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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件说课ppt课件
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件说课ppt课件，共51页。PPT课件主要包含了充要条件，充分不必要，既不充分也不必要，充要条件的证明，3＋∞，完成课后相关练习等内容，欢迎下载使用。
1.充分条件、必要条件
我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”① 的命题，例如：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(2) 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3) 如果x>2，那么x>3；(4) 如果 a>b且c>0，那么ac>bc.
①“如果p，那么q”也常常记为“如果 p，则q”或“若p，则q”.
在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论。若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作
而 (3) 是一个假命题，即x>2 推不出x>3，这也可记作
“如果p，那么q”是真命题，
p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件，
这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已。
又如，因为命题“若A∩B≠∅，则 A ≠∅”是真命题，所以
A∩B ≠∅ _________A≠∅,A∩B ≠∅是A≠∅的 _________条件,A≠∅是A∩B ≠∅的 _________条件。
例1 判断下列各题中，p 是否是 q 的充分条件，q是否是p的必要条件：(1) p：x∈Z，q： x∈R；(2) p：x是矩形，q：x是正方形。
充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解.
设A={x|x≥0}，B={x|x>－1}，则不难看出，A 是 B 的子集(如图所示)，即A⊆B.
另外，“如果x≥0，那么x>－1”是真命题，也就是说
充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关。
例如，“如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以看成一个判定定理。这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数。不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件，上例中，“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件。
而“矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理。这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等。不难看出，性质定理实际上给出了一个必要条件，上例中，“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件。
例2 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，写出其中涉及的充分条件或必要条件:(1)形如 y=ax2(a 是非零常数)的函数是二次函数；(2) 菱形的对角线互相垂直。
解：(1)这可以看成一个判定定理，因此“y=ax2 (a 是非零常数)的函数”是“这个函数是二次函数”的_______条件。(2) 这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的_______条件。
思考：用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤是什么？提示：(1)判定“若p，则q”的真假。(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件。(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。
我们已经知道，因为 x>3 x>2，所以x>3是x>2的_________条件，又因为 x>2 x>3，所以x>3 不是 x>2 的必要条件，把这两方面综合起来，可以说成x>3 是 x>2 的充分不必要条件。一般地，如果 p q 且q p，则称p是q的充分不必要条件。
此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”
当然， p是q的充要条件时，q也是p的充要条件。
例3. 在△ABC中，判断∠B= ∠C 是否是AC=AB 的充要条件。解：因为“在三角形中，等角对等边”，所以∠B=∠C AC=AB;又因为“在三角形中，等边对等角”，所以AC=AB ∠B=∠C从而∠B= ∠C AC=AB，因此△ABC 中， ∠B= ∠C是AC=AB的充要条件。
从集合的观点来看，如果 A={x| p(x}，B={x|q(x)}，且A=B则 p(x) q(x)，因此也就有 p(x)是 q(x)的充要条件。例如，当A={x|x≤0}，B= {x | | x |=－ x} 时，不难看出A=B，因此x≤0 |x|=－x，也就是说x≤0 是|x|=－ x 的__________条件,x≤0与|x|=－x等价，x≤ 0当且仅当 |x|=－x.
另外，充要条件与数学中的定义有关。例如，“三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形；反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等。不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件，上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件。
注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件，因此我们也可以将等边三角形定义为：“三个角都相等的三角形称为等边三角形。”
需要补充的是，除了上面提到的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件，还存在p既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件的情形，例如，当 p：x>0，q：x²>2 时就是如此。
1．“a＋b<0”是“a<0，b<0”的( )A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是( )A．x<0，y<0 B．x<0，y>0C．x>0，y>0 D．x>0，y<0解析：第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0。
3．命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的( )A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件解析：由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件。
4．设集合M＝(0,3]，N＝(0,2]，那么“a∈M”是“a∈N”的_______条件。
5．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的_______条件。
充分条件、必要条件、充要条件的判断
指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)。(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(4)p：a>b，q：ac>bc.
归纳提升：充分条件、必要条件、充要条件的判断方法1．定义法(1)分清哪个是条件，哪个是结论。(2)判断“如果p，那么q”及“如果q，那么p”的真假。(3)根据(2)得出结论。2．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断。
3．等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题。4．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题。
证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.思路探究：分清充分性与必要性，理清证明方向。
归纳提升：充要条件的证明思路证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明。以证明“p成立的充要条件为q”为例。(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q。证明的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求。
已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(※)，判断a＋b＋c＝0是否是方程(※)有一个根为1的充要条件．证明：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程(※)有一个根为1，所以a＋b＋c＝0⇒方程(※)有一个根为1，
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.所以方程(※)有一个根为1⇒a＋b＋c＝0，从而a＋b＋c＝0⇔方程(※)有一个根为1，因此a＋b＋c＝0是方程(※)有一个根为1的充要条件。
利用充分、必要、充要条件求参数范围
若p：0
使不等式(2x＋1)(x－3)≥0成立的一个充分不必要条件 ( )
混淆充分条件与必要条件
误区警示：在解答问题时务必看清题干中的问题，明确哪个是条件，哪个是结论，然后根据充分、必要、充要条件的概念进行判断。
命题成立的充分、必要、充要条件的探求问题
(1)寻求充分、必要条件的思路①寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p；②寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p。
(2)充要条件的探求方法①探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：方法一：先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立。方法二：变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件。②求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解，一是充分性，二是必要性。③在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集。
x∈(0,2)成立的一个必要不充分条件是( )A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)
1.充分条件、必要条件
我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”① 的命题，例如：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(2) 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3) 如果x>2，那么x>3；(4) 如果 a>b且c>0，那么ac>bc.
①“如果p，那么q”也常常记为“如果 p，则q”或“若p，则q”.
在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论。若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作
而 (3) 是一个假命题，即x>2 推不出x>3，这也可记作
“如果p，那么q”是真命题，
p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件，
这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已。
又如，因为命题“若A∩B≠∅，则 A ≠∅”是真命题，所以
A∩B ≠∅ _________A≠∅,A∩B ≠∅是A≠∅的 _________条件,A≠∅是A∩B ≠∅的 _________条件。
例1 判断下列各题中，p 是否是 q 的充分条件，q是否是p的必要条件：(1) p：x∈Z，q： x∈R；(2) p：x是矩形，q：x是正方形。
充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解.
设A={x|x≥0}，B={x|x>－1}，则不难看出，A 是 B 的子集(如图所示)，即A⊆B.
另外，“如果x≥0，那么x>－1”是真命题，也就是说
充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关。
例如，“如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以看成一个判定定理。这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数。不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件，上例中，“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件。
而“矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理。这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等。不难看出，性质定理实际上给出了一个必要条件，上例中，“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件。
例2 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，写出其中涉及的充分条件或必要条件:(1)形如 y=ax2(a 是非零常数)的函数是二次函数；(2) 菱形的对角线互相垂直。
解：(1)这可以看成一个判定定理，因此“y=ax2 (a 是非零常数)的函数”是“这个函数是二次函数”的_______条件。(2) 这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的_______条件。
思考：用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤是什么？提示：(1)判定“若p，则q”的真假。(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件。(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。
我们已经知道，因为 x>3 x>2，所以x>3是x>2的_________条件，又因为 x>2 x>3，所以x>3 不是 x>2 的必要条件，把这两方面综合起来，可以说成x>3 是 x>2 的充分不必要条件。一般地，如果 p q 且q p，则称p是q的充分不必要条件。
此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”
当然， p是q的充要条件时，q也是p的充要条件。
例3. 在△ABC中，判断∠B= ∠C 是否是AC=AB 的充要条件。解：因为“在三角形中，等角对等边”，所以∠B=∠C AC=AB;又因为“在三角形中，等边对等角”，所以AC=AB ∠B=∠C从而∠B= ∠C AC=AB，因此△ABC 中， ∠B= ∠C是AC=AB的充要条件。
从集合的观点来看，如果 A={x| p(x}，B={x|q(x)}，且A=B则 p(x) q(x)，因此也就有 p(x)是 q(x)的充要条件。例如，当A={x|x≤0}，B= {x | | x |=－ x} 时，不难看出A=B，因此x≤0 |x|=－x，也就是说x≤0 是|x|=－ x 的__________条件,x≤0与|x|=－x等价，x≤ 0当且仅当 |x|=－x.
另外，充要条件与数学中的定义有关。例如，“三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形；反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等。不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件，上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件。
注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件，因此我们也可以将等边三角形定义为：“三个角都相等的三角形称为等边三角形。”
需要补充的是，除了上面提到的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件，还存在p既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件的情形，例如，当 p：x>0，q：x²>2 时就是如此。
1．“a＋b<0”是“a<0，b<0”的( )A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是( )A．x<0，y<0 B．x<0，y>0C．x>0，y>0 D．x>0，y<0解析：第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0。
3．命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的( )A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件解析：由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件。
4．设集合M＝(0,3]，N＝(0,2]，那么“a∈M”是“a∈N”的_______条件。
5．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的_______条件。
充分条件、必要条件、充要条件的判断
指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)。(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(4)p：a>b，q：ac>bc.
归纳提升：充分条件、必要条件、充要条件的判断方法1．定义法(1)分清哪个是条件，哪个是结论。(2)判断“如果p，那么q”及“如果q，那么p”的真假。(3)根据(2)得出结论。2．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断。
3．等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题。4．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题。
证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.思路探究：分清充分性与必要性，理清证明方向。
归纳提升：充要条件的证明思路证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明。以证明“p成立的充要条件为q”为例。(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q。证明的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求。
已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(※)，判断a＋b＋c＝0是否是方程(※)有一个根为1的充要条件．证明：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程(※)有一个根为1，所以a＋b＋c＝0⇒方程(※)有一个根为1，
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.所以方程(※)有一个根为1⇒a＋b＋c＝0，从而a＋b＋c＝0⇔方程(※)有一个根为1，因此a＋b＋c＝0是方程(※)有一个根为1的充要条件。
利用充分、必要、充要条件求参数范围
若p：0
使不等式(2x＋1)(x－3)≥0成立的一个充分不必要条件 ( )
混淆充分条件与必要条件
误区警示：在解答问题时务必看清题干中的问题，明确哪个是条件，哪个是结论，然后根据充分、必要、充要条件的概念进行判断。
命题成立的充分、必要、充要条件的探求问题
(1)寻求充分、必要条件的思路①寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p；②寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p。
(2)充要条件的探求方法①探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：方法一：先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立。方法二：变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件。②求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解，一是充分性，二是必要性。③在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集。
x∈(0,2)成立的一个必要不充分条件是( )A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)
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