2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练12函数与方程Word版附解析

这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练12函数与方程Word版附解析，共5页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+lg2x,x>1,则函数f(x)的零点为( )
A.12,0B.-2,0
C.12D.0
答案:D
解析:当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;
当x>1时,由f(x)=1+lg2x=0,解得x=12,又因为x>1,所以此时方程无解.
综上可知,函数f(x)的零点只有0,故选D.
2.函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
答案:B
解析:函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-1x的零点.
由于f(x)在区间(0,+∞)内的图象是连续的,且f(x)是单调递增的,又f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 3-12>0,得f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.
3.若函数f(x)的图象在R上是连续的,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间(0,1)内一定有零点,在区间(1,2)内一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)内一定没有零点,在区间(1,2)内一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)内一定有零点,在区间(1,2)内可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)内可能有零点,在区间(1,2)内一定有零点
答案:C
解析:由题知f(0)f(1)<0,根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)内一定有零点,又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)内是否有零点.
4.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是( )
A.3B.2C.1D.0
答案:C
解析:由x3-6x2+9x-10=0,得x3=6x2-9x+10,在同一平面直角坐标系中作出函数y=x3和y=6x2-9x+10的图象,由图知两个函数图象只有一个交点.故选C.
5.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零点依次为a,b,c,则( )
A.aC.c答案:A
解析:∵ea=-a,∴a<0,∵ln b=-b,且b>0,
∴0∵ln c=1,∴c=e>1,故选A.
6.若f(x)是奇函数,且x0是函数y=f(x)+ex的一个零点,则下列函数中,-x0一定是其零点的是( )
A.y=f(-x)ex-1B.y=f(x)e-x+1
C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+1
答案:C
解析:由已知可得f(x0)=-ex0,则e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0一定是函数y=exf(x)-1的零点.
7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,若函数y=f(x+1)-1为奇函数,则函数f(x)的零点个数为( )
A.0B.1C.2D.3
答案:B
解析:∵f(x)=x3+ax2+bx+1,
∴f(x+1)-1=(x+1)3+a(x+1)2+b(x+1)+1-1=x3+(3+a)x2+(3+2a+b)x+1+b+a.
∵函数y=f(x+1)-1为奇函数,∴a=-3,b=2.
∴f(x)=x3-3x2+2x+1.
∴f'(x)=3x2-6x+2=3(x-1)2-1=3x-1-33x-1+33.
经分析可知f(x)在区间-∞,1-33内单调递增,在区间1-33,1+33内单调递减,在区间1+33,+∞内单调递增,且f1-33>0,f1+33>0,
∴函数f(x)的零点个数为1,故选B.
8.已知函数f(x)=x+1,x≤0,lg2x,x>0,则函数y=f(f(x))的所有零点之和为 .
答案:12
解析:当x≤0时,由x+1=0,得x=-1,由f(x)=-1,可得x+1=-1或lg2x=-1,
∴x=-2或x=12;
当x>0时,由lg2x=0,得x=1,由f(x)=1,可得x+1=1或lg2x=1,
∴x=0或x=2;
∴函数y=f(f(x))的所有零点为-2,12,0,2,所有零点的和为-2+12+0+2=12.
9.若函数f(x)=2x-a,x≤0,lnx,x>0有两个不同的零点,则实数a的取值范围是 .
答案:(0,1]
解析:当x>0时,由f(x)=ln x=0,得x=1.
因为函数f(x)有两个不同的零点,所以当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点.
令f(x)=2x-a=0,得a=2x.
因为当x≤0时,0<2x≤20=1,所以0所以实数a的取值范围是0二、综合应用
10.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是( )
A.1B.1C.x1>1,x1+x2<2
D.x1>1,x1+x2<1
答案:A
解析:函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2在同一平面直角坐标系中作出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图).
当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当0<-b<2时,由图可知111.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为( )
A.8B.-8
C.0D.-4
答案:B
解析:∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),
∴f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.
∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.
∵f(x)在区间[0,2]上单调递增,
∴f(x)在区间[-2,0]上单调递增,综合以上条件得函数f(x)的示意图如图所示.
由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,故x1+x2+x3+x4=-8,故选B.
12.(多选)已知函数f(x)=2x-lg12x,且实数a,b,c(a>b>c>0)满足f(a)f(b)f(c)<0.若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则下列不等式中可能成立的是( )
A.x0a
C.x0答案:ABC
解析:由f(x)=2x-lg12x=2x+lg2x,可知函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.因为实数a,b,c(a>b>c>0)满足f(a)f(b)f(c)<0,
所以f(a)>f(b)>0>f(c)或0>f(a)>f(b)>f(c),
则ca>b>c,故ABC可能成立.
13.(多选)如图,函数f(x)的图象由一条射线和抛物线的一部分构成,函数f(x)的零点为-12,则( )
A.函数g(x)=f(x)-f(4)·lg32有3个零点
B.f(|x|)≥lg84恒成立
C.函数h(x)=|f(x)|-f(4)4有4个零点
D.fx+2512≥f(x)恒成立
答案:BCD
解析:当x≥1时,设f(x)=m(x-2)2+1(m>0),因为f(1)=m+1=2,所以m=1.由此得f(4)=5,又5lg 32=lg 24332<1,所以g(x)只有1个零点,所以A错误;
由题可知射线经过点-12,0,(1,2),则射线的方程为y=43x+23(x≤1).
由题图可知f(|x|)≥f(0)=23=lg84,所以B正确;
因为f(4)4=54∈(1,2),所以h(x)有4个零点,所以C正确;
令f(x)=t(1≤t≤2),则该方程的解为x1=3t-24,x2=2-t-1,x3=2+t-1,
x3-x1=2+t-1−3t-24,令t-1=l(0≤l≤1),
则x3-x1=2+l-3(l2+1)-24=-34l-232+2512≤2512,故fx+2512≥f(x)恒成立,
所以D正确.
14.(多选)已知函数f(x)=kx+1,x≤0,lg2x,x>0,下列是关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断,其中正确的是( )
A.当k>0时,有3个零点
B.当k<0时,有2个零点
C.当k>0时,有4个零点
D.当k<0时,有1个零点
答案:CD
解析:当k>0时,作出函数f(x)=kx+1,x≤0,lg2x,x>0的图象如图所示.
当f(f(x))+1=0时,即f(f(x))=-1,有f1(x)∈(-∞,0),f2(x)=12两种情况.
又当f1(x)∈(-∞,0)时有两根,当f2(x)=12时也有两根,故函数y=f(f(x))+1有4个零点.
当k<0时,作出函数f(x)=kx+1,x≤0,lg2x,x>0的图象如图所示.
当f(f(x))+1=0时,即f(f(x))=-1,只有f(x)=12一种情况,此时f(x)=12仅有一个根.
故当k>0时,函数y=f(f(x))+1有4个零点;当k<0时,函数y=f(f(x))+1有1个零点.
15.已知函数f(x)=5x+x-2,g(x)=lg5x+x-2的零点分别为x1,x2,则x1+x2的值为 .
答案:2
解析:令f(x)=0,g(x)=0,得5x=-x+2,lg5x=-x+2.
作出函数y=5x,y=lg5x,y=-x+2的图象,如图所示.
因为函数f(x)=5x+x-2,g(x)=lg5x+x-2的零点分别为x1,x2,所以x1是函数y=5x的图象与直线y=-x+2交点A的横坐标,x2是函数y=lg5x的图象与直线y=-x+2交点B的横坐标.
因为y=5x与y=lg5x的图象关于直线y=x对称,直线y=-x+2也关于直线y=x对称,且直线y=-x+2与它们都只有一个交点,故这两个交点关于直线y=x对称.
又线段AB的中点是直线y=x与y=-x+2的交点,即点(1,1),故x1+x2=2.
三、探究创新
16.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=-lg2x.若函数F(x)=f(x)-tan(πx)在区间[-1,m]上有10个零点,则m的取值可以是( )
A.3.8B.3.9C.4D.4.1
答案:AB
解析:f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),又f(2-x)+f(x)=0,f(2-x)=-f(x)=f(-x),
令t=-x,得f(t)=f(t+2),即f(x)=f(x+2),所以f(x)是周期函数,周期为2,
又f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=f(2)=f(4)=…=0,f(1)=0,所以f(n)=0,n∈Z,
作出y=f(x)和y=tan(πx)的图象,其中y=tan(πx)的周期是T=ππ=1.
如图,由图可知当x≥-1时,从点A(-1,0),10个交点依次为A,B,O,C,D,E,F,G,H,I,点J是第11个交点,J(4,0),
设点C的横坐标为x0,显然x0∈0,12,f14=-lg214=2,tan14π=1,因此x0>14,
所以14所以m可取3.8,3.9,m≥4时至少有11个零点.
17.若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,函数g(x)=lg3(x-1),x>1,2x,x≤1,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为 .
答案:8
解析:∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x).
又x∈[-1,1]时,f(x)=x2,
∴f(x)的图象如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)的图象,可见y=f(x)(-5≤x≤5)与y=2x(x≤1)的图象有5个交点,y=f(x)(-5≤x≤5)与y=lg3(x-1)(x>1)的图象有3个交点,故共有8个交点.
即函数h(x)在区间[-5,5]上有8个零点.