【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题23 特殊平行四边形中的最小值问题（原卷版+解析版）

         专题23 特殊平行四边形中的最小值问题

【类型一 利用几何基本事实确定最值】

【基本事实1  垂线段最短】

    垂线线段最短：如图1：直线l外有一定点A，点P是l上一动点，当AP⊥l时，线段AP最短。

【基本事实2  两点间，线段最短】

两点间，线段最短                           

  根据线段的基本事实可知：AB≤AC+BC

当A,C,B三点在一条直线上时，

【类型二 利用轴对称变换确定最值】

 线段和最小：如图2，A、B时直线m同侧的两个定点，P时直线m上一动点，作点A关于直线m的对称点A′，直线BA′交直线m于点P，此时PA+PB最小，等于BA′

【典例1】（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．3

【变式1】（2021春•鄂州期末）在边长为2的等边△ABC中，D是AC上一动点，连接BD，以BD、AD为邻边作平行四边形BDAE，则对角线DE的最小值为（　　）

A． B．1 C． D．2

【典例2】（2021•内江）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 　  　．

【变式2-1】（2020•北碚区校级开学）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【典例3】（2019春•江州区期末）如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠ABC＝60°，且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值为（　　）

A．4 cm B．cm C．2cm D．2cm

【变式3-1】（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（　　）

A．2 B．4 C． D．2

【变式3-2】（2020•枣庄三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为　    ．

1．（春•惠山区期末）如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝6，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（　　）

A．3 B．6 C．2 D．3

2.（秋•无为县期末）如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在　   　．

3．（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值　  　．

4．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 　   　．

5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，M是BC的中点，CM＝2．点P是BD上一动点，则PM+PC的最小值　   　．

6．（2021秋•江汉区月考）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．

（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并证明；

（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；

（3）如图3，连接BG，N为BG中点，若AB＝13，CE＝5，则MN的最大值为 　9　．