(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升3.1《导数的概念及其意义、导数的运算》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或 SKIPIF 1 < 0 .
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y﹣f(x0)＝f′(x0)(x﹣x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( )
(4)若f(x)＝sin (﹣x)，则f′(x)＝cs (﹣x)．( )
教材改编题
1．函数f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1处的切线方程为________．
2．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.
3．若f(x)＝ln(1﹣x)＋e1﹣x，则f′(x)＝________.
题型一 导数的运算
例1 (1)(多选)下列求导运算正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ln x)))′＝﹣eq \f(1,xln2x) B．(x2ex)′＝2x＋ex
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))′＝﹣sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
教师备选
1．函数y＝sin 2x﹣cs 2x的导数y′等于( )
A．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) B．cs 2x＋sin x
C．cs 2x﹣sin 2x D．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))
2．已知函数f′(x)＝exsin x＋excs x，则f(2 021)﹣f(0)等于( )
A．e2 021cs 2 021 B．e2 021sin 2 021
C.eq \f(e,2) D．e
思维升华
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
跟踪训练1 (1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2﹣1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知函数f(x)＝ln(2x﹣3)＋axe﹣x，若f′(2)＝1，则a＝________.
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(﹣1，﹣3)处的切线方程为__________．
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，﹣1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为__________．
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)过定点P(1，e)作曲线y＝aex(a>0)的切线，恰有2条，则实数a的取值范围是________．
教师备选
1．已知曲线f(x)＝x3﹣x＋3在点P处的切线与直线x＋2y﹣1＝0垂直，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(﹣1,3)
C．(1,3)或(﹣1,3) D．(1，﹣3)
2．已知M是曲线y＝ln x＋eq \f(1,2)x2＋(1﹣a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于eq \f(π,4)的锐角，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(﹣∞，2] D．(﹣∞，4]
思维升华
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．
跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝ex﹣2n相切，则( )
A．m＋n为定值 B.eq \f(1,2)m＋n为定值
C．m＋eq \f(1,2)n为定值 D．m＋eq \f(1,3)n为定值
(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2﹣ax的图象上存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是______．
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于( )
A．0 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3
(2)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为________．
延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为________．
教师备选
1．若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于( )
A．1 B．2 C．3 D．3或﹣1
2．已知曲线y＝ex在点(x1， SKIPIF 1 < 0 )处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2﹣1)等于( )
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
跟踪训练3
(1)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝﹣2x2＋m，g(x)＝﹣3ln x﹣x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5 C．1 D．0
(2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为____________________．
课时精练
1．下列函数的求导正确的是( )
A．(x﹣2)′＝﹣2x B．(xcs x)′＝cs x﹣xsin x
C．(ln 10)′＝eq \f(1,10) D．(e2x)′＝2ex
2．曲线y＝2cs x＋sin x在(π，﹣2)处的切线方程为( )
A．x﹣y＋π﹣2＝0 B．x﹣y﹣π＋2＝0
C．x＋y＋π﹣2＝0 D．x＋y﹣π＋2＝0
3．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于( )
A．﹣1 B．0 C．2 D．4
4．已知点A是函数f(x)＝x2﹣ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2 C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(16,3)
5．设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cs eq \f(πx,2)＋c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线，则b＋c﹣a的值为( )
A．0 B．π C．﹣2 D．3
6．设点P是函数f(x)＝2ex﹣f′(0)x＋f′(1)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
7.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f′(3)>f′(2) B．f′(3)C．f(3)﹣f(2)>f′(3) D．f(3)﹣f(2)8．(多选)若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))上是凸函数的是( )
A．f(x)＝﹣x3＋3x＋4 B．f(x)＝ln x＋2x
C．f(x)＝sin x＋cs x D．f(x)＝xex
9．若曲线f(x)＝xcs x在x＝π处的切线与直线ax﹣y＋1＝0平行，则实数a＝________.
10．已知函数f(x)＝eq \f(1,ax－1)＋excs x，若f′(0)＝﹣1，则a＝________.
11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，则f′(x)＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．
12．已知函数f(x)＝x3﹣ax2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a＋1))x(a∈R)，若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为____________________．
13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f(x)在[a，b]上满足以下条件：①在[a，b]上图象连续，②在(a，b)内导数存在，则在(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)﹣f(a)＝f′(c)(b﹣a)(f′(x)为f(x)的导函数)．则函数f(x)＝xex﹣1在[0,1]上这样的c点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
14．若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则( )
A．eb15．若曲线y＝eq \f(1,4)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs2x在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1﹣x2|的最小值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D．π
16．已知曲线C1：y＝ex＋m，C2：y＝x2，若恰好存在两条直线l1，l2与C1，C2都相切，则实数m的取值范围是____________．基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα﹣1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝﹣sin_x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)