苏科版七年级数学下册专题02探索平行线的性质压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册专题02探索平行线的性质压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)，共41页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29495" 【典型例题】 PAGEREF _Tc29495 \h 1
\l "_Tc17475" 考点一 两直线平行，同位角相等 PAGEREF _Tc17475 \h 1
\l "_Tc19532" 考点二 两直线平行，内错角相等 PAGEREF _Tc19532 \h 3
\l "_Tc24025" 考点三 两直线平行，同旁内角互补 PAGEREF _Tc24025 \h 4
\l "_Tc6823" 考点四 根据平行线的性质与判定求角度 PAGEREF _Tc6823 \h 6
\l "_Tc1165" 考点五 平行线的性质在生活中的应用 PAGEREF _Tc1165 \h 8
\l "_Tc18396" 考点六 平行线的性质与判定综合应用 PAGEREF _Tc18396 \h 11
\l "_Tc5404" 【过关检测】 PAGEREF _Tc5404 \h 13
【典型例题】
考点一 两直线平行，同位角相等
例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（ ）
A．58°B．112°C．120°D．132°
【变式训练】
1．（2023·吉林· 九年级阶段练习）如图，直线．直线与、分别交于、两点．若，则的大小为_____度．
2．（2020·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．
考点二 两直线平行，内错角相等
例题：（2022·湖南·长沙市立信中学九年级阶段练习）如图，直线a，b被c所截，，若，则的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【变式训练】
1．（2022·广西大学附属中学九年级阶段练习）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
2．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（ ）
A．160B．140C．50D．40
考点三 两直线平行，同旁内角互补
例题：（2022·辽宁·沈阳市培英中学七年级期中）如图，ABCD，射线AE交CD于点F，若∠1＝114°，则∠2的度数等于_____°．
【变式训练】
1．（2022·上海理工大学附属中学七年级期末）如图直线、被直线所截，且，已知比大，则______．
2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．
考点四 根据平行线的性质与判定求角度
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，
(1)说明：．
(2)求的度数．
【变式训练】
1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：
(1)
(2)的度数．
2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求证：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．
考点五 平行线的性质在生活中的应用
例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
【变式训练】
1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．
2．（2022·云南昆明·七年级期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．
考点六 平行线的性质与判定综合应用
例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)∠ABN的度数是 ；
(2)求∠CBD的度数；
(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）如图，，则的度数是（ ）度
A．100B．80C．120D．150
2．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则∠1的大小是( )
A．B．C．D．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第四中学校七年级期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A、B、C在同一直线上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·广东·广州市第四中学七年级阶段练习）把正方形ABCD和长方形EFGH按如图的方式放置在直线l上．若∠1=43°，则∠2的度数为( )
A．B．C．D．
5．（2021·山东·高青县教学研究室期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）
A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°
二、填空题
6．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）如图，，∠A＝50°，则∠1＝_____．
7．（2022·陕西·潼关县教育局教学研究室七年级期中）如图，，，，则的度数是_____________．
8．（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）如图，将一副三角板重叠摆故，于点D，则的度数为______．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
10．（2022·福建·平潭第一中学七年级期中）如图（1）纸片ABCD（ADBC），将CD按如图（2）所示沿着DE折叠至DC′，DC′与线段BC交于F，∠BFD=m，点E在线段BC上，若将AD按如图（3）所示沿着DO折叠至DA′，且A′在线段DC的延长线上，点O在线段BC上，则∠ODE=__________．（用含m的式子表示）
三、解答题
11．（2022·河北·威县第三中学七年级期末）如图，已知，，求证：．
(1)请将下面证明过程补充完整．
证明：∵（已知），
∴（ ）．
又∵（已知），
∴ （等角的补角相等），
∴（ ），
∴（ ）；
(2)若平分，于点，，求的度数．
12．（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
13．（2022·河南·虞城县第二初级中学七年级期中）如图，与有公共顶点A，且点C在边BE上，CD交AE于点F且平分．，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
14．（2022·江苏·涟水县第四中学七年级期末）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
15．（2022·山东烟台·期末）如图把一个含有30°角的直角三角板的直角顶点放在直线上，，、两点在平面上移动，请根据如下条件解答：
(1)如图1，若点在直线上，点在直线的下方，，求的度数．
(2)如图2，若点在平行直线，内部，点在直线的下方，，求的度数．
16．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；
(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
专题02 探索平行线的性质压轴题六种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29495" 【典型例题】 PAGEREF _Tc29495 \h 1
\l "_Tc17475" 考点一 两直线平行，同位角相等 PAGEREF _Tc17475 \h 1
\l "_Tc19532" 考点二 两直线平行，内错角相等 PAGEREF _Tc19532 \h 3
\l "_Tc24025" 考点三 两直线平行，同旁内角互补 PAGEREF _Tc24025 \h 4
\l "_Tc6823" 考点四 根据平行线的性质与判定求角度 PAGEREF _Tc6823 \h 6
\l "_Tc1165" 考点五 平行线的性质在生活中的应用 PAGEREF _Tc1165 \h 8
\l "_Tc18396" 考点六 平行线的性质与判定综合应用 PAGEREF _Tc18396 \h 11
\l "_Tc5404" 【过关检测】 PAGEREF _Tc5404 \h 13
【典型例题】
考点一 两直线平行，同位角相等
例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（ ）
A．58°B．112°C．120°D．132°
【答案】A
【分析】根据平行线性质得出，根据对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．
【变式训练】
1．（2023·吉林· 九年级阶段练习）如图，直线．直线与、分别交于、两点．若，则的大小为_____度．
【答案】
【分析】根据邻补角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵直线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的应用，解此题的关键是求出的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
2．（2020·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．
【答案】72
【分析】由，，求出，，，由得，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行线性质，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
考点二 两直线平行，内错角相等
例题：（2022·湖南·长沙市立信中学九年级阶段练习）如图，直线a，b被c所截，，若，则的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】根据两直线平行，内错角相等可以判断，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等得出，是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西大学附属中学九年级阶段练习）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
【答案】B
【分析】根据两直线平行内错角相等可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键．
2．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（ ）
A．160B．140C．50D．40
【答案】B
【分析】利用平行线的性质先求解，再利用邻补角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
考点三 两直线平行，同旁内角互补
例题：（2022·辽宁·沈阳市培英中学七年级期中）如图，ABCD，射线AE交CD于点F，若∠1＝114°，则∠2的度数等于_____°．
【答案】66
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．
【详解】∵ABCD，
∴∠1+∠AFD=180°．
∵∠1=114°，
∴∠AFD=66°．
∵∠2和∠AFD是对顶角，
∴∠2=∠AFD=66°．
故答案为66．
【点睛】本题考查了平行线，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．
【变式训练】
1．（2022·上海理工大学附属中学七年级期末）如图直线、被直线所截，且，已知比大，则______．
【答案】65
【分析】根据题意可得，然后利用平行线的性质可得，进行计算即可解答．
【详解】解：比大，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．
【答案】##63度
【分析】根据，可得，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补正确找出是解答本题的关键．
考点四 根据平行线的性质与判定求角度
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，
(1)说明：．
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据对顶角相等得到，再利用平行线的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质求出即可．
（1）
解：∵，，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：
(1)
(2)的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)100°．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定方法即可得到结论；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．
（1）
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）
解：∵
∴．
∵，
∴
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握两只线平行同旁内角互补是关键．
2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求证：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ADG＝40°
【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；
（2）先求出∠C，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．
（1）
证明：∵，
∴∠1＝∠DBC．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DBC，
∴．
（2）
∵EF⊥AC，
∴∠CEF＝90°．
∵∠2＝∠1＝50°，
∴∠C＝90°－50°＝40°．
∵，
∴∠ADG＝∠C＝40°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
考点五 平行线的性质在生活中的应用
例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
【答案】120
【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．
【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．
【答案】48°##48度
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，
∴∠3=180°-∠1=48°，
∵水中的两条折射光线是平行的，
∴∠2=∠3=48°，
故答案为：48°．
【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
2．（2022·云南昆明·七年级期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．
【答案】140°或40°
【分析】当AB与在AC同侧时，CB′∥AB，同旁内角互补；当AB与CB"在AC异侧时，CB"∥AB，内错角相等．
【详解】解：如下图：
当AB与CB′在AC同侧时，
当CB′∥AB时，
∵∠CAB+∠ACB′=180°
∴∠ACB′=140°
当AB与CB"在AC异侧时，
当CB"∥AB时，
∠CAB=∠ACB"=40°
答案：140°或40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补及需要由分论讨论的思想求解．
考点六 平行线的性质与判定综合应用
例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【答案】(1)①∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF，理由见解析；②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
(2)30°，30°或70°和110°
【分析】（1）①根据平行线的性质，即可求解；②根据①写出结论，即可求解；
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）的结论可得x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，即可求解．
（1）
解：①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如图1中，
∵，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）
解：设两个角分别为x和2x﹣30°，
由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，理解如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补是解答关键．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)∠ABN的度数是 ；
(2)求∠CBD的度数；
(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．
【答案】(1)116°
(2)58°
(3)不变，∠APB＝2∠ADB，理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补即可求解；
（2）根据角平分线的定义，结合（1）的结论即可求解；
（3）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．
（1）
解：∵AMBN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
故答案为116°；
（2）
∵AMBN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
（3）
不变，∠APB＝2∠ADB，理由如下：
∵AMBN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB＝2∠ADB．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）如图，，则的度数是（ ）度
A．100B．80C．120D．150
【答案】A
【分析】根据邻补角互补求出∠3，根据平行线的性质得出∠2＝∠3，代入求出即可．
【详解】解：∵∠1＝80°，
∴∠3＝180°−80°＝100°，
∵ABCD，
∴∠2＝∠3＝100°，
故选：A．
【点睛】本题考查了邻补角的定义，平行线的性质的应用，注意：①两直线平行，同旁内角互补，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同位角相等．
2．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则∠1的大小是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图：
由题意得：，
∵ABCD，
∴∠3＝∠2＝，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第四中学校七年级期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A、B、C在同一直线上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过点C作CM，则，根据平行线的性质可得∠1＋∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，再根据三角板的特点求解即可．
【详解】解：如图，过点C作CM，
∵，
∴，
∴∠1＋∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，
∵∠2＝180°−45°＝135°，
∴∠ACM＝135°，
∴∠ECM＝135°−30°＝105°，
∴∠1＝180°−105°＝75°，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等”及作平行线是解题的关键．
4．（2022·广东·广州市第四中学七年级阶段练习）把正方形ABCD和长方形EFGH按如图的方式放置在直线l上．若∠1=43°，则∠2的度数为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据：∠1=43°，∠HEF=90°，即可得到∠CEB=47°，再根据CDAB，可得∠2=∠CEB=47°．
【详解】解：∵∠1=43°，∠HEF=90°，
∴∠CEB=47°，
∵CDAB，
∴∠2=∠CEB=47°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
5．（2021·山东·高青县教学研究室期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）
A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质分两种情况求解即可．
【详解】解： ①如图1所示：
若AEBD，ACBD，
则∠A＝∠1，∠1＝∠B，
∴∠A＝∠B，
∵∠A＝3∠B﹣40°＝3∠A－40°，
∴∠A＝∠B＝20°，
②如图2所示：
若ADBE，BCAF，
则∠1＝∠B，∠1＋∠A＝180°，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝3∠B﹣40°，
∴3∠B﹣40°+∠B＝180°，
∴∠B＝55°，∠A＝125°，
综上所述，∠A的度数为20°或125°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
二、填空题
6．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）如图，，∠A＝50°，则∠1＝_____．
【答案】130°##130度
【分析】由平行线的性质可得出∠2，根据对顶角相得出∠1．
【详解】解：如图：
∵，
∴∠A+∠2＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠1＝∠2＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是能够根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等进行分析解答．
7．（2022·陕西·潼关县教育局教学研究室七年级期中）如图，，，，则的度数是_____________．
【答案】##37度
【分析】先根据平行线的性质得到，再根据垂线的定义得到，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的定义，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
8．（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）如图，将一副三角板重叠摆故，于点D，则的度数为______．
【答案】15°##15度
【分析】由题意可知∠A=90°，∠ACB=60°，∠CDE=45°，由垂直可得∠ADE=90°，则可判定AC∥DE，从而可得∠ACD=∠CDE=45°，即可求得∠BCD的度数．
【详解】解：由题意得：∠A=90°，∠ACB=60°，∠CDE=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE+∠A=180°，
∴AC∥DE，
∴∠ACD=∠CDE=45°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定条件与性质的掌握．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【答案】##60度
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵光线，都是水平线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
10．（2022·福建·平潭第一中学七年级期中）如图（1）纸片ABCD（ADBC），将CD按如图（2）所示沿着DE折叠至DC′，DC′与线段BC交于F，∠BFD=m，点E在线段BC上，若将AD按如图（3）所示沿着DO折叠至DA′，且A′在线段DC的延长线上，点O在线段BC上，则∠ODE=__________．（用含m的式子表示）
【答案】
【分析】设∠CDE=x，∠DCE=y，由图（1）折叠性质可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行线性质可得∠ADF=180°-m，则∠ADC=180°-m+2x，由图（2）折叠性质可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度数．
【详解】解：设∠CDE=x，∠DCE=y，
由图（1）折叠性质可得：∠C’DE=∠CDE=x，
∵∠BFD=m，ADBC，
∴∠BFD+∠ADF=180°，
∴∠ADF=180°-m，
∴∠ADC=180°-m+2x，
由图（2）折叠性质可得：∠ADO=∠CDO=，
∴∠ODE=∠CDO-∠CDE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质及角的有关计算，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
三、解答题
11．（2022·河北·威县第三中学七年级期末）如图，已知，，求证：．
(1)请将下面证明过程补充完整．
证明：∵（已知），
∴（ ）．
又∵（已知），
∴ （等角的补角相等），
∴（ ），
∴（ ）；
(2)若平分，于点，，求的度数．
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质和判断即可求解；
（2）根据垂直和平行，即可求出，且，只要求出的度数即可求出答案，根据平行线的性质，角平分线的性质即可求出，由此即可求出答案．
（1）
证明：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵（已知），
∴（等角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；∠FAC=∠2；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
（2）
解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判断，以及根据平行线的性质求角的度数问题，掌握平行线的性质和判断是解题的关键．
12．（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直得出，根据平行线的判定得出；
（2）根据平行线的性质得出，由得出，根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，（垂直的定义），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行；
（2）证明：∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
13．（2022·河南·虞城县第二初级中学七年级期中）如图，与有公共顶点A，且点C在边BE上，CD交AE于点F且平分．，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠D=∠DCE，根据角平分线的定义得出∠ACD=∠DCE，求出∠BAC=∠ACD，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质求出∠E=∠DAE，∠BAC= ∠ACD，根据角平分线的定义得出∠ACD=∠DCE，求出， 即可求出答案．
（1）
证明：∵，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD= ∠DCE，
∴∠ACD=∠D，
∵∠BAC =∠D，
∴∠BAC=∠ACD，
∴；
（2）
解：∵，
∴∠E=∠DAE，∠D =∠DCE，
∵∠DAE=∠D，
∴∠E= ∠DCE，
由（1）知，
∴∠DCE=∠B，
又∵，
∴∠E=∠B=．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
14．（2022·江苏·涟水县第四中学七年级期末）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)135°
【分析】（1）由对顶角相等得到∠NCM＝∠FCD，即可得到∠EAF＝∠FCD，即可判定AB∥CD；
（2）由平角的定义得到∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，再根据平行线的性质即可得解．
（1）
证明：∵∠EAF＝∠NCM，∠NCM＝∠FCD，
∴∠EAF＝∠FCD，
∴AB∥CD；
（2）
解：∵∠MCB＋∠BCD＝180°，∠MCB＝45°，
∴∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，
由（1）知，AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BCD，
∠ABG＝135°，
故∠ABG的度数是135°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
15．（2022·山东烟台·期末）如图把一个含有30°角的直角三角板的直角顶点放在直线上，，、两点在平面上移动，请根据如下条件解答：
(1)如图1，若点在直线上，点在直线的下方，，求的度数．
(2)如图2，若点在平行直线，内部，点在直线的下方，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，再根据平行线的性质求出∠3即可解决问题；
（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，然后结合已知求出即可解决问题．
（1）
解：如图1，由题意可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）
如图2，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键．
16．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；
(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【答案】(1)ABCD，理由见解析
(2)65或115
(3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．
【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论；
（2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果；
（3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值．
（1）
解： ABCD．理由如下：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，
∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），
∵∠BOC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD；
（2）
解：∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，
∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°，
∵∠AOM=∠BON，
∴∠AOM=∠BON=25°，
∴∠COM=25°+40°=65°，∠CON=25°+90°=115°，
∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为65°或115°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，
故答案为：65或115；
（3）
解：①当0s≤t≤20s时，如下图，
若ABCD，则∠BAC=∠ACD，
即120+3t=140+t，
解得t=10，
∴当t=10s时ABCD；
②当20s＜t≤40s时，如下图，
有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；
③当40s＜t≤80s时，如下图，
有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；
④当80s＜t≤120s时，如下图，
若ABCD，则∠BAC=∠DCF，
即3t-240=t-40，
解得t=100，
∴当t=100s时，ABCD；
综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．