专题04 实数（8题型+真题过关）（解析版+原卷版）

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【重难点突破】
考查题型一 二次根式有意义的条件
1．（2022·湖南长沙·统考中考真题）若式子x-19在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】x≥19
【提示】根据二次根式有意义的条件可得x-19≥0，求解即可．
【详解】∵式子x-19在实数范围内有意义，
∴x-19≥0，
解得x≥19，
故答案为：x≥19．
【名师点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2021·浙江丽水·统考中考真题）要使式子x-3有意义，则x可取的一个数是 ．
【答案】如4等（答案不唯一，x≥3）
【提示】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子x-3有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，
故答案为：如4等（答案不唯一，x≥3．
【名师点拨】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．
3．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）在函数y＝x+3x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≥﹣3C．x≥3且x≠0D．x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【提示】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：D．
【名师点拨】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
4．（2023·广东广州·统考一模）代数式k-1有意义时，直线y=kx+k一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【提示】根据k-1≥0，结合图像分布规律判断即可．
【详解】∵代数式k-1有意义，
∴k-1≥0，
∴k≥1，
∴直线y=kx+k经过第一、二、三象限，
故直线一定不经过第四象限，
故选D．
【名师点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图像分布，熟练掌握图像分布规律是解题的关键．
考查题型二 判断最简二次根式
1．（2023·贵州遵义·校考一模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．0.5B．3C．8D．127
【答案】B
【提示】若根号下没有小数、分数、能够开方的因数，就是最简二次根式，据此逐项判断即可．
【详解】解：0.5=22，故A选项不是最简二次根式；
8=22，故C选项不是最简二次根式；
127=2217，故D选项不是最简二次根式；
故选：B．
【名师点拨】本题考查最简二次根式的定义，若根号下没有小数、分数、能够开方的因数，就是最简二次根式．
2．下列各式：①32，②2，③18，④0.2，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【提示】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：①32=62，不是最简二次根式；
②2，是最简二次根式；
③18=32，不是最简二次根式；
④0.2=15=55，不是最简二次根式；
最简二次根式有1个，
故选：A．
【名师点拨】本题考查了对最简二次根式的定义的理解；能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
3（2023·河北沧州·校考模拟预测）关于8，下列说法不正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．是无理数
C．整数部分是2D．一定能够在数轴上找到表示8的点
【答案】A
【提示】根据最简二次根式、无理数、实数与数轴进行判断．
【详解】解：A．8=22，8不是最简二次根式，选项符合题意；
B．8=22，2是无理数，则8是无理数，选项不符合题意；
C．因为1<2<1.5，则2<22<3，所以8的整数部分是2，选项不符合题意；
D．数轴上的点与实数是一一对应的关系，则一定能够在数轴上找到表示8的点，选项不符合题意；
故选：A．
【名师点拨】此题考查了二次根式、无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．
考查题型三 判断同类二次根式
1．（2023·上海松江·统考二模）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（ ）
A．0.2B．0.5C．4D．12
【答案】B
【提示】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
【详解】解：A、0.2=15=55，与2不是同类二次根式；
B、0.5=12=22，与2是同类二次根式；
C、4=2，与2不是同类二次根式；
D、.12=23，与2不是同类二次根式；
故选：B.
【名师点拨】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键.
2．（2023·四川攀枝花·统考二模）下列二次根式中，不能与3合并的是（ ）
A．32B．27C．12D．13
【答案】A
【提示】先化简各个选项的二次根式，再看能否合并3，即可得到答案．
【详解】解：A、32=42，不能和3合并的，符合题意，
B、27=33，能和3合并的，不符合题意，
C、12=23，能和3合并的，不符合题意，
D、13=33，能和3合并的，不符合题意，
故选：A．
【名师点拨】本题考查了同类二次根式的判断，二次根式的化简，解题的关键是正确化简二次根式．
3．（2023衡阳市模拟）若最简二次根式2x+1和4x-3能合并，则x的值为（ ）
A．0.5B．1C．2D．2.5
【答案】C
【提示】根据最简二次根式可以合并，得出最简二次根式为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：∵最简二次根式2x+1和4x-3能合并，
∴2x+1与4x-3为同类二次根式，
∴2x+1=4x-3，
解得：x=2，故C正确．
故选：C．
【名师点拨】本题主要考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出关于x的方程，是解题的关键．
考查题型四 二次根式的乘除运算
1．（2021·四川绵阳·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【提示】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案.
【详解】解：故选：D.
【名师点拨】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键.
2．（2021·湖北恩施·中考真题）从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【提示】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．
【详解】
解：由题意得：，
∴所有积中小于2的有两个；故选C．
【名师点拨】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．
3．（2021·重庆·中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【提示】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．
【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意；故选：C．
【名师点拨】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算．
4．（2020·山东聊城·中考真题）计算的结果正确的是（ ）．
A．1B．C．5D．9
【答案】A
【提示】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【详解】解：，故选：A．
【名师点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
考查题型五 二次根式的加减运算
1．（2020·内蒙古·中考真题）的计算结果是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】C
【详解】=,故选C．
2．（2019·宁夏·中考真题）下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】分别根据算术平方根、立方根的性质化简即可判断．
【详解】解：A．，故选项A不合题意；B.，故选项B不合题意；
C.，故选项C不合题意；D.，故选项D符合题意．
故选D．
【名师点拨】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解答本题的关键．
3．（2019·甘肃兰州·中考真题）计算（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【提示】根据二次根式的加减法法则进行运算即可
【详解】2－＝故选A
【名师点拨】此题考查二次根式加减法的运算，掌握运算法则是解题关键
考查题型六 二次根式的混合运算
1．（2021·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6B．C．12D．
【答案】A
【提示】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵，∴，∴的整数部分，∴小数部分，
∴．故选：．
【名师点拨】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
2．（2021·湖南常德·中考真题）计算：（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】B
【提示】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．
【详解】
解：===1．故选：B．
【名师点拨】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．
25．（2021·重庆·中考真题）计算的结果是（ ）
A．7B．C．D．
【答案】B
【提示】根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案；
【详解】解：，故选：B．
【名师点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
3．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）估计的值应在 （ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【答案】A
【提示】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】
==2+，
∵4<6<9，∵2<<3，∴4<2+<5，故选：A.
【名师点拨】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
4．（2020·湖北宜昌·中考真题）对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】分别计算出各选项的结果再进行判断即可．
【详解】A．不能再计算了，是无理数，不符合题意；
B．，是无理数，不符合题意；
C．，是无理数，不符合题意；
D．，是有理数，正确．
故选：D．
【名师点拨】此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．
考查题型七 二次根式的化简求值
1．（2020·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，9
【提示】
根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．
【详解】
解：原式，
当时，原式．
【名师点拨】
本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．
2．（2020·湖北随州·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【提示】
先根据整式的乘法法则化简整式，再将字母的值代入结果计算求值即可．
【详解】
当时，
原式．
【名师点拨】
本题主要考查了整式的混合运算----化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
3．（2020·四川凉山·中考真题）化简求值：，其中
【答案】，5
【提示】
利用平方差公式，完全平方公式和去括号的法则对原式进行展开化简，然后将代入求值即可．
【详解】
原式=
=
=
将代入得原式=3×2-1=5．
【名师点拨】
本题考查了平方差公式，完全平方公式和去括号，掌握运算法则是解题关键．
考查题型八 二次根式的应用
1.（2023·黑龙江绥化·模拟预测）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=pp-ap-bp-c，∠A，∠B，b，c，若a=5，b=6，C=7，则△ABC的面积为 ．
【答案】66
【提示】根据a，b，c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S．
【详解】解：∵a=5，b=6，C=7，
∴p=a+b+c2=9，
则S=pp-ap-bp-c=9×9-5×9-6×9-7=66．
故答案为：66．
【名师点拨】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.（2022·江苏无锡·校联考一模）按一定规律排列的一列数：3，82，153，244，……其中第5个数为 ，第n个数为 （n为正整数）．
【答案】 355， n2+2nn
【提示】首先将3转换成31，再提示分子分母中数字和项数之间的规律即可解答．
【详解】将3转换成31之后，可发现各项的分母依次为1，2，3，4，⋯，
可以得出第n项的分母就是n，故第5项的分母为5；
同时各项的分子中根号内的值依次为3，8，15，24，⋯，
不难发现第n项的分子中根号内的值应是(n+1)2-1，
所以第5项的分子应是62-1=35，则第n个数分子为(n+1)2-1=n2+2n，
故第5个数为355，第n个数为n2+2nn，
故答案为：355，n2+2nn．
【名师点拨】本题是找规律的题型，解题的关键点在于将3转换成31，同时对分子中的规律也应注意把握．
3.（2022·湖北武汉·校考模拟预测）观察下列各式：①1+13=213，②2+14=314，③3+15=415，…，请写出第6个式子： ，用含n （n≥1）的式子写出你猜想的规律： ．
【答案】 6+18=718 n+1n+2=n+11n+2
【提示】观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案．
【详解】解：观察可知：第6个式子为：6+18=718；
一般规律为：n+1n+2=n+11n+2
故答案为：6+18=718；n+1n+2=n+11n+2
【名师点拨】本题考查二次根式有关的规律题．旨在考查学生的推理能力．
考查题型九 真题过关
一、单选题
1．（2023·重庆·统考中考真题）估计5×6-15的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【答案】A
【提示】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
【详解】解：5×6-15=30-1，
∵25<30<36，
∴25<30<36，即5<30<6，
∴4<30-1<5，
故选：A．
【名师点拨】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
2．（2023·天津·统考中考真题）sin45°+22的值等于（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】B
【提示】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．
【详解】解 ：sin45°+22=22+22=2，
故选：B．
【名师点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．（2023·浙江金华·统考中考真题）要使x-2有意义，则x的值可以是（ ）
A．0B．-1C．-2D．2
【答案】D
【提示】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵二次根式x-2有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2，
∴四个选项中，只要D选项中的2符合题意，
故选D．
【名师点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
4．（2023·山东青岛·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．23-3=2C．2×3=6D．12÷3=2
【答案】C
【提示】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. 2+3≠5，故该选项不正确，不符合题意；
B. 23-3=3，故该选项不正确，不符合题意；
C. 2×3=6，故该选项正确，符合题意；
D. 12÷3=233，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【名师点拨】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（2023·山东·统考中考真题）若代数式xx-2有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠2
【答案】D
【提示】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵代数式xx-2有意义，
∴x≥0x-2≠0，
解得x≥0且x≠2，
故选：D
【名师点拨】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）二次根式1-x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【详解】解：根据题意得，1-x≥0，
解得x≤1，
在数轴上表示如下：

故选：C．
【名师点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
7．（2023·江苏泰州·统考中考真题）计算(-2)2等于（ ）
A．±2B．2C．4D．2
【答案】B
【提示】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：(-2)2=4=2．
故选：B．
【名师点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
8．（2023·四川绵阳·统考中考真题）使式子1x+3+4-3x在实数范围内有意义的整数x有( )
A．5个B．3个C．4个D．2个
【答案】C
【详解】∵式子1x+3+4-3x在实数范围内有意义
∴x+3>0，4-3x≥0， 解得：-3又∵x要取整数值，
∴x的值为：-2、-1、0、1.
即符合条件的x的值有4个.
故选C.
二、填空题
9．（2023·四川广安·统考中考真题）函数y=x+2x-1中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥-2且x≠1
【提示】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：由题意可得x+2≥0x-1≠0
解得x≥-2且x≠1
故答案为：x≥-2且x≠1．
【名师点拨】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．
10．（2023·湖北·统考中考真题）计算4-1-116+3-20的结果是 ．
【答案】1
【提示】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，然后计算加减法即可．
【详解】解：4-1-116+3-20
=14-14+1
=1，
故答案为：1．
【名师点拨】本题主要考查了化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
11．（2023·内蒙古·统考中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：(m-2)2= ．

【答案】2-m/-m+2
【提示】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解．
【详解】由数轴位置可知1∴(m-2)2=m-2=2-m．
【名师点拨】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质a2=a是关键．
12．（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：
S1=1+112+122=1+11×2，S2=1+122+132=1+12×3，S3=1+132+142=1+13×4，…
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+⋯+S50= ．
【答案】505051/260051
【提示】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】S1+S2+⋯+S50
=1+11×2+1+12×3+⋯+1+150×51
=50+(1-12+12-13+⋯+150-151)
=505051，
故答案为：505051．
【名师点拨】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
三、解答题
13．（2023·北京·统考中考真题）计算：4sin60°+13-1+-2-12．
【答案】5
【提示】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式=4×32+3+2-23
=23+3+2-23
=5．
【名师点拨】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．
14．（2023·四川内江·统考中考真题）计算：(-1)2023+12-2+3tan30°-(3-π)0+|3-2|
【答案】4
【提示】根据有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂结合二次根式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：(-1)2023+12-2+3tan30°-(3-π)0+|3-2|
=-1+4+3×33-1+2-3
=-1+4+3-1+2-3
=4．
【名师点拨】本题考查了有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂以及二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
15．（2023·辽宁营口·统考中考真题）先化简，再求值：m+2+52-m⋅2m-43-m，其中m=16+tan45°．
【答案】-2m-6，原式=-16
【提示】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m的值，最后代值计算即可．
【详解】解：m+2+52-m⋅2m-43-m
=m2-4m-2-5m-2⋅2m-23-m
=m2-9m-2⋅2m-23-m
=m+3m-3m-2⋅2m-23-m
=-2m+3
=-2m-6，
∵m=16+tan45°，
∴m=4+1=5，
∴原式=-2×5-6=-10-6=-16．
【名师点拨】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，正确计算是解题的关键．