人教版高考数学一轮复习考点规范练13初等函数模型的应用含答案

考点规范练13　初等函数模型的应用

1.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)

A.y=100x

B.y=50x2-50x+100

C.y=50×2x

D.y=100log2x+100

答案  C

解析  根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.

2.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为(　　)

A.3 B.4 C.6 D.12

答案  A

解析  设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,则y=x·=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故当x=3时,y最大.

3.一股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)

A.略有盈利

B.略有亏损

C.没有盈利也没有亏损

D.无法判断盈亏情况

答案  B

解析  设该股民购买这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.

4.(2021福建漳州三模)某市盛产杨梅,杨梅果味酸甜适中,有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦、抑菌止泻、降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短,当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t(单位:小时)与失去的新鲜度y满足函数关系y=其中m,a为常数.已知采用该种保鲜方法后,杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度,采摘40小时之后失去20%的新鲜度.如今我国物流行业蓬勃发展,为了保证该市的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于85%,则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过(参考数据:log23≈1.6)(　　)

A.20小时 B.25小时 

C.28小时 D.35小时

答案  C

解析  当10≤t≤100时,y=mat,

由题意可得解得

为使新鲜度不低于85%,即不能失去超过15%的新鲜度,则有15%≥,

即=3×,

因此log2≤log2=log23-,即≤log23-,则t≤30log23-20≈48-20=28,即物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过28小时.

5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是　　　　　. 

答案  16

解析  由题意,分流前每年创造的产值为100t万元,分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,

则解得0<x≤.

因为x∈N*,

所以x的最大值为16.

6.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.

(参考数据:≈1.414,≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)

(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;

(2)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.

解(1)由于y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢.

故依据题意应选函数y=kax(k>0,a>1),

则有解得即y=8×(x∈N).

(2)由(1)知,当x=0时,y=8.

由经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍,得8×=8×1 000,解得x=lo1 000=≈17.04.

故原先投放的水葫芦的面积为8 m2,约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.