必修 第一册1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定课文内容ppt课件

这是一份必修 第一册1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定课文内容ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了命题的否定，∃x∈Rx²＜0，存在量词命题的否定，全称量词命题的否定，完成课后相关练习等内容，欢迎下载使用。

尝试与发现你能说出命题s：“3的相反数是－3”和t:“3的相反数不是－3”这两个命题之间的关系吗？它们的真假性如何？
可以发现，命题 s 是对命题 t 的否定，命题 t 也是对命题s的否定。而且，s 是真命题，t 是假命题。一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬ p”，读作“非 p”或“p的否定”。
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然。
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
下面我们来探讨如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定。若记s:“存在整数是自然数”，则不难看出，这个命题的否定是¬ s:“不存在整数是自然数”。这里的命题 s 实际上是个存在量词命题，而且可以用符号表示为
s: ∃x∈Z， x∈N
而命题¬s可以表述为“每一个整数都不是自然数”，因此¬s是一个全称量词命题，可以用符号表示为
¬s: ∀x∈Z， x ∉ N
显然，这里的 s 是一个真命题，而¬s是一个假命题。
若记r:“存在实数的平方小于0”，则不难看出，这个命题的否定是¬r :“不存在实数的平方小于 0”。这里的命题 r 也是一个存在量词命题，而且可以用符号表示为
r：______________
而命题¬r 可以表述为“每一个实数的平方都不小于0”，因此¬r是一个全称量词命题，可以用符号表示为
¬r：______________
显然，这里的r是一个_______命题，而¬r是一个______命题
∀x∈R， x² ≥ 0
一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题
∀x∈M，¬p(x)　
若记s:“每一个有理数都是实数”，则不难看出，这个命题的否定是¬s:“不是每一个有理数都是实数”。这里的命题s实际上是一个全称量词命题，而且可以用符号表示为
s: ∀x∈Q， x ∈ R
¬s: ∃x∈Q， x ∉ R
而命题 ¬s 可以表述为“存在一个有理数不是实数”，因此¬s 是一个存在量词命题，可以用符号表示为
显然，这里的 s 是一个真命题，而¬s 是一个假命题。
尝试与发现记 r：“每一个素数都是奇数”，用类似的方法，研究r和¬ r的关系、符号表示以及真假性。
若用 A 表示所有素数组成的集合，B 表示所有奇数组成的集合，则
r：∀x∈A， x∈B¬r: ∃x∈A ，x ∉ B
因为 2 是素数且 2 不是奇数，所以 r 是假命题， ¬r是真命题。
一般地，全称量词命题“∀x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题
∃x∈M，¬q(x)　
思考：写全称量词命题的否定和存在量词命题的否定应注意什么？提示：(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是对全称量词命题否定的关键。(2)存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定时既要否定存在量词，又要否定性质，所以找出存在量词，明确命题所提供的性质是对存在量词命题否定的关键。
例1 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1) p: ∀x∈R，x²≥－1;
(3) s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形。
解：(1) ¬p: ∃x∈R，x²＜－1，由p是真命题可知¬p是假命题。
(3) ¬s:所有直角三角形都是等腰三角形。因为有一个内角为 30°的直角三角形不是等腰三角形，所以¬s是假命题。
例2 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)p: ∃a∈R ，一次函数 y=x十a的图象经过原点。(2)q: ∀x∈(－3，＋∞)，x²＞9。
解：(1) ¬p：∀x∈R，一次函数 y=x+a的图象不经过原点。因为当a=0 时，一次函数 y=x+a 的图象经过原点，所以¬p是___________命题。(2) ¬q: ∃x∈(－3，＋∞) ，x²≤9。因为x=0 时，x²=0<9，所以¬q是真命题。
1.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0解析：命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”是全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以命题的否定是∃x∈R，|x|＋x2<0。
2．“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”的否定是(　　)A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020C．∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020D．以上都不对解析：命题“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题的否定是∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020。
3．设命题p：∀x∈(－1,1)，|x|<1，则¬p为(　 　)A．∃x∈(－1,1)，|x|<1　B．∃x∈(－1,1)，|x|≥1C．∀x∈(－1,1)，|x|≥1　D．∀x∉(－1,1)，|x|≥1解析：命题p是全称量词命题，其否定¬p为∃x∈(－1,1)，|x|≥1.
4．设命题p：有些三角形是直角三角形，则¬p为___________________________。解析：命题p是存在量词命题，¬p为任意三角形不是直角三角形。5．命题“∃x<1使得x2≥1”是_____命题。(选填“真”或“假”)
任意三角形不是直角三角形　
写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假。
思路探究：把存在量词改为全称量词，然后否定结论。
归纳提升：1.存在量词命题否定的步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词。(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等。2．存在量词命题否定的真假判断存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可。
将本例(2)改为：q：存在x∈R，x2－x－1<0，写出它的否定，并判断真假。
写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)∀n∈N，n2≤2n.思路探究：把全称量词改为存在量词，然后否定结论。
解析：(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行。(2)∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根。(3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在。(4)∃n∈N，n2>2n。
归纳提升：1.全称量词命题否定的步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词。(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等。2．全称量词命题否定的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可。
写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)p：∀x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|≥2；(2)q：∀x∈R，x3＋1≠0；(3)r：所有分数都是有理数。
解析：(1)¬p：∃x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|<2.例如当x＝2时，|x－2|＝0<2，¬p是真命题。(2)¬q：∃x∈R，x3＋1＝0。例如当x＝－1时，x3＋1＝0，所以¬q是真命题。(3)¬r：存在一个分数不是有理数。由r是真命题可知¬r是假命题。
写命题的否定时忽略隐含的量词
写出下列命题的否定：(1)可以被5整除的数，末位数字是0；(2)能被3整除的数，也能被4整除。
错因探究：本题易忽略命题中存在的隐含量词，如“可以被5整除的数”实际上含有全称量词“任何一个”，注意要在否定时改为“存在”．事实上，对于(1)，通常会错解为“可以被5整除的数，末位数字不是0”，而原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定错误；(2)的易错点与(1)相仿，易错解为“能被3整除的数，不能被4整除”。解析：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：存在可以被5整除的数，末位数字不是0。(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除。
误区警示：由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈m，p(x)”的形式，再把它的否定写成“∃x∈M，¬p(x)”的形式。要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证。
全称量词命题、存在量词命题为假命题时求参数问题
已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为¬p是真命题后，再求参数的值或取值范围。(1)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语。解决此类问题，可构造函数，利用数形结合法求参数范围(值)，也可用分离参数法求参数范围(值)。
(2)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)。
已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围。思路探究：命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解。
解析：方法一：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，当x＝1时，y最大值＝1，∴m>y最大值＝1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．方法二：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．