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2024年陕西省榆林市子洲县周家硷中学中考数学模拟试卷（B卷）+
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这是一份2024年陕西省榆林市子洲县周家硷中学中考数学模拟试卷（B卷）+，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
2．（3分）下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算结果是a6的式子是（ ）
A．a2+a3B．a2•a3C．（a2）3D．a12÷a2
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，过点A作EF∥BC，则∠FAC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．（3分）如图所示，增加下列一个条件可以使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．∠BAD＝∠BCDB．AC⊥BDC．∠BAD＝90°D．AB＝BC
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移5个单位长度后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣5D．5
7．（3分）如图，矩形ABCD内接于⊙O，若，，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．2C．D．
8．（3分）将抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）向右平移2个单位长度后得到一条新的抛物线，若点P（﹣1，y1），Q（0，y2），M（1，y3），N（2，y4）都在新抛物线上，则y1，y2，y3，y4的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3＜y4B．y1＜y2＝y4＜y3
C．y1＜y2＝y3＜y4D．y1＜y2＜y3＝y4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小：﹣8 ﹣9（填“＞”、“＝”或“＜“）．
10．（3分）正十二边形的一个内角的度数为 ．
11．（3分）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳．如图，主持人现站在10米舞台PQ的左边端点P处，那她要站在最佳位置处时至少要走 米（黄金分割比近似值为0.618，结果精确到小数点后1位）．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与两个正比例函数图象交于A，B，C，D四点．若点B的坐标为（4，3），点A的纵坐标为6，则点C的坐标是 ．
13．（3分）如图，在平面内有四点A，B，C，D，其中AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，若∠BDC＝90°，则AD的最大值是 ．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）解方程：．
17．（5分）尺规作图：如图，在△ABC中，请用尺规作图的方法在AC上找一点D，使得BD平分∠ABC．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，E，F分别为▱ABCD的边AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，连接EG，HF．求证：△BFH≌△DEG．
19．（5分）以“千年宝地、一马当先”为主题的2023宝鸡马拉松分为三类：全马，半马，欢乐跑．它们的起终点一样，折返点分别是全马神农大桥、半马游泳跳水馆、欢乐跑银泰城．此次马拉松一共有1650人报名志愿者．
（1）赵老师报名志愿者被随机分到欢乐跑折返点的概率是 ．
（2）赵老师和刘老师都报名志愿者，两人被分到同一个折返点的概率是多少？
20．（5分）直播带货是目前比较流行的网销方式，双十一期间某平台直播间某商品标价500元/件，打6折出售仍可获得20%的利润，求该商品每件的进价．
21．（6分）小明利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的A处用测角仪测得楼房顶端D的仰角为30°，向楼房前行30m在B处测得楼房顶端D的仰角为60°，已知测角仪的高度是1.5m（A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果保留一位小数）
22．（7分）某商家购进不同型号的空气净化器，每种空气净化器的售价y（元/台）与进价x（元/台）满足一次函数关系，部分数据如表．
（1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）．
（2）若某型号的空气净化器的售价为1080元/台，则该型号的空气净化器每台的利润是多少元？
23．（7分）某中学在全校范围开展“创文创卫我知晓”的答题活动（满分100分），现随机抽取了部分参赛学生的成绩进行调查，下面是根据调查情况绘制的统计表．
注：其中成绩在“B.80≤x＜90”的最低分为82分，成绩在“C.70≤x＜80”的最高分为78分．
请根据表格信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ．
（2）本次抽取的学生成绩的中位数为 分．
（3）若参与本次答题活动的学生共860人，试估计成绩在70分及以上的学生人数．
24．（8分）如图，以AB为直径的⊙O上有C，D两点，过点C作⊙O的切线CE，连接AD并延长交CE于点E，连接AC，AC平分∠BAD．
（1）求证：∠AEC＝90°．
（2）若AD＝6，CE＝2，求⊙O的半径．
25．（8分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y的图象经过点（1，﹣2），求函数y的表达式；
（2）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
26．（10分）问题提出
（1）将线段AB平移至线段A1B1，则线段AA1与线段BB1的数量关系是 ，位置关系是 ．
问题研究
（2）如图1，正方形ABCD的边长为4，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为多少？
问题解决
（3）如图2，有一块三角形余料ABC，∠A＝30°，AB＝10．工人师傅想利用余料裁一个△BCD，要求D在AC上，且CD＝3，请问能否裁出一个周长最小的△BCD？如果能，请求出周长的最小值，并说明理由．
2024年陕西省榆林市子洲县周家硷中学中考数学模拟试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024，
故选：A．
【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．（3分）下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．
【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）下列计算结果是a6的式子是（ ）
A．a2+a3B．a2•a3C．（a2）3D．a12÷a2
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故该项不正确，不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故该项正确，符合题意；
D、a12÷a2＝a10，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，过点A作EF∥BC，则∠FAC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】先根据三角形内角和定理和已知角的度数求出∠C，再根据平行线的性质求出∠FAC的度数即可．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠C＝30°，
∵EF∥BC，
∴∠FAC＝∠C＝30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和平行线的性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．
5．（3分）如图所示，增加下列一个条件可以使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．∠BAD＝∠BCDB．AC⊥BDC．∠BAD＝90°D．AB＝BC
【分析】由矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移5个单位长度后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣5D．5
【分析】根据题意得出直线y＝2x+b向上平移5个单位长度后的解析式，再将原点坐标代入即可解决问题．
【解答】解：由题知，
直线y＝2x+b沿y轴向上平移5个单位长度后的解析式为y＝2x+b+5，
因为平移后的直线经过原点，
所以b+5＝0，
解得b＝﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，能正确表示出平移后的直线解析式是解题的关键．
7．（3分）如图，矩形ABCD内接于⊙O，若，，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．2C．D．
【分析】连接AC，由矩形的性质得到∠B＝90°，由圆周角定理推出AC是圆的直径，由勾股定理求出AC＝＝2，即可得到⊙O的半径长．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC是圆的直径，
∵，，
∴AC＝＝2，
∴⊙O的半径为．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，关键是由圆周角定理判定AC是圆的直径，由勾股定理求出AC的长．
8．（3分）将抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）向右平移2个单位长度后得到一条新的抛物线，若点P（﹣1，y1），Q（0，y2），M（1，y3），N（2，y4）都在新抛物线上，则y1，y2，y3，y4的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3＜y4B．y1＜y2＝y4＜y3
C．y1＜y2＝y3＜y4D．y1＜y2＜y3＝y4
【分析】根据题意得出平移后所得抛物线的解析式，再结合抛物线的开口方向及四个点离对称轴的远近即可解决问题．
【解答】解：∵，
∴原抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
则平移后所得新抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵a＜0，
∴平移后所得新抛物线的开口向下，
则新抛物线上的点，离对称轴越远，点的纵坐标越小．
∵1﹣（﹣1）＝2，1﹣0＝1，1﹣1＝0，2﹣1＝1，且2＞1＝1＞0，
∴y1＜y2＝y4＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小：﹣8 ＞ ﹣9（填“＞”、“＝”或“＜“）．
【分析】本题为简单的比较大小问题，直接进行比较即可．
【解答】解：∴|﹣8|＝8，|﹣9|＝9，
∴8＜9，
∴﹣8＞﹣9．
故答案为：＞．
【点评】本题考查简单的有理数比较大小，对题中数字进行比较即可．
10．（3分）正十二边形的一个内角的度数为 150° ．
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是：＝30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是关键．
11．（3分）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳．如图，主持人现站在10米舞台PQ的左边端点P处，那她要站在最佳位置处时至少要走 3.8 米（黄金分割比近似值为0.618，结果精确到小数点后1位）．
【分析】设主持人站的位置距离点Q的距离为x米，根据黄金分割的定义，建立关于x的方程即可解决问题．
【解答】解：设主持人站的位置与点Q的距离为x米，
则，
解得x＝6.18，
所以10﹣6.18＝3.82≈3.8（米），
故主持人站的最佳位置时至少要走3.8米．
故答案为：3.8．
【点评】本题考查黄金分割及近似数和有效数字，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与两个正比例函数图象交于A，B，C，D四点．若点B的坐标为（4，3），点A的纵坐标为6，则点C的坐标是 （﹣2，﹣6） ．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出A点坐标，再由正比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：设A（m，6），
∵点B的坐标为（4，3），点A与点B在同一个反比例函数的图象上，
∴4×3＝6m，
解得m＝2，
∴A（2，6），
∵点A，C是正比例函数与反比函数在不同象限的交点，
∴A，C两点关于原点对称，
∴C（﹣2，﹣6）．
故答案为：（﹣2，﹣6）．
【点评】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，熟知反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称是解题的关键．
13．（3分）如图，在平面内有四点A，B，C，D，其中AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，若∠BDC＝90°，则AD的最大值是 3+3 ．
【分析】先证△ABC是等边三角形，可得BC＝6，由∠BDC＝90°，可得点D在以BC为直径的圆上运动，则当点D'在线段AO的延长线上时，AD'有最大值，由等边三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，连接BC，取BC的中点O，
∵AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝6，
∵∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的圆上运动，
∴当点D'在线段AO的延长线上时，AD'有最大值，
∵△ABC是等边三角形，BO＝CO，
∴AO⊥BC，
∴AO＝＝＝3，
∴AD的最大值＝AO+D'O＝3+3．
故答案为：3+3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理等知识，确定点D的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：．
【分析】根据实数和负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣+
＝2﹣3+
＝﹣1+．
【点评】本题考查的是实数的运算，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，算术平方根，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
15．（5分）解不等式组：．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣2；
解不等式②，得：x≥﹣6，
∴该不等式组的解集是x＞﹣2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
16．（5分）解方程：．
【分析】方程两边都乘x（x﹣1）得出x（x﹣1）﹣x（x﹣5）＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘x（x﹣1），得x（x﹣1）﹣x（x﹣5）＝2（x﹣1），
x2﹣x﹣x2+5x＝2x﹣2，
x2﹣x﹣x2+5x﹣2x＝﹣2，
2x＝﹣2，
x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x﹣1）≠0，
所以分式方程的解为x＝﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
17．（5分）尺规作图：如图，在△ABC中，请用尺规作图的方法在AC上找一点D，使得BD平分∠ABC．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作BD平分∠ABC交AC于点D．
【解答】解：如图，点D即为所求作的点．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
18．（5分）如图，E，F分别为▱ABCD的边AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，连接EG，HF．求证：△BFH≌△DEG．
【分析】由平行四边形的性质推出BC∥AD，BC＝AD，由平行线的性质推出∠HBF＝∠GDE．由线段中点定义得到BF＝DE，由BG＝DH，得到 BH＝DG，即可证明△BFH≌△DEG（SAS）．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∴∠HBF＝∠GDE．
∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴BF＝DE，
∵BG＝DH，
∴BG+GH＝DH+GH，
∴BH＝DG，
在△BFH 和△DEG 中，
，
∴△BFH≌△DEG（SAS）．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS．
19．（5分）以“千年宝地、一马当先”为主题的2023宝鸡马拉松分为三类：全马，半马，欢乐跑．它们的起终点一样，折返点分别是全马神农大桥、半马游泳跳水馆、欢乐跑银泰城．此次马拉松一共有1650人报名志愿者．
（1）赵老师报名志愿者被随机分到欢乐跑折返点的概率是 ．
（2）赵老师和刘老师都报名志愿者，两人被分到同一个折返点的概率是多少？
【分析】（1）直接运用概率公式解答即可；
（2）先列表得出所有等情况数和两人恰好分到同一个折返点的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）赵老师报名志愿者被随机分到欢乐跑折返点的概率是．
故答案为：；
（2）记全马神农大桥、半马游泳跳水馆、欢乐跑银泰城三个折返点分别为A，B，C，则列表
如下：
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中两人被分到同一个折返点的结果有3种，
∴P（两人被分到同一个折返点）＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（5分）直播带货是目前比较流行的网销方式，双十一期间某平台直播间某商品标价500元/件，打6折出售仍可获得20%的利润，求该商品每件的进价．
【分析】设该商品的进价是x元/件，利用利润＝售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该商品的进价是x元/件，
根据题意得：500×0.6﹣x＝20%x，
解得：x＝250．
答：该商品的进价是250元/件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
21．（6分）小明利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的A处用测角仪测得楼房顶端D的仰角为30°，向楼房前行30m在B处测得楼房顶端D的仰角为60°，已知测角仪的高度是1.5m（A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果保留一位小数）
【分析】根据题意可得：MN＝AB＝30m，AM＝BN＝CE＝1.5m，ME⊥CD，然后利用三角形的外角性质可得∠MDN＝∠DMN＝30°，从而可得MN＝DN＝30m，最后在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：MN＝AB＝30m，AM＝BN＝CE＝1.5m，ME⊥CD，
∵∠DNE是△DMN的一个外角，∠DNE＝60°，∠DMN＝30°，
∴∠MDN＝∠DNE﹣∠DMN＝60°﹣30°＝30°，
∴∠MDN＝∠DMN＝30°，
∴MN＝DN＝30m，
在Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝30×＝15（m），
∴DC＝DE+CE＝15+1.5≈27.5（m），
∴楼房CD的高度约为27.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（7分）某商家购进不同型号的空气净化器，每种空气净化器的售价y（元/台）与进价x（元/台）满足一次函数关系，部分数据如表．
（1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）．
（2）若某型号的空气净化器的售价为1080元/台，则该型号的空气净化器每台的利润是多少元？
【分析】（1）先设出y与x的函数关系式，然后根据表格中的数据，即可求得y与x的函数关系式；
（2）将y＝1080代入（1）中的函数解析式，求出相应的x的值，然后作差，即可求得该型号的空气净化器每台的利润是多少元．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（400，600），（500，720）在函数图象上，
，
解得，
即y与x的函数关系式是y＝1.2x+120；
（2）当y＝1080时，
1080＝1.2x+120，
解得x＝800，
1080﹣800＝280（元），
答：该型号空气净化器每台的利润为280元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
23．（7分）某中学在全校范围开展“创文创卫我知晓”的答题活动（满分100分），现随机抽取了部分参赛学生的成绩进行调查，下面是根据调查情况绘制的统计表．
注：其中成绩在“B.80≤x＜90”的最低分为82分，成绩在“C.70≤x＜80”的最高分为78分．
请根据表格信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 12 ，n＝ 0.25 ．
（2）本次抽取的学生成绩的中位数为 80 分．
（3）若参与本次答题活动的学生共860人，试估计成绩在70分及以上的学生人数．
【分析】（1）由A组的人数除以频率得出本次抽取的样本容量，即可解决问题；
（2）由中位数的定义求解即可；
（3）由本次活动参赛学生人数乘以成绩在70分以上（包含70分）的学生人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）本次抽取的样本容量为：8÷0.2＝40，
∴m＝40×0.3＝12，n＝10÷40＝0.25，
故答案为：12，0.25；
（2）∵样本容量为40，12+8＝20，中位数为在B组（80≤x＜90）的最低分和成绩在C组（70≤x＜80）的最高分的平均数，
∴本次抽取的学生成绩的中位数为＝80（分），
故答案为：80；
（3）估计成绩在70分及以上的学生人数为：860×（0.2+0.3+0.25）＝645（人），
答：估计成绩在70分及以上的学生人数为645人．
【点评】此题考查了中位数、样本估计总体以及频数分布表等知识．解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（8分）如图，以AB为直径的⊙O上有C，D两点，过点C作⊙O的切线CE，连接AD并延长交CE于点E，连接AC，AC平分∠BAD．
（1）求证：∠AEC＝90°．
（2）若AD＝6，CE＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图，连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，再证明∠DAC＝∠OCA得到OC∥AE，然后根据平行线的性质得到∠AEC的度数；
（2）如图，连接BD，设OC与BD交于点H．根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再判断四边形CEDH为矩形，所以DH＝CE＝2，∠CHD＝90°，接着根据垂径定理得到BH＝DH＝CE＝2，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵CE切⊙O于点C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∴∠AEC＝180°﹣∠OCE＝90°；
（2）解：如图，连接BD，设OC与BD交于点H．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∵∠EDB＝∠OCE＝∠AEC＝90°，
∴四边形CEDH为矩形，
∴DH＝CE＝2，∠CHD＝90°，
∴OH⊥BD，
∴BH＝DH＝CE＝2，
∴BD＝4．
在Rt△ABD中，∵AD＝6，BD＝4，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和垂径定理．
25．（8分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y的图象经过点（1，﹣2），求函数y的表达式；
（2）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
【分析】（1）将点（1，﹣2）代入y＝（x+a）（x﹣a﹣1）中，可得a的值，从而得函数y的表达式；
（2）解法一：先求对称轴，确定（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，分两种情况：①当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，②当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，可得结论；解法二：求出函数值m，n，根据m＜n，构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）函数y的图象经过点（1，﹣2），
得：（a+1）（﹣a）＝﹣2，
解得：a1＝﹣2，a2＝1，
当a＝﹣2时，函数y的表达式y＝（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y＝x2﹣x﹣2；
当a＝1时，函数y的表达式y＝（x+1）（x﹣2）化简，得y＝x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y的表达式y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y的对称轴为：＝，
∴（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
解法二：也可以求出函数值m，n，根据m＜n，构建不等式求解即可．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
26．（10分）问题提出
（1）将线段AB平移至线段A1B1，则线段AA1与线段BB1的数量关系是 相等 ，位置关系是 平行 ．
问题研究
（2）如图1，正方形ABCD的边长为4，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为多少？
问题解决
（3）如图2，有一块三角形余料ABC，∠A＝30°，AB＝10．工人师傅想利用余料裁一个△BCD，要求D在AC上，且CD＝3，请问能否裁出一个周长最小的△BCD？如果能，请求出周长的最小值，并说明理由．
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）作出辅助线，利用平移的性质求得四边形EFHA是平行四边形，结合正方形的性质，等量代换，根据勾股定理求得CH，从而得到AE+AF的最小值；
（3）作点B关于AC的对称点B'，连接 AB'，DB'，BB'，作B'C'∥DC，且B'C'＝DC，四边形B′C′CD是平行四边形，∠BAB'＝60°，△ABB'为等边三角形，B'C'∥CD，DB'＝CC'＝BD，B'C'⊥B'B，∠BB'C'＝90°，要求△BCD的周长最小，即求（BC+BD）最小，当点B，C′，C共线时，BC+CC'的值最小，即求BC'的长，进而作答即可．
【解答】解：（1）∵线段AB平移至线段A1B1，
∴AB＝A1B1，AB∥A1B1，
故答案为：相等；平行；
（2）如图1，过点A作AH∥BD，且使AH＝2，
连接CH交BD于点F，则此时AE+AF的值最小，
连接AC，
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形AEFH是平行四边形，
∴EA＝FH，
∵FA＝FC，
∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴AC⊥BD，AC＝4，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，
CH＝＝＝6，
∴AE+AF的最小值为6；
（3）能，
理由：如图2，作点B关于AC的对称点B'，连接 AB'，DB'，BB'，
作B'C'∥DC，且B'C'＝DC＝3，
∴四边形B′C′CD是平行四边形，
由对称得AB'＝AB，DB＝DB'，
∠CAB'＝∠CAB＝30°，AC⊥BB'，
∴∠BAB'＝60°，△ABB'为等边三角形，
∴BB'＝AB＝10，
∵四边形 B'C'CD是平行四边形，
∴B'C'∥CD，DB'＝CC'＝BD，
∴B'C'⊥B'，∠BB'C'＝90°，
∵△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+3，
∴要求△BCD的周长最小，即求（BC+BD）最小，
∵BC+BD＝BC+CC'，
∴如图3，当点B，C，C′共线时，BC+CC'的值最小，即求BC′的长，
在Rt△BB'C'中BC′＝＝，
∴△BCD周长的最小值是+3．
【点评】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是根据题意，作辅助线．进价/x（元/台）
…
400
500
…
售价/y（元/台）
…
600
720
…
成绩x/分
频数/人
频率
A.90≤x≤100
8
0.2
B.80≤x＜90
m
0.3
C.70≤x＜80
10
n
D.60≤x＜70
6
0.15
E．x＜60
4
0.1
赵老师刘老师
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
进价/x（元/台）
…
400
500
…
售价/y（元/台）
…
600
720
…
成绩x/分
频数/人
频率
A.90≤x≤100
8
0.2
B.80≤x＜90
m
0.3
C.70≤x＜80
10
n
D.60≤x＜70
6
0.15
E．x＜60
4
0.1
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
2．（3分）下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算结果是a6的式子是（ ）
A．a2+a3B．a2•a3C．（a2）3D．a12÷a2
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，过点A作EF∥BC，则∠FAC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．（3分）如图所示，增加下列一个条件可以使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．∠BAD＝∠BCDB．AC⊥BDC．∠BAD＝90°D．AB＝BC
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移5个单位长度后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣5D．5
7．（3分）如图，矩形ABCD内接于⊙O，若，，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．2C．D．
8．（3分）将抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）向右平移2个单位长度后得到一条新的抛物线，若点P（﹣1，y1），Q（0，y2），M（1，y3），N（2，y4）都在新抛物线上，则y1，y2，y3，y4的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3＜y4B．y1＜y2＝y4＜y3
C．y1＜y2＝y3＜y4D．y1＜y2＜y3＝y4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小：﹣8 ﹣9（填“＞”、“＝”或“＜“）．
10．（3分）正十二边形的一个内角的度数为 ．
11．（3分）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳．如图，主持人现站在10米舞台PQ的左边端点P处，那她要站在最佳位置处时至少要走 米（黄金分割比近似值为0.618，结果精确到小数点后1位）．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与两个正比例函数图象交于A，B，C，D四点．若点B的坐标为（4，3），点A的纵坐标为6，则点C的坐标是 ．
13．（3分）如图，在平面内有四点A，B，C，D，其中AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，若∠BDC＝90°，则AD的最大值是 ．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）解方程：．
17．（5分）尺规作图：如图，在△ABC中，请用尺规作图的方法在AC上找一点D，使得BD平分∠ABC．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，E，F分别为▱ABCD的边AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，连接EG，HF．求证：△BFH≌△DEG．
19．（5分）以“千年宝地、一马当先”为主题的2023宝鸡马拉松分为三类：全马，半马，欢乐跑．它们的起终点一样，折返点分别是全马神农大桥、半马游泳跳水馆、欢乐跑银泰城．此次马拉松一共有1650人报名志愿者．
（1）赵老师报名志愿者被随机分到欢乐跑折返点的概率是 ．
（2）赵老师和刘老师都报名志愿者，两人被分到同一个折返点的概率是多少？
20．（5分）直播带货是目前比较流行的网销方式，双十一期间某平台直播间某商品标价500元/件，打6折出售仍可获得20%的利润，求该商品每件的进价．
21．（6分）小明利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的A处用测角仪测得楼房顶端D的仰角为30°，向楼房前行30m在B处测得楼房顶端D的仰角为60°，已知测角仪的高度是1.5m（A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果保留一位小数）
22．（7分）某商家购进不同型号的空气净化器，每种空气净化器的售价y（元/台）与进价x（元/台）满足一次函数关系，部分数据如表．
（1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）．
（2）若某型号的空气净化器的售价为1080元/台，则该型号的空气净化器每台的利润是多少元？
23．（7分）某中学在全校范围开展“创文创卫我知晓”的答题活动（满分100分），现随机抽取了部分参赛学生的成绩进行调查，下面是根据调查情况绘制的统计表．
注：其中成绩在“B.80≤x＜90”的最低分为82分，成绩在“C.70≤x＜80”的最高分为78分．
请根据表格信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ．
（2）本次抽取的学生成绩的中位数为 分．
（3）若参与本次答题活动的学生共860人，试估计成绩在70分及以上的学生人数．
24．（8分）如图，以AB为直径的⊙O上有C，D两点，过点C作⊙O的切线CE，连接AD并延长交CE于点E，连接AC，AC平分∠BAD．
（1）求证：∠AEC＝90°．
（2）若AD＝6，CE＝2，求⊙O的半径．
25．（8分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y的图象经过点（1，﹣2），求函数y的表达式；
（2）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
26．（10分）问题提出
（1）将线段AB平移至线段A1B1，则线段AA1与线段BB1的数量关系是 ，位置关系是 ．
问题研究
（2）如图1，正方形ABCD的边长为4，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为多少？
问题解决
（3）如图2，有一块三角形余料ABC，∠A＝30°，AB＝10．工人师傅想利用余料裁一个△BCD，要求D在AC上，且CD＝3，请问能否裁出一个周长最小的△BCD？如果能，请求出周长的最小值，并说明理由．
2024年陕西省榆林市子洲县周家硷中学中考数学模拟试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024，
故选：A．
【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．（3分）下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．
【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）下列计算结果是a6的式子是（ ）
A．a2+a3B．a2•a3C．（a2）3D．a12÷a2
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故该项不正确，不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故该项正确，符合题意；
D、a12÷a2＝a10，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，过点A作EF∥BC，则∠FAC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】先根据三角形内角和定理和已知角的度数求出∠C，再根据平行线的性质求出∠FAC的度数即可．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠C＝30°，
∵EF∥BC，
∴∠FAC＝∠C＝30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和平行线的性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．
5．（3分）如图所示，增加下列一个条件可以使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．∠BAD＝∠BCDB．AC⊥BDC．∠BAD＝90°D．AB＝BC
【分析】由矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向上平移5个单位长度后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣5D．5
【分析】根据题意得出直线y＝2x+b向上平移5个单位长度后的解析式，再将原点坐标代入即可解决问题．
【解答】解：由题知，
直线y＝2x+b沿y轴向上平移5个单位长度后的解析式为y＝2x+b+5，
因为平移后的直线经过原点，
所以b+5＝0，
解得b＝﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，能正确表示出平移后的直线解析式是解题的关键．
7．（3分）如图，矩形ABCD内接于⊙O，若，，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．2C．D．
【分析】连接AC，由矩形的性质得到∠B＝90°，由圆周角定理推出AC是圆的直径，由勾股定理求出AC＝＝2，即可得到⊙O的半径长．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC是圆的直径，
∵，，
∴AC＝＝2，
∴⊙O的半径为．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，关键是由圆周角定理判定AC是圆的直径，由勾股定理求出AC的长．
8．（3分）将抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）向右平移2个单位长度后得到一条新的抛物线，若点P（﹣1，y1），Q（0，y2），M（1，y3），N（2，y4）都在新抛物线上，则y1，y2，y3，y4的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3＜y4B．y1＜y2＝y4＜y3
C．y1＜y2＝y3＜y4D．y1＜y2＜y3＝y4
【分析】根据题意得出平移后所得抛物线的解析式，再结合抛物线的开口方向及四个点离对称轴的远近即可解决问题．
【解答】解：∵，
∴原抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
则平移后所得新抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵a＜0，
∴平移后所得新抛物线的开口向下，
则新抛物线上的点，离对称轴越远，点的纵坐标越小．
∵1﹣（﹣1）＝2，1﹣0＝1，1﹣1＝0，2﹣1＝1，且2＞1＝1＞0，
∴y1＜y2＝y4＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小：﹣8 ＞ ﹣9（填“＞”、“＝”或“＜“）．
【分析】本题为简单的比较大小问题，直接进行比较即可．
【解答】解：∴|﹣8|＝8，|﹣9|＝9，
∴8＜9，
∴﹣8＞﹣9．
故答案为：＞．
【点评】本题考查简单的有理数比较大小，对题中数字进行比较即可．
10．（3分）正十二边形的一个内角的度数为 150° ．
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是：＝30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是关键．
11．（3分）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳．如图，主持人现站在10米舞台PQ的左边端点P处，那她要站在最佳位置处时至少要走 3.8 米（黄金分割比近似值为0.618，结果精确到小数点后1位）．
【分析】设主持人站的位置距离点Q的距离为x米，根据黄金分割的定义，建立关于x的方程即可解决问题．
【解答】解：设主持人站的位置与点Q的距离为x米，
则，
解得x＝6.18，
所以10﹣6.18＝3.82≈3.8（米），
故主持人站的最佳位置时至少要走3.8米．
故答案为：3.8．
【点评】本题考查黄金分割及近似数和有效数字，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与两个正比例函数图象交于A，B，C，D四点．若点B的坐标为（4，3），点A的纵坐标为6，则点C的坐标是 （﹣2，﹣6） ．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出A点坐标，再由正比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：设A（m，6），
∵点B的坐标为（4，3），点A与点B在同一个反比例函数的图象上，
∴4×3＝6m，
解得m＝2，
∴A（2，6），
∵点A，C是正比例函数与反比函数在不同象限的交点，
∴A，C两点关于原点对称，
∴C（﹣2，﹣6）．
故答案为：（﹣2，﹣6）．
【点评】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，熟知反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称是解题的关键．
13．（3分）如图，在平面内有四点A，B，C，D，其中AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，若∠BDC＝90°，则AD的最大值是 3+3 ．
【分析】先证△ABC是等边三角形，可得BC＝6，由∠BDC＝90°，可得点D在以BC为直径的圆上运动，则当点D'在线段AO的延长线上时，AD'有最大值，由等边三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，连接BC，取BC的中点O，
∵AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝6，
∵∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的圆上运动，
∴当点D'在线段AO的延长线上时，AD'有最大值，
∵△ABC是等边三角形，BO＝CO，
∴AO⊥BC，
∴AO＝＝＝3，
∴AD的最大值＝AO+D'O＝3+3．
故答案为：3+3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理等知识，确定点D的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：．
【分析】根据实数和负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣+
＝2﹣3+
＝﹣1+．
【点评】本题考查的是实数的运算，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，算术平方根，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
15．（5分）解不等式组：．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣2；
解不等式②，得：x≥﹣6，
∴该不等式组的解集是x＞﹣2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
16．（5分）解方程：．
【分析】方程两边都乘x（x﹣1）得出x（x﹣1）﹣x（x﹣5）＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘x（x﹣1），得x（x﹣1）﹣x（x﹣5）＝2（x﹣1），
x2﹣x﹣x2+5x＝2x﹣2，
x2﹣x﹣x2+5x﹣2x＝﹣2，
2x＝﹣2，
x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x﹣1）≠0，
所以分式方程的解为x＝﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
17．（5分）尺规作图：如图，在△ABC中，请用尺规作图的方法在AC上找一点D，使得BD平分∠ABC．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作BD平分∠ABC交AC于点D．
【解答】解：如图，点D即为所求作的点．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
18．（5分）如图，E，F分别为▱ABCD的边AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH，连接EG，HF．求证：△BFH≌△DEG．
【分析】由平行四边形的性质推出BC∥AD，BC＝AD，由平行线的性质推出∠HBF＝∠GDE．由线段中点定义得到BF＝DE，由BG＝DH，得到 BH＝DG，即可证明△BFH≌△DEG（SAS）．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∴∠HBF＝∠GDE．
∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴BF＝DE，
∵BG＝DH，
∴BG+GH＝DH+GH，
∴BH＝DG，
在△BFH 和△DEG 中，
，
∴△BFH≌△DEG（SAS）．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS．
19．（5分）以“千年宝地、一马当先”为主题的2023宝鸡马拉松分为三类：全马，半马，欢乐跑．它们的起终点一样，折返点分别是全马神农大桥、半马游泳跳水馆、欢乐跑银泰城．此次马拉松一共有1650人报名志愿者．
（1）赵老师报名志愿者被随机分到欢乐跑折返点的概率是 ．
（2）赵老师和刘老师都报名志愿者，两人被分到同一个折返点的概率是多少？
【分析】（1）直接运用概率公式解答即可；
（2）先列表得出所有等情况数和两人恰好分到同一个折返点的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）赵老师报名志愿者被随机分到欢乐跑折返点的概率是．
故答案为：；
（2）记全马神农大桥、半马游泳跳水馆、欢乐跑银泰城三个折返点分别为A，B，C，则列表
如下：
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中两人被分到同一个折返点的结果有3种，
∴P（两人被分到同一个折返点）＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（5分）直播带货是目前比较流行的网销方式，双十一期间某平台直播间某商品标价500元/件，打6折出售仍可获得20%的利润，求该商品每件的进价．
【分析】设该商品的进价是x元/件，利用利润＝售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该商品的进价是x元/件，
根据题意得：500×0.6﹣x＝20%x，
解得：x＝250．
答：该商品的进价是250元/件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
21．（6分）小明利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的A处用测角仪测得楼房顶端D的仰角为30°，向楼房前行30m在B处测得楼房顶端D的仰角为60°，已知测角仪的高度是1.5m（A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果保留一位小数）
【分析】根据题意可得：MN＝AB＝30m，AM＝BN＝CE＝1.5m，ME⊥CD，然后利用三角形的外角性质可得∠MDN＝∠DMN＝30°，从而可得MN＝DN＝30m，最后在Rt△DNE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：MN＝AB＝30m，AM＝BN＝CE＝1.5m，ME⊥CD，
∵∠DNE是△DMN的一个外角，∠DNE＝60°，∠DMN＝30°，
∴∠MDN＝∠DNE﹣∠DMN＝60°﹣30°＝30°，
∴∠MDN＝∠DMN＝30°，
∴MN＝DN＝30m，
在Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝30×＝15（m），
∴DC＝DE+CE＝15+1.5≈27.5（m），
∴楼房CD的高度约为27.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（7分）某商家购进不同型号的空气净化器，每种空气净化器的售价y（元/台）与进价x（元/台）满足一次函数关系，部分数据如表．
（1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）．
（2）若某型号的空气净化器的售价为1080元/台，则该型号的空气净化器每台的利润是多少元？
【分析】（1）先设出y与x的函数关系式，然后根据表格中的数据，即可求得y与x的函数关系式；
（2）将y＝1080代入（1）中的函数解析式，求出相应的x的值，然后作差，即可求得该型号的空气净化器每台的利润是多少元．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（400，600），（500，720）在函数图象上，
，
解得，
即y与x的函数关系式是y＝1.2x+120；
（2）当y＝1080时，
1080＝1.2x+120，
解得x＝800，
1080﹣800＝280（元），
答：该型号空气净化器每台的利润为280元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
23．（7分）某中学在全校范围开展“创文创卫我知晓”的答题活动（满分100分），现随机抽取了部分参赛学生的成绩进行调查，下面是根据调查情况绘制的统计表．
注：其中成绩在“B.80≤x＜90”的最低分为82分，成绩在“C.70≤x＜80”的最高分为78分．
请根据表格信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 12 ，n＝ 0.25 ．
（2）本次抽取的学生成绩的中位数为 80 分．
（3）若参与本次答题活动的学生共860人，试估计成绩在70分及以上的学生人数．
【分析】（1）由A组的人数除以频率得出本次抽取的样本容量，即可解决问题；
（2）由中位数的定义求解即可；
（3）由本次活动参赛学生人数乘以成绩在70分以上（包含70分）的学生人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）本次抽取的样本容量为：8÷0.2＝40，
∴m＝40×0.3＝12，n＝10÷40＝0.25，
故答案为：12，0.25；
（2）∵样本容量为40，12+8＝20，中位数为在B组（80≤x＜90）的最低分和成绩在C组（70≤x＜80）的最高分的平均数，
∴本次抽取的学生成绩的中位数为＝80（分），
故答案为：80；
（3）估计成绩在70分及以上的学生人数为：860×（0.2+0.3+0.25）＝645（人），
答：估计成绩在70分及以上的学生人数为645人．
【点评】此题考查了中位数、样本估计总体以及频数分布表等知识．解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（8分）如图，以AB为直径的⊙O上有C，D两点，过点C作⊙O的切线CE，连接AD并延长交CE于点E，连接AC，AC平分∠BAD．
（1）求证：∠AEC＝90°．
（2）若AD＝6，CE＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图，连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，再证明∠DAC＝∠OCA得到OC∥AE，然后根据平行线的性质得到∠AEC的度数；
（2）如图，连接BD，设OC与BD交于点H．根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再判断四边形CEDH为矩形，所以DH＝CE＝2，∠CHD＝90°，接着根据垂径定理得到BH＝DH＝CE＝2，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵CE切⊙O于点C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∴∠AEC＝180°﹣∠OCE＝90°；
（2）解：如图，连接BD，设OC与BD交于点H．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∵∠EDB＝∠OCE＝∠AEC＝90°，
∴四边形CEDH为矩形，
∴DH＝CE＝2，∠CHD＝90°，
∴OH⊥BD，
∴BH＝DH＝CE＝2，
∴BD＝4．
在Rt△ABD中，∵AD＝6，BD＝4，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和垂径定理．
25．（8分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y的图象经过点（1，﹣2），求函数y的表达式；
（2）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
【分析】（1）将点（1，﹣2）代入y＝（x+a）（x﹣a﹣1）中，可得a的值，从而得函数y的表达式；
（2）解法一：先求对称轴，确定（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，分两种情况：①当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，②当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，可得结论；解法二：求出函数值m，n，根据m＜n，构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）函数y的图象经过点（1，﹣2），
得：（a+1）（﹣a）＝﹣2，
解得：a1＝﹣2，a2＝1，
当a＝﹣2时，函数y的表达式y＝（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y＝x2﹣x﹣2；
当a＝1时，函数y的表达式y＝（x+1）（x﹣2）化简，得y＝x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y的表达式y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y的对称轴为：＝，
∴（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
解法二：也可以求出函数值m，n，根据m＜n，构建不等式求解即可．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
26．（10分）问题提出
（1）将线段AB平移至线段A1B1，则线段AA1与线段BB1的数量关系是 相等 ，位置关系是 平行 ．
问题研究
（2）如图1，正方形ABCD的边长为4，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为多少？
问题解决
（3）如图2，有一块三角形余料ABC，∠A＝30°，AB＝10．工人师傅想利用余料裁一个△BCD，要求D在AC上，且CD＝3，请问能否裁出一个周长最小的△BCD？如果能，请求出周长的最小值，并说明理由．
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）作出辅助线，利用平移的性质求得四边形EFHA是平行四边形，结合正方形的性质，等量代换，根据勾股定理求得CH，从而得到AE+AF的最小值；
（3）作点B关于AC的对称点B'，连接 AB'，DB'，BB'，作B'C'∥DC，且B'C'＝DC，四边形B′C′CD是平行四边形，∠BAB'＝60°，△ABB'为等边三角形，B'C'∥CD，DB'＝CC'＝BD，B'C'⊥B'B，∠BB'C'＝90°，要求△BCD的周长最小，即求（BC+BD）最小，当点B，C′，C共线时，BC+CC'的值最小，即求BC'的长，进而作答即可．
【解答】解：（1）∵线段AB平移至线段A1B1，
∴AB＝A1B1，AB∥A1B1，
故答案为：相等；平行；
（2）如图1，过点A作AH∥BD，且使AH＝2，
连接CH交BD于点F，则此时AE+AF的值最小，
连接AC，
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形AEFH是平行四边形，
∴EA＝FH，
∵FA＝FC，
∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴AC⊥BD，AC＝4，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，
CH＝＝＝6，
∴AE+AF的最小值为6；
（3）能，
理由：如图2，作点B关于AC的对称点B'，连接 AB'，DB'，BB'，
作B'C'∥DC，且B'C'＝DC＝3，
∴四边形B′C′CD是平行四边形，
由对称得AB'＝AB，DB＝DB'，
∠CAB'＝∠CAB＝30°，AC⊥BB'，
∴∠BAB'＝60°，△ABB'为等边三角形，
∴BB'＝AB＝10，
∵四边形 B'C'CD是平行四边形，
∴B'C'∥CD，DB'＝CC'＝BD，
∴B'C'⊥B'，∠BB'C'＝90°，
∵△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+3，
∴要求△BCD的周长最小，即求（BC+BD）最小，
∵BC+BD＝BC+CC'，
∴如图3，当点B，C，C′共线时，BC+CC'的值最小，即求BC′的长，
在Rt△BB'C'中BC′＝＝，
∴△BCD周长的最小值是+3．
【点评】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是根据题意，作辅助线．进价/x（元/台）
…
400
500
…
售价/y（元/台）
…
600
720
…
成绩x/分
频数/人
频率
A.90≤x≤100
8
0.2
B.80≤x＜90
m
0.3
C.70≤x＜80
10
n
D.60≤x＜70
6
0.15
E．x＜60
4
0.1
赵老师刘老师
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
进价/x（元/台）
…
400
500
…
售价/y（元/台）
…
600
720
…
成绩x/分
频数/人
频率
A.90≤x≤100
8
0.2
B.80≤x＜90
m
0.3
C.70≤x＜80
10
n
D.60≤x＜70
6
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E．x＜60
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