第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；

(2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．

2．诱导公式

3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：

即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．

4、三角形中的三角函数关系式

sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；

cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；

tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；

sin＝sin＝cos；

cos＝cos＝sin.

1、【2022年浙江】设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为可得：

当时，，充分性成立；

当时，，必要性不成立；

所以当，是的充分不必要条件.

故选：A.

2、【2021年新高考1卷】若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

1、（2022·山东威海·三模）已知，，则___________.

【答案】

【解析】由题知：，

因为，所以.

故答案为：

2、已知，则（   ）

A． B．6 C． D．

【答案】B

【解析】化简

所以，故选B。

3、在△ABC中，下列结论不正确的是(　　)

A．sin(A＋B)＝sin C

B．sin ＝cos 

C．tan(A＋B)＝－tan C

D．cos(A＋B)＝cos C

【答案】　D

【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π，

则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．

sin ＝sin＝cos ，B正确．

tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确．

cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．

4、化简：的值为（     ）

 A.  B.  C.  D.

【答案】：B

【解析】：原式＝＝＝＝－1

5、（2022·湖南益阳·一模）若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由可知：

∴，∴，

又==.

故选C.

6、（2022·河北唐山·三模）若，则___________．

【答案】4

【解析】因为，两边同时平方得，即，所以，

因此，

故答案为：4.

考向一　三角函数的诱导公式

例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝．

(1)若cos＝，求f(α)的值；

(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．

【解析】：f(α)＝＝－cosα．

(1) ∵ cos＝－sinα＝，∴ sinα＝－．

∵ α是第三象限的角，

∴ cosα＝－＝－．

∴f(α)＝－cosα＝．

(2) f(α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－．

变式1、已知f(α)＝，则f的值为　　　　．

【答案】

【解析】 因为f(α)＝＝＝cos α，所以f＝cos

＝cos ＝.

变式2、 求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＝______；

【答案】 1

【解析】 原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin (3×360°＋120°)·cos (3×360°＋210°)－cos (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin (180°－60°)cos (180°＋30°)－cos (360°－60°)sin (360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.

方法总结：1、熟知将角合理转化的流程

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”

2．明确三角函数式化简的原则和方向

(1)切化弦，统一名．

(2)用诱导公式，统一角．

(3)用因式分解将式子变形，化为最简．

考向二  同角函数关系式的运用

例2、已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.求：

(1) sin x－cos x的值；

(2) 的值．

【解析】 (1) sin x＋cos x＝两边平方，

得sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝，

整理，得2sinx cos x＝－，

所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝.

由x∈(－π，0)，知sin x＜0.

又sin x＋cos x＞0，

所以cos x＞0，则sin x－cos x＜0，

故sin x－cos x＝－.

(2) ＝＝＝

＝－

　变式1、(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为_  __．

(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为__ __．

【答案】（1）－.（2）.

【解析】　(1)由tanα＝－，得sinα＝－cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cosα＜0，∴cosα＝－，sinα＝，故sinα＋cosα＝－.

(2)∵＜α＜，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.

变式2、（2022鄂尔多斯第一中学月考）化简：

(1) cos α＋sin α（α是第二象限角）；

(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α.

【解析】(1) cos α＋sin α＝cos α·＋sinα·

＝cosα·＋sin α·

＝cos α·＋sin α·＝－1＋sin α＋1－cos α＝sin α－cos α.

(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝sin2α(sin2α＋cos2α)＋cos2α＝sin2α＋cos2α＝1.

变式3、已知2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，α∈.求：

(1)tan α的值；

(2) 的值．

【解析】 (1) 因为2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，且cos2α＋sin2α＝1，

所以＝1，

所以＝1，

解得tanα＝－或tan α＝1.

又α∈，所以tan α＝－.

(2) ＝＝＝－.

方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．

考向三  同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用

例3、已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．

【解析】：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，

由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0，

所以sin(75°+α)=．

因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=-，

所以cos(15°-α)+sin(α-15°)=

变式1、已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝        .

【答案】　0

【解析】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，

(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，

所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]

＝－cos(75°＋α)

＝－，

sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]

＝cos(75°＋α)＝.

所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0.

变式2、 已知tan ＝，则tan ＝　　　　．

【答案】 －

【解析】 tan ＝tan [π－（－α）]＝－tan ＝－.

变式3、已知sin ＝，则sin （x－）＋sin2的值为　　　　．

【答案】

【解析】sin ＋sin2

＝sin＋sin2

＝－sin＋cos2

＝－sin＋1－sin2＝.

方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.

2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.

1、（2022·广东广州·一模）若，，则___________.

【答案】

【解析】解：因为，，所以，因为，所以

所以

故答案为：

2、（2022·湖南·长郡中学一模）已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线垂直，则的值为（        ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【解析】因为角的终边与直线垂直，即角的终边在直线上，

所以，，

故选：B．

3、（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知，则______．

【答案】0或1##1或0

【解析】由得：，

则，，所以或.

故答案为：0或1

4、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，，，，

，所以.

故选：C

5、（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

故选：B.

6、（2022·福建三明·模拟预测）已知，则（       ）

A．－ B． C．－ D．

【答案】A

【解析】

所以

故选：A

7、（2022·湖北·模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，所以

.

故选：D.

8、（2022·辽宁葫芦岛·二模）若，则（       ）

A． B． C．-3 D．3

【答案】C

【解析】，

分子分母同除以，

，

解得：

故选：C