八年级下册数学 专题04 特殊平行四边形中最小值综合题（原卷版+解析版）

这是一份八年级下册数学 专题04 特殊平行四边形中最小值综合题（原卷版+解析版），文件包含专题04特殊平行四边形中最小值综合题原卷版docx、专题04特殊平行四边形中最小值综合题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：连接PG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，BO＝OD＝OC＝OA，
∴BD＝＝＝5，
∵点G是CD的中点，
∴CG＝，
∵BD∥CF，AC∥DF，
∴四边形CODF是平行四边形，
∵DO＝CO，
∴四边形CODF是菱形，
∴点G到各边的距离相等，
∵点P是四边形OCFD边上的动点，
∴当PG⊥CF时，PG有最小值，
∵BD∥CF，
∴∠BDC＝∠DCF，
∴sin∠BDC＝sin∠DCF＝，
∴，
∴PG＝，
故选：D．
2．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，
理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC•BC＝，
∴＝，
∴CM＝，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM＝＝，
即DE的最小值是，
故选：B．
3．（2023秋•朝阳县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上任意一点，将正方形绕点B逆时针旋转90°后，点E的对应点为E'，则点B到线段EE′距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【解答】解：如图，连接BE，BE′，EE′，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，AC＝4，
由旋转可知：AE′＝CE，BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∠D′AA′＝∠DCA＝45°，
∴△BEE′是等腰直角三角形，∠A′AC＝90°，
过点B作BM⊥EE′于点M，
∴BM＝EE′，
∴要求BM的最小值，只需求EE′的最小值，
设AE＝x，则AE′＝CE＝4﹣x，
在Rt△AEE′中，根据勾股定理得：
EE′2＝AE2+AE′2，
∴EE′2＝x2+（4﹣x）2＝2（x﹣2）2+16，
当x＝2时，EE′2有最小值，最小值为16，
此时，EE′＝4，
∴BM＝EE′＝2，
则点B到线段EE′距离的最小值为2．
故选：D．
4．（2023•夏津县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则BF+DE最小值是（ ）
A．13B．10C．12D．5
【答案】B
【解答】解：延长AD，取点M，使得AD＝DM，连接MP，如图，
∵EF∥BC，四边形ABCD是矩形，
∴四边形AEFD和四边形EBCF是矩形，
∵AD＝DM，AE＝DF，∠EAD＝∠FDM＝90°，
∴△ADE≌△DMF（SAS），
∴DE＝MF，
∴BF+DE＝BF+FM，
∵点E，F分别是AB，DC上的动点，
故当B，F，M三点共线时，BF+DE的值最小，且BF+DE的值等于BM的值，
在Rt△BAM中，，
故选：B．
5．（2023•西乡塘区校级二模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，HA＝4+4＝8，
所以AE+DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH＝
∴BF+DE最小值为4．
故选：C．
6．（2023秋•莲池区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（ ）
A．4.8B．5C．2.4D．3.6
【答案】C
【解答】解：如图，连接AD，
∵∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，
∴，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，，
∴，
∴AO的最小值为2.4，
故选：C．
7．（2023•雨山区校级一模）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【解答】解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN，
∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，
∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，
∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE＝AE，
∴∠BED＝∠CEF，
在△BDE和△NFE中，
，
∴△BDE≌△NFE（SAS），
∴∠N＝∠CBE＝30°，
∴点F在与AN成30°的直线上运动，
∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，
∴AF'＝AN，
∴+1＝（AE+AE），
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故选：D．
8．（2023秋•广水市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝4，将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD，则线段AD的长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：如图，在AC的上方作∠ACM＝120°，且使 CM＝CA，连接AM，DM．
设AB＝x，则AC＝4﹣x＝CM，
∴，
∵将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD，
∴∠BCA+∠ACD＝120，
又∵∠ACD+∠DCM＝∠ACM＝120°，
∴∠ACB＝∠DCM，
∴△BAC≌△DMC（ASA），
∴DM＝BA＝x，∠CMD＝∠BAC＝120°．
∴∠AMD＝90°，
∴AD2＝AM2+DM2＝3（4﹣x）2+x2＝4（x﹣3）2+12≥12，
∵0＜x＜4，
∴AD的最小值为．
故选：C．
9．（2023秋•铜梁区校级月考）如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52B．60C．68D．76
【答案】B
【解答】解：过点G作DH⊥AB于H，过G作MN∥AB交DA的延长线于M，交CB的延长线于N，如图：
设AF＝x，
∵四边形ABCD为正方形，AD＝4，点E为AD的中点，
∴AB＝AD＝BC＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AE＝DE＝2，
∴∠MAB＝∠NBA＝90°，
又MN∥AB，GH⊥AB，
∠M＝∠N＝90°，∠GHA＝∠GHB＝90°，
∴四边形AHGM和四边形BHGN均为矩形，
∴∠GHF＝∠EAF＝90°，
在△HGF和△AEF中，
，
∴△HGF≌△AEF（AAS），
∴GH＝AE＝2，HF＝AF＝x，
∴MG＝AH＝2x，AM＝GH＝NB＝2，
∴NG＝BH＝AB﹣AH＝4﹣2x，
在Rt△EMG中，MG＝2x，ME＝AM+AE＝4，
由勾股定理得：EG2＝MG2+ME2＝4x2+16，
在Rt△CGN中，NG＝4﹣2x，CN＝BC+NB＝6，
由勾股定理得：CG2＝NG2+CN2＝（4﹣2x）2+36＝4x2﹣16x+52，
∴EG2+CG2＝8x2﹣16x+68＝8（x﹣1）2+60，
∵8（x﹣1）2≥0，
∴8（x﹣1）2+60≥60，
∴EG2+CG2≥60，
∴EG2+CG2的最小值为60．
故选：B．
10．（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
【答案】A
【解答】解：如图，连接CM、CN，
△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN＝DE＝3，CM＝AB＝5，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣3＝2．
故选：A．
11．（2023秋•浦北县期中）如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP，BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M，N分别是EF，CD的中点，则MN的最小值是（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【解答】解：作MG⊥AB于点G，延长DC交MG于点H，
∵四边形APCD和四边形BPEF都是正方形，
∴∠APC＝∠BPE＝∠APE＝90°，
∴点C在PE上，
∵∠PGM＝∠GPE＝∠E＝∠PCH＝90°，
∴四边形PGME和四边形PGHC都是矩形，
∴∠MHN＝∠CHG＝90°，
设AP＝CD＝PC＝GH＝x，MN＝y，则BP＝EF＝PE＝MG＝10﹣x，
∴MH＝10﹣2x，
∵点M，N分别是EF，CD的中点，
∴CN＝CD＝AP，CH＝PG＝EM＝EF＝BP，
∴HN＝CN+CH＝（AP+BP）＝AB＝×10＝5，
∵MN2＝MH2+HN2，
∴y2＝（10﹣2x）2+52＝4（x﹣5）2+25，
∵0＜x＜10，y＞0，
∴当x＝5时，y2取得最小值25，此时y最小＝5，
故选：C．
12．（2023秋•洪洞县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（ ）
A．12B．10C．9.6D．4.8
【答案】D
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵F，M分别是AD，DE的中点，
∴FM＝，
∴当AE取最小值时，FM的值最小，
由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小，
在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，
∴CH＝，
∴BH＝＝＝8，
∴＝48，
又∵，
∴，
∴AE＝9.6，
∴FM＝4.8，
故选：D．
13．（2023秋•梁子湖区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC+BC＝3，将AB绕点A逆时针旋转120°得到AD，则线段CD的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：将AC绕点A逆时针旋转120°得到AE，连接DE，CE，作AF⊥CE，如图所示：
∴AE＝AC，∠EAC＝120°，
∴∠AEC＝∠ACE＝＝30°，
∵AF⊥CE，
∴AF＝AC，CF＝＝AC，
∴CE＝2CF＝AC，
∵将AB绕点A逆时针旋转120°得到AD，
∴AD＝AB，∠DAB＝120°，
∵∠EAC＝∠EAD+∠CAD，∠DAB＝∠CAB+∠CAD，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴△EAD≌△CAB（SAS），
∴DE＝BC，∠DEA＝∠BCA＝120°，
∴∠DEC＝90°，
∴CD2＝DE2+CE2＝BC2+＝3AC2+BC2，
∵AC+BC＝3，
设AC＝x，则BC＝3﹣x，
∴CD2＝3x2+（3﹣x）2＝，
∴CD2≥，
∴线段CD的最小值是＝，
故选：D．
14．（2023秋•江阴市期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．4D．
【答案】C
【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝5，∠B＝90°，
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋转得：
EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝5﹣1＝4，
∴DG的最小值为4，
故选：C．
15．（2023春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，，，，点P为边BC上一动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，点F为AP中点，连接DF，则线段DF最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AB2+AC2＝10，BC2＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴BC边上的高为：＝，
∵PD⊥AB，点F为AP中点，
∴DF＝AP，
当AP最小时，DF最小，
∵当AP⊥BC时，AP最小，最小值为，
∴DF的最小值为，
故选：C．
16．（2023秋•高州市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．1.2B．1.3C．1.4D．2.4
【答案】A
【解答】解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴PM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝2.4，
∴AP最短时，AP＝2.4，
∴当PM最短时，PM＝AP＝1.2．
故选：A．
17．（2023秋•顺德区月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝2，AD＝3，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH．E，F分别为AH，GH的中点，则EF的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解答】解：如图，过点A作AN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝135°，
∴AB∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣135°＝45°，
∵AN⊥BC，
∴∠BAN＝90°﹣∠B＝45°，
∴△ABN是等腰直角三角形，
∴BN＝AN＝AB＝×2＝，
∵E、F分别为AH、GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴EF＝AG，
当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，
∴当点G与点N重合时，AG的最小值为，
∴EF的最小值为，
故选：C．
18．（2023•利辛县模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝BD＝5，∠AOB＝120°，则AB+CD的最小值为（ ）
A．8B．10C．D．
【答案】C
【解答】解：如图，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥BD，BE、CE相交于点E，连接AE，过点C作CM⊥AE于点M，
则四边形BDCE是平行四边形，∠ACE＝∠AOB＝120°，
∴CD＝BE，BD＝CE，
∵AB+BE＞AE，
∴AB+CD＞AE，
当A，B，E三点在同一条直线上时，AB+CD＝AE，
此时AB+CD取得最小值，
在Rt△ACM中，
∵AC＝BD＝5，
∴AC＝CE，
∵CM⊥AE，
∴∠ACM＝∠ACE＝60°，AM＝EM，
∴∠CAM＝90°﹣∠ACM＝30°，
∴CM＝AC＝，
∴AM＝CM＝，
∴AE＝2AM＝5，
即AB+CD的最小值为，
故选：C．
19．（2023秋•福田区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥PP'于D，
由旋转可得，AP＝AP'，∠PAP'＝120°，
∴PP'＝2PD，∠APD＝30°，
当PD最短时，PP'最短，且PD＝AP•cs30°，
∵P为BC边上一动点，
∴当AP⊥BC时，AP最短，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，
∴∠C＝30°，
∴当AP⊥BC时，AP＝AC×sin30°＝4×＝2，
此时，PP'＝2PD＝2×AP×cs30°＝2×2×＝2，
故选：B．
20．（2023春•惠山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B（4，3），点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.4
【答案】B
【解答】解：如图，以OA为边在OA右侧作等边三角形AGO，
∴∠OAG＝60°，
连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM于点H，
在矩形ABCO中，
∵B（4，3），
∴OA＝BC＝3，AB＝OC＝4，
∴OA＝OG＝AG＝3，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠OAG＝∠DAE＝60°，
∵∠OAD＝∠OAG﹣∠DAG，∠GAE＝∠DAE﹣∠DAG，
∴∠OAD＝∠GAE，
在△ADO和△AEG中，
，
∴△ADO≌△AEG（SAS），
∴∠AOD＝∠AGE＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴点E在过定点G且与AG垂直的直线上运动，即点E在直线MG上运动，
∵△OAG是等边三角形，
∴∠AGO＝60°，
∴∠OGH＝30°，
∵OH⊥GM，
∴OH＝OG＝，
当点E与H不重合时，OE＞OH，
当点E与H重合时，OE＝OH，
综上所述：OE≥OH，
∴OE的最小值为，
故选：B．
21．（2022秋•江都区期末）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8，点P是线段BC上一动点，DM⊥AP，垂足为M，则BM的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【解答】解：设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，
∵DM⊥AP，
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，
连接OB交圆O与点N，
∵点B为圆O外一点，
∴当直线BM过圆心O时，BM最短，
∵BO2＝AB2+AO2，，
∴BO2＝36+16＝52，
∴，
∵．
故选：D．
22．（2023春•乳山市期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，∠EOF＝90°，绕点O旋转∠EOF，交边AD，CD于点E，F，则线段EF的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠OCF＝∠ODE＝45°，∠AOD＝∠COD＝90°，
∴∠COF+∠DOF＝90°．
∵∠EOF＝90°，
∴∠DOE+∠DOF＝90°，
∴∠COF＝∠DOE，
∴△COF≌△DOE（ASA），
∴OE＝OF，
∴，
∴当OE取得最小值时，线段EF取得最小值，
由垂线段最短可知，当OE⊥AD时，OE取得最小值，
此时，
∴，线段EF的最小值为．
故选：A．
23．（2023春•武昌区期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，AD＝10，点H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接AG，过点A作AN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝AB＝4，
∴AN＝BN＝4，
∵E、F分别为AH、GH的中点，
∴EF＝AG，
∴当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，
∴当点G与点N重合时，AG的最小值为4，
∴EF的最小值为2，
故选：D．
24．（2023春•丰润区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ）
A．4B．3C．2.4D．2
【答案】C
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形DEBF是矩形，
∴EF＝BD，
由垂线段最短可得当BD⊥AC时，线段BD最短，则EF最小，
此时，，
即，
解得：，
∴EF的最小值为．
故选：C．
25．（2023春•秦都区期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边在下方作等边△CEF，连接BF、DF，则线段DF的最小值为（ ）
A．2B．C．1D．2
【答案】C
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AB＝4，
∴BC＝AC＝AB＝4，BD＝DC＝2，∠BAC＝∠ACB＝60°，∠CAE＝30°，
∵△CEF为等边三角形，
∴CF＝CE，∠FCE＝60°，
∴∠FCE＝∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACE，
在△BCF和△ACE中，