品数为5种，编号不小于4的情况有2种，
∴所抽到的产品编号不小于4的概率为．
故选：B．
【题型6：列表法与树状图法】
【典例6】（2023•朝阳）某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 50 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；
（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
【答案】（1）50；
（2）．
【解答】解：（1）12÷24%＝50（人），
所以本次一共抽样调查了50名学生；
故答案为：50；
（2）B组人数为50﹣18﹣5﹣12＝15（人），
条形统计图补充为：
（3）600×＝60（人），
所以估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数为2，
所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率＝＝．
【变式6-1】（2023•东城区校级模拟）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：列表如下：
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，
故选：C．
【变式6-2】（2023春•渠县校级期末）有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：所有的情况有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共10种，其中能构成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，10，共3种，
则P＝．
故选：B．
【变式6-3】（2022秋•昌图县期末）小红有三顶帽子，分别为白色、红色和粉色，有两条围巾，分别为白色和红色．她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，
所以恰好为红色帽子和红色围巾的概率＝．
故选：C．
【变式6-4】（2023•舒城县模拟）甲、乙、丙三个同学并排走在一起，则甲乙恰好相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：用树状图分析如下：
∴一共有6种情况，甲、乙两人恰好相邻有4种情况，
∴甲、乙两人相邻的概率是．
故选：D．
【变式6-5】（2023•江山市模拟）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．
获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表：
根据图形信息，解答下列问题：
（1）求获奖学生的总人数，并补全条形统计图；
（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 90 分，众数是 90 分；
（3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
【答案】（1）200人，统计图见解答；
（2）90，90；
（3）．
【解答】解：（1）本次获奖人数有：20÷10%＝200（人），
则获得“秦九韶奖”的人数有200×46%＝92（人）．
则刘徽奖的人数为200×（1﹣24%﹣46%﹣10%）＝40（人），
补全条形统计图如解图所示：
（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分；
故答案为：90，90；
（3）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，分别是（甲，乙），（乙，甲）．
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是＝．
【题型7：游戏的公平性】
【典例7】（2021秋•乌兰察布期末）如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．
（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）列表：
由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3种结果．
∴P（乙获胜）＝；
（2）公平．
∵P（乙获胜）＝，P（甲获胜）＝．
∴P（乙获胜）＝P（甲获胜）
∴游戏公平．
【变式7-1】（2023春•酒泉期末）在“五•四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示．
游戏规定：随意转动转盘，若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：不会同意．
因为转盘中有两个3，一个2，这说明小丽去的可能性是，而小芳去的可能性是，
所以游戏不公平．
【变式7-2】（2023春•梅江区期末）有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去．
（1）求小明抽到4的概率；
（2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到4的结果有2种．所以，P（抽到4）＝．（2分）
答：小明抽到4的概率为．（3分）
（2）解：不公平．
理由如下：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种．所以，P（抽到比4大）＝．
所以小明去看演唱会的概率为，则小亮去看演唱会的概率为：
1﹣＝．因为＜，所以，游戏不公平．（5分）
修改游戏规则如下：（答案不唯一）从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；抽到比4小的牌，小亮去，抽到4重新抽，游戏对双方都公平．（7分）
【变式7-3】（2023•定西模拟）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．
（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）树状图如右：
则小红获胜的概率：＝，小丁获胜的概率：＝，
所以这个游戏比较公平．
1．（2023•呼和浩特）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：四张形状相同的小图片分别用A、a、B、b表示，其中A和a合成一张完整图片，B和b合成一张完整图片，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4，
所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率＝．
故选：B．
2．（2023•镇江）如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，
∴P＝，
故选：B．
3．（2023•盘锦）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．任意买一张电影票，座位号是单号
C．掷一次骰子，向上一面的点数是3
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】A
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故A不符合题意；
B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故B符合题意；
C、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，故C不符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
4．（2023•阜新）某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每位选手随机选取一个主题参赛．如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿精神”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：用1、2、3分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，
画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数为1，
所以他们同时选中主题“海州矿精神”的概率＝．
故选：D．
5．（2023•哈尔滨）将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能结果，其中取出的棋子是黑棋子的有10种结果，
所以其概率为＝，
故选：D．
6．（2023•德阳）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，这两个数字之和为奇数的有8种情况，
∴这两个数字之和为奇数概率为＝．
故选：C．
7．（2023•恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）
A．0.905B．0.90C．0.9D．0.8
【答案】C
【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9左右，
故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9．
故选：C．
8．（2023•北京）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，
故选：A．
9．（2023•湘西州）在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：摸到红球的概率为．
答案为：．
10．（2023•广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1）；
（2）公平，理由见解答．
【解答】解：（1）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴P（乙选中球拍C）＝；
（2）公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴P（甲先发球）＝，
P（乙先发球）＝，
∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），
∴这个约定公平．
11．（2023•盘锦）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 100 名学生，统计表中a＝ 30 ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【答案】（1）100，30；
（2）54°；
（3）140名；
（4）．
【解答】解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝100，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，
∴a＝30，
故答案为：100，30；
（2）∵样本中平均每天阅读时长为“60＜x≤80”有15名，
且15÷100×360°＝54°，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数为54°；
（3）∵样本中平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为10人，
且10÷100×1400＝140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为140名；
（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）＝．
一．选择题（共13小题）
1．下列调查，样本具有代表性的是（ ）
A．了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
B．了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D．了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查
【答案】D
【解答】解：A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故A错误；
B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；
D、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故D正确．
故选：D．
2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批圆珠笔的寿命
B．了解全国九年级学生身高的现状
C．考察人们保护海洋的意识
D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
【答案】D
【解答】解：A、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误；
B、了解全国九年级学生身高的现状，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
C、考察人们保护海洋的意识，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
D、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，事关重大，应用普查方式，故本选项正确；
故选：D．
3．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
【答案】D
【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故A选项错误；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是：＝；故B选项错误；
C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项错误；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为≈0.17，故D选项正确．故选：D．
4．如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：列表如下：
共有6种情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，
即能让灯泡发光的概率是＝．
故选：C．
5．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】A
【解答】解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）＝40﹣36＝4，
则第5组的频率为4÷40＝0.1，
故选：A．
6．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，
∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5＝．
故选：C．
7．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
则通话时间不超过15min的频率为（ ）
A．0.1B．0.4C．0.5D．0.9
【答案】D
【解答】解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9＝45次，通话总次数为20+16+9+5＝50次，
∴通话时间不超过15min的频率为＝0.9，
故选：D．
8．某学校将为初一学生开设A、B、C、D、E、F共6门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）
根据图表提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．这次被调查的学生人数为400人
B．扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72°
C．被调查的学生中喜欢选修课E、F的人数分别为80，70
D．喜欢选修课C的人数最少
【答案】D
【解答】解：被调查的学生人数为60÷15%＝400（人），次数
第1次
第2次
第3次
颜色
红球
红球
？
红
绿
红
（红，红）
（绿，红）
绿
（红，绿）
（绿，绿）
分数/分
80
85
90
95
人数/人
4
2
10
4
移植的棵数a
100
300
600
1000
7000
15000
成活的棵数b
84
279
505
847
6337
13581
成活的频率
0.84
0.93
0.842
0.847
0.905
0.905
平均每天阅读时长x/min
人数
0＜x≤20
20
20＜x≤40
a
40＜x≤60
25
60＜x≤80
15
x＞80
10
通话时间x/min
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
频数（通话次数）
20
16
9
5
选修课
A
B
C
D
E
F
人数
40
60
100
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