人教版9年级上册数学同步压轴题 专题05 二次函数中的线段长度问题（学生版+教师解析）

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例1．综合与探究
如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．点是射线上的动点，过点作，并且交轴于点．
(1)请直接写出，，三点的坐标及直线的函数表达式；
(2)当平分时，求出点的坐标；
(3)当点在线段上运动时，直线与抛物线在第一象限内交于点，则线段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，；(2)，
(3)存在，
【解析】(1)解：二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．
令，则，即．
令，则，解得，即，，
，，．设直线的表达式为，则解得
直线的表达式是：．
(2)∵，∴．
又∵．
∴．∴．
由勾股定理，得．
分两种情况．
如答图1，当点在线段上时．过点作轴，垂足为．
，则．∴．
∴．解得，．
∴．∴点．
如答图2，当点在线段的延长线上时．过点作轴，垂足为．
，则．
∴．∴．解得，．
∴．∴点．
(3)如答图3.过点作轴，并且交直线于点,过点作，并且交轴于点．
则，．∴．
∵，，∴．∴．
设点，．∴．∴．
∴．
∵，
∴有最大值．的最大值为．
【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求的最小值；
(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)线段PQ存在最大值，此时点P坐标为
【解析】(1)解：把点A和点B坐标代入抛物线解析式得解得
所以抛物线的解析式为．
(2)解：如下图所示，连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．
∵、，∴点A和点B关于二次函数的对称轴对称，OA=2．∴MA=MB．
∴MB+MC=MA+MC．∴当点M与点N重合时MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值为AC．
∵抛物线与y轴交于点C，∴．∴OC=2．
∴．∴MB+MC的最小值为．
(3)解：如下图所示，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设，其中，设直线AC解析式为y=kx+d．
∵OA=2，OC=2，∴OA=OC．
∴．
∵PD⊥x轴，∴∠ADE=90°．∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．∴∠QEP=∠DEA=45°．
∵PQ⊥AC，∴∠PQE=90°，．∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．
∴∠QPE=∠QEP．∴QE=PQ．∴．∴．
∴当EP取得最大值时，PQ取得最大值．
把点A和点C坐标代入直线AC解析式得解得
∴直线AC解析式为．∴．．
∴当时，EP取得最大值．∴．
∴线段PQ存在最大值，此时点P坐标为．
【变式训练2】如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为．
(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；
(2)点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段长度的最大值．
【答案】(1)，；(2)线段长度有最大值为
【解析】(1)设二次函数的解析式为：，将B的坐标代入得：
∴二次函数的解析式为：即：，
∵点D是二次函数与y轴的交点，∴D点坐标为：
设直线的解析式为：将B的坐标代入得：
∴直线的解析式为：；
(2)解：设P点的横坐标为，则，
∴，
∵，∴当时，线段长度有最大值为．
类型二、双线段长度问题
例1．已知抛物线(a，b，c为常数，)的顶点，抛物线与x交于点和B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点和点．
(1)求抛物线的解析式及点B坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点E，使的值最小，求点E的坐标；
(3)若F为抛物线对称轴上的一个定点，
①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离相等，求点F的坐标；
②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使最小，若存在，求出点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；B(3，0)；(2)E(1，)；(3)①；②P(2，3)，最小值为
【解析】(1)解：∵抛物线顶点D(1，4)，与x轴交于点A(-1，0)，
∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4，
把A(-1，0)代入，解得a=-1，
∴y=-(x-1)2+4，
∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3，
令y=0，可得-(x-1)2+4=0，解得x1 =-1，x2 =3，
∴B(3，0)；
(2)如图①，连接BH交对称轴于点E，连接AE，此时AE + HE 的值最小，
设直线BH解析式为y=kx+b，把B(3，0)，H(0，)代入，解得k=，b=，
∴直线BH解析式为，
把x=1代入解得y=，∴E(1，)；
(3)①如图②，设对称轴上点F(1，t)，过点P作PN⊥l，过点F作FM⊥PN，
，，
，，
，
，
，
∵抛物线上任意一点P(m，n)，
，
，
，
，
整理可得：，
∵任意一点P(m，n)，与n无关.，
，
，
；
②：如图③，
∵抛物线上任意一点P(m，n)满足PF=PN，∴FP +GP = PN +GP.
根据垂线段最短可知，当G，P，N共线时，FP+GP的值最小，最小值为：，
∵G(2，0)，∴把x=2代入y=-x2+2x+3.
解得y=3.∴当P(2，3)此时FP+GP的值最小，最小值为
例2.如图，平面直角坐标系中，二次函数图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，图像对称轴交x轴于点D．点P是线段OD上一动点，从O向D运动，H是射线BC上一点．
(1)则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段BC的长为 ；
(2)如图1，在P点运动过程中，若△OPC中有一个内角等于∠HCA，求OP的长；
(3)如图2，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接QM，则的最小值为 ．
【答案】(1)(－10，0)；(2，0)；；(2)或3；(3)
【解析】(1)二次函数中，令y=0，得：，
解得：，∴A(－10，0)，B(2，0)，
二次函数中，令x=0，得：y=2，∴C(0，2)，
∴，故答案为：(－10，0)；(2，0)；；
(2)如图，连接AE，
设直线BC的函数关系式为y＝kx＋b．
∵函数图像经过B(2，0)，C(0，2)
则，解得．
∴y与x的函数关系式为；
∵抛物线的对称轴为x＝－4∴D(4，0)．
延长BC交对称轴为E，∴E(－4，6)，∴DE＝DB＝6．
又∵DE⊥DB，∴∠DEB＝∠DBE＝45°．
∵A(－10，0)，AD＝DE＝DB＝6，
∴△AEB为等腰直角三角形，．∴，．
若∠CPO＝∠HCA，则△CPO∽△ACE，
∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，∴CO：OP＝3：2
∵CO＝2，∴；
若∠PCO＝∠HCA，则△CPO∽△CAE，
∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，∴OP：CO＝3：2
∵CO＝2，∴OP＝3；
综上所述，OP长为或3．
(3)由题意可知：∵，∠COP＝∠QDO＝90°，∴Rt△COP∽Rt△QDO．∴
∴OQ＝2CP．作点M关于直线x＝－4的对称点M’，则MQ＝M’Q．
∵M(－3，)∴M’(－5，)，过点M’作MN⊥x轴于点N，
在Rt△M’NO中，．
所以QM＋2CP的最小值为．故答案为：
【变式训练1】已知抛物线(b，c为常数)的图象与x轴交于，B两点(点A在点B左侧)．与y轴相交于点C，顶点为D．
(1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；
(3)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求的最小值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)∵抛物线经过点，∴，解得，
当时，，∴，∴抛物线的顶点坐标为；
(2)由(1)知，抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线x=b，
∴点B的坐标为．
∵点P在y轴上，OP=2，
∴点P的坐标为或．
∵点在y轴负半轴上，
∴或．
在Rt△POB中，由勾股定理得
．
∵PB=PC，即，
∴或．
解得或或．
∵在y轴负半轴上，
∴，解得，∴；
(3)如图，连接AD，过点Q作QF⊥AD于点F，抛物线与x轴交于，
∴抛物线的解析式为，∴顶点，，
∴，，
∴，∴，
∴，
∵AN=2BN，∴，AN=2，
过点N作NG⊥AD于点G，连DN，则QF+NQ的最小值为NG，
由面积相等知：，
∴，∴，
∴的最小值为．
【变式训练2】已知如图，二次函数的图象交x轴于A，C两点，交y轴于点，此抛物线的对称轴交x轴于点D，点P为y轴上的一个动点，连接．
(1)求a的值；(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)解：把点代入得：，解得：；
(2)解：连接AB，过点D作DH⊥AB于点H，交y轴于点P，
由(1)得：二次函数的解析式为，令y=0，则，解得：，
∴点A(-3，0)，C(5，0)，∴抛物线的对称轴为直线，∴点D(1，0)，∴AD=4，
∵点，∴，∴，∴AB=2OA，
∵∠AOB=90°，∴∠OBA=30°，∴，∴的最小值为PD+PH=DH的长，
∵DH⊥AB，∠OAB=60°，∴∠ADH=30°，∴，∴，∴的最小值为．
【变式训练3】如图，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作轴于点H，与BC交于点M．
①求线段PM长度的最大值．
②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求的最小值．
【答案】(1)y＝x2－2x－3；(2)①；②
【解析】(1)解：把，点代入抛物线中
得：，解得：，抛物线的解析式为：；
(2)解：①如图，
令，即，解得或，，
，设的解析式为：，则，解得：，
的解析式为：，
设，则，，
当时，有最大值为；
②当有最大值，，
在轴的负半轴上取一点，使，过作于，
当、、三点共线时，最小，即的值最小，
中，，，，，
中，，
，
，的最小值是．
【变式训练4】已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)过点作，垂足为，求证：四边形为正方形；
(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)见解析；(3)存在，
【解析】(1)∵抛物线过点，两点，∴设抛物线解析式为，
∵，∴，
∵这个抛物线与轴交于点，∴，∴，
∴抛物线的解析式为：．
∵，∴这个抛物线的顶点；
(2)连接，，
由(1)得：，∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴ ，∴四边形为菱形，
∵，∴四边形为正方形；
(3)存在，理由：
如图，点作与轴夹角为的直线，交轴于点，过点作，垂足为，交于点，则，的最小值，
∵，，∴．
∵，∴．
∵，∴．∴∴的最小值为．
类型三、周长问题
例1．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A(2，0)、B(0，﹣6)两点，其对称轴与x轴交于点C．
(1)求该抛物线和直线BC的解析式；
(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2+4x﹣6，y＝x﹣6；(2)；(3)存在，点Q的坐标为(4，﹣2)
【解析】(1)解：将A(2，0)、B(0，﹣6)代入抛物线解析式得：，解得：，
故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣6，其对称轴为：x＝4，
故点C的坐标为(4，0)，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、点C的坐标代入可得：，解得：，
故直线BC的解析式为y＝x﹣6；
(2)解：联立直线BC与抛物线的解析式：，解得：或，
故点D的坐标为(5，)，则S△ABD＝S△ACD+S△ABC＝AC×D纵+AC×|B纵|＝．
(3)解：存在点Q，使得△QAB的周长最小；
点A关于抛物线对称轴的对称点为A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：
A'坐标为(6，0)，B(0，﹣6)，
设直线A'B的解析式为：y＝mx+n，代入两点坐标可得：，解得：，
即直线A'B的解析式为y＝x﹣6，故点Q的坐标为(4，﹣2)．
即存在点Q的坐标(4，﹣2)时，使得△QAB的周长最小．
【变式训练1】如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，经过点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；
(3)在(2)问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P(m，3)在直线l上，动点Q(m，0)在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为(1，4)；(2)点N坐标为(4，-5)；
(3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3．
【解析】(1)解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，则抛物线的顶点M坐标为(1，4)；
(2)解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N(t，-t2+2t+3)(t＞3)，又点C(0，3)，
设直线NC的解析式为y=k1x+b1，则，解得：，
∴直线NC的解析式为y=(-t+2)x+3，
设直线CN与x轴交于点D，

当y=0时，x=，∴D(，0)，BD=3-，
∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC-yN|= [3-(-1)]×3，
即×(3-)[3-(-t2+2t+3)]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1(舍去)，
当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为(4，-5)；
(3)解：将顶点M(1，4)向下平移3个单位得到点M′(1，1)，连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，
则MM′=3，∵P(m，3)、Q(m，0)，∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3，
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′，
由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，
设直线M′N的解析式为y=k2x+b2(k2≠0)，
将点M′(1，1)、N(4，-5)代入，得：，解得：，∴直线M′N的解析式为y=-2x+3，
当y=0时，x=，∴Q(，0)，即m=，
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，
在Rt△M′EN中，∵M′E=1-(-5)=6，NE=4-1=3，∴M′N=， ∴M′Q+QN=3，
∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3．
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接BC，直线交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；
(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
【答案】(1)；(2)；(3)①；②
【解析】(1)解：∵抛物线与x轴交于点、两点，
∴抛物线的表达式为：，
∴；
(2)解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴直线的表达式为：，
把代入得：，
∴；
(3)解：①过点N作于点G，
∵过点，
∴，
∴，
∴直线的表达式为：，
∴，
设，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴、，
∴，
，
∴；
②∵，
∴点Q在的垂直平分线上，
又∵，，
∴，
∴，
∴当点B、Q、M共线时，的周长最小，
此时，点Q即为的垂直平分线与直线的交点，
∵；，
∴，
把代入得：，
∴．