高考数学复习第三章　第七节　第一课时　函数的零点与方程的解、二分法（导学案）

这是一份高考数学复习第三章　第七节　第一课时　函数的零点与方程的解、二分法（导学案），共23页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，常用结论，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，备选题型等内容，欢迎下载使用。

第七节 函数的应用
第1课时 函数的零点与方程的解、二分法
【课程标准】
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解.
【必备知识·精归纳】
1.函数的零点与方程的解
(1)函数的零点
对于一般函数y=f(x),使f(x)=0的实数x.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理
①条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0.
②结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
点睛连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
【常用结论】
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
【基础小题·固根基】
1.(结论)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:
则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析：选B.依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据函数零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.
2.(教材变式)函数f(x)=ex+3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：选B.由f'(x)=ex+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=1e-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点.
3.(教材提升)已知函数f(x)=x2+x-2,x≤0,-1+lnx,x>0,则f(x)的零点为 .
解析：由题意,知x≤0,x2+x-2=0或x>0,-1+lnx=0,
解得x=-2或x=e.
答案:-2,e
4.(忽视区间端点值)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是 .
解析：依题意函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,
所以k≠0,函数f(x)在定义域上是单调函数,
所以f(1)·f(2)≤0,即(k+1)(2k+1)≤0,
解得-1≤k≤-12.
答案: [-1,-12]
5.(应用零点和奇函数的概念不准确)设函数f(x)是定义在R上的奇函数且当x>0时,f(x)=x-1+lg x,则在R上f(x)的零点为 .
解析：因为f(x)是R上的奇函数,
所以f(0)=0,且f(-x)=-f(x).
又当x>0时,f(1)=0,
所以当x<0时,奇函数f(x)还有一个零点-1.
答案:0,-1,1
【题型一】函数零点所在区间的判定
[典例1](1)(多选题)(2022·菏泽质检)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间内必有零点( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析：选AD.f(-2)=1e2>0,f(-1)=1e-1<0,
f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,
f(2)=e2-4>0,
因为f(-2)·f(-1)<0,f(1)·f(2)<0,
所以f(x)在(-2,-1)和(1,2)内存在零点.
(2)设f(x)=0.8x-1,g(x)=ln x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点一定位于下列哪个区间( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,e) D.(e,3)
解析：选A.h(x)=f(x)-g(x)的零点等价于方程f(x)-g(x)=0的根,
即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点的横坐标,其大致图象如图,
从图象可知它们仅有一个交点A,横坐标的范围为(0,1).
【方法提炼】——自主完善,老师指导
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共点来判断.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=6x-lg2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)
解析：选C.因为f(1)=6-lg21=6>0,f(2)=3-lg22=2>0,f(4)=32-lg24=-12<0,且f(x)在定义域内单调递减,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).
2.设函数f(x)=13x-ln x,则函数y=f(x)( )
A.在区间(1e,1),(1,e)内均有零点
B.在区间(1e,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(1e,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间(1e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
解析：选D.方法一(定理法):当x∈(1e,e)时,函数图象是连续的,且f'(x)=13-1x=x-33x<0,
所以函数f(x)在(1e,e)上单调递减.
又f(1e)=13e+1>0,f(1)=13>0,f(e)=13e-1<0,所以函数在区间(1,e)内有唯一的零点.
方法二(图象法):令f(x)=0,得13x=ln x.
作出函数y=13x和y=ln x的图象,如图,
显然y=f(x)在(1e,1)内无零点,在(1,e)内有零点.
【加练备选】
1.(2022·白银模拟)函数f(x)=ln x-2x2的零点所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析：选B. (定理法)由题意知函数f(x)是增函数,
因为f(1)<0,f(2)=ln 2-12=ln 2-lne>0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).
2.若aA.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
解析：选A.函数y=f(x)是开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a则a-b<0,a-c<0,b-c<0,
因此f(a)=(a-b)(a-c)>0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,
f(c)=(c-a)(c-b)>0.
所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,
即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.
【题型二】函数零点个数的判定
[典例2](1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：选B.方法一:因为f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.
方法二:设y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.
(2)已知函数f(x)=x2-2x,x≤0,1+1x,x>0,则函数y=f(x)+3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：选C.(方程法)令f(x)+3x=0,
则x≤0,x2-2x+3x=0或x>0,1+1x+3x=0,
解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.
(3)函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：选B.(图象法)令f(x)=2x|lg0.5x|-1=0,可得|lg0.5x|=(12)x,
设g(x)=|lg0.5x|,h(x)=(12)x,在同一平面直角坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图象如图,
可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
函数零点个数的判定方法
(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.
(2)定理法:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法:画出两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
【对点训练】
1.函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时f(x)=x2-x,则函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：选B.令f(x)=x2-x=0,
所以x=0或x=1,所以f(0)=0,f(1)=0.
因为函数的最小正周期为2,
所以f(2)=0,f(3)=0,f(-2)=0,f(-1)=0,f(-3)=0.
所以函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为7.
2.函数f(x)=x2-2,x≤0,2x-6+lnx,x>0的零点个数是 .
解析：当x≤0时,令x2-2=0,
解得x=-2(正根舍去),
所以在(-∞,0]上,f(x)有一个零点;
当x>0时,f'(x)=2+1x>0恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
又因为f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=ln 3>0,
所以f(x)在(0,+∞)上有一个零点.
综上,函数f(x)的零点个数为2.
答案:2
【加练备选】
函数f(x)=xcs 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：选D.(方程法)借助余弦函数的图象求解.f(x)=xcs 2x=0⇒x=0或cs 2x=0,又cs 2x=0在[0,2π]上有4个根,即π4,3π4,5π4,7π4,故原函数有5个零点.
【题型三】函数零点的应用
角度1 根据函数零点个数求参数
[典例3](1)已知函数f(x)=ex-a,x≤0,2x-a,x>0(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,1]
解析：选A.画出函数f(x)的大致图象如图所示.
因为函数f(x)在R上有两个零点,
所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一个零点.
当x≤0时,f(x)有一个零点,需0当x>0时,f(x)有一个零点,需-a<0,即a>0.
综上,0(2)函数f(x)=xx+2-kx2有两个零点,则实数k的值为 .
解析：由f(x)=xx+2-kx2=x(1x+2-kx),
函数f(x)=xx+2-kx2有两个零点,
即函数y=1x+2-kx只有一个零点x0,且x0≠0.
即方程1x+2-kx=0有且只有一个非零实根.
显然k≠0,即1k=x2+2x有且只有一个非零实根.
即二次函数y=x2+2x的图象与直线y=1k有且只有一个交点(横坐标不为零).
作出二次函数y=x2+2x的图象,如图.
因为1k≠0,由图可知,当1k>-1时,
函数y=x2+2x的图象与直线y=1k有两个交点,不满足条件.
当1k=-1,即k=-1时满足条件.
当1k<-1时,函数y=x2+2x的图象与直线y=1k无交点,不满足条件.
答案:-1
角度2 根据函数零点范围求参数
[典例4](1)(2023·北京模拟)已知函数f(x)=3x-1+axx.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,43) B. (0,43)
C.(-∞,0) D.(43,+∞)
解析：选B.由f(x)=3x-1+axx=0,
可得a=3x-1x,
令g(x)=3x-1x,其中x∈(-∞,-1),
由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域.
由于函数y=3x,y=-1x在区间(-∞,-1)上均单调递增,
所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增.
当x∈(-∞,-1)时,
g(x)=3x-1x<3-1+1=43,
又g(x)=3x-1x>0,
所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为(0,43).
因此实数a的取值范围是(0,43).
(2)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是 .
解析：依题意,结合函数f(x)的图象分析可知,m需满足m≠2,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,即
m≠2,(m-2-m+2m+1)(2m+1)<0,(m-2+m+2m+1)·[4(m-2)+2m+2m+1]<0,
解得14答案:(14,12)
角度3 求函数多个零点(方程根)的和
[典例5]已知函数f(x)=lnx,x≥1,-ln(2-x),x<1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根的和为( )
A.2 B.3 C.4 D.1
解析：选A.当x>1时,2-x<1,
所以f(2-x)=-ln[2-(2-x)]=-ln x=-f(x);
当x<1时,2-x>1,所以f(2-x)=ln(2-x)=-f(x);
当x=1时,f(1)=0,
所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.
显然x=1不是方程(x-1)f(x)=1的根.
当x≠1时,原方程可变为f(x)=1x-1,
故求方程(x-1)f(x)=1的所有实根的和即为求y=f(x)和y=1x-1的图象的交点的横坐标之和.
作出函数y=f(x)和y=1x-1的图象,如图所示.
由图象得,两个函数的图象有2个交点,分别设为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1因为函数y=f(x)和y=1x-1的图象都关于点(1,0)对称,所以A,B也关于点(1,0)对称,
所以x1+x22=1,即x1+x2=2.
【方法提炼】
已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:将参数分离,转化成求已知函数零点情况的问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
【对点训练】
1.函数f(x)=x2-ax+1在区间(12,3)上有零点,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C. [2,52) D. [2,103)
解析：选D.由题意知方程ax=x2+1在(12,3)上有解,即a=x+1x在(12,3)上有解,设t=x+1x,x∈(12,3),则t的取值范围是[2,103),所以实数a的取值范围是[2,103).
2.设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x)且f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3,则函数g(x)=|cs(πx)|-f(x)在区间(-12,32]上的所有零点的和为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：选C.由f(-x)=f(x),知函数f(x)是偶函数,由f(x)=f(2-x),可知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1.由于函数f(x)与函数y=|cs(πx)|均为偶函数,
所以在(-12,12]上g(x)的零点之和为0,只需求在(12,32]上的零点和.在同一个直角坐标系中画出函数y=|cs(πx)|,y=f(x)在(12,32]上的图象如图,
在(12,32]上,(1,1)为两函数图象的交点,且另两个交点关于x=1对称,所以在(12,32]上,g(x)的零点和为3,故所有零点的和为3.
3.设函数f(x)=2x-a,x<1,4(x-a)(x-2a),x≥1.若a=1,则f(x)的最小值为 ;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .
解析：若a=1,
则f(x)=2x-1,x<1,4(x-1)(x-2),x≥1,作出函数f(x)的图象如图所示.
由图可得f(x)的最小值为-1.
当a≥1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足21-a≤0,即a≥2;
当a<1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足a<1≤2a,21-a>0,解得12≤a<1.
综上,实数a的取值范围为[12,1)∪[2,+∞).
答案:-1 [12,1)∪[2,+∞)
【加练备选】
1.(多选题)设函数f(x)=|lnx|,x>0,ex(x+1),x≤0.若函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数b可取的值为( )
A.0 B.13 C.12 D.1
解析：选BCD.函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于函数y=f(x)的图象与直线y=b有三个不同的交点,
当x≤0时,f(x)=(x+1)ex,
则f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex,
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,0]上单调递增,且f(-2)=-1e2,f(0)=1,
x→-∞时,f(x)→0,
从而可得f(x)的图象如图所示.
通过图象可知,若函数y=f(x)的图象与直线y=b有三个不同的交点,则b∈(0,1].
2.已知函数f(x)=lg2(x+1)-1x+m在区间(1,3]上有零点,则m的取值范围为( )
A. (-53,0)
B. (-∞,-53)∪(0,+∞)
C. (-∞,-53]∪(0,+∞)
D. [-53,0)
解析：选D.由于函数y=lg2(x+1),y=m-1x在区间(1,3]上单调递增,
所以函数f(x)在(1,3]上单调递增.
由于函数f(x)=lg2(x+1)-1x+m在区间(1,3]上有零点,
则f(1)<0,f(3)≥0,即m<0,m+53≥0,
解得-53≤m<0.
因此,实数m的取值范围是[-53,0).
3.(2023·浙江名校联盟联考)定义在R上的函数f(x),满足f(-x)=-f(x),且f(x)=f(2-x).当0解析：定义在R上的函数f(x),满足f(-x)=-f(x),且f(x)=f(2-x),
则f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以函数f(x)的周期为4,且其图象关于直线x=1对称.
当0所以f(12)=-1,则f(-12)=1.
由f(x)的图象关于直线x=1对称,得f(52)=1,
则由周期为4可得,f(72)=1,f(-92)=1,
f(-32)=1,f(-112)=1,
所以-12-32-92-112+52+72=-6.
答案:-6
【备选题型】嵌套函数的零点问题
函数的零点是高考命题的热点,主要涉及判断函数零点的个数或范围,对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.
角度1 嵌套函数零点个数的判断
[典例1]已知函数f(x)=x+1x,x<0,lnx,x>0.则方程f(f(x))+3=0的解的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：选C.因为函数f(x)=x+1x,x<0,lnx,x>0,
由f(x)=-3,当x>0,即ln x=-3,
解得x=1e3,
当x<0时,则有x+1x=-3,
解得x=-3±52.
因为f(f(x))+3=0,即f(x)=1e3或f(x)=-3±52,
由f(x)=1e3,可得ln x=1e3,此方程只有一个根.
又x<0时,f(x)=x+1x≤-2,故f(x)=-3+52仅在x>0时有一个根,f(x)=-3-52在x<0时有两个根,在x>0时有一个根,综上,方程f(f(x))+3=0有五个根.
【方法提炼】
求解嵌套函数零点问题的主要步骤
(1)换元解套,转化为t=g(x)与y=f(t)的零点.
(2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数.
角度2 与嵌套函数零点相关的参数范围
[典例2]函数f(x)=ln(-x-1),x<-1,2x+1,x≥-1,若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 .
解析：设t=f(x),令f(f(x))-a=0,
则a=f(t).在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图).
当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1<-1,t2≥-1.
当t1<-1时,t1=f(x)有一解,当t2≥-1时,t2=f(x)有两解.
综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点.
答案:[-1,+∞)
【方法提炼】
1.求嵌套函数零点中的参数范围可抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.
2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=|x2+2x|,x≤0,lnx,x>0,则函数g(x)=2f(f(x)-1)-1的零点个数为( )
A.7 B.8 C.10 D.11
解析：选B.记t=f(x)-1,则2f(t)-1=0的解为t1=e,t2=-1-62,t3=-1+22,t4=-1-22.t=f(x)-1的根等价于直线y=t+1与y=f(x)的图象的交点个数,画出f(x)的图象,如图,数形结合知有8个交点,即g(x)=2f(f(x)-1)-1有8个零点.
2.已知f(x)=xlnx,方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三个不等实根,则a的取值范围为( )
A.{-e}∪(3-e,+∞)
B.{-e}∪(0,3-e)
C.(-∞,0)
D.{-e}∪[3-e,+∞)
解析：选B.由题意知f'(x)=lnx-1ln2x(x>0且x≠1),令f'(x)=0,得x=e,所以当x∈(0,1)∪(1,e)时,f'(x)<0;
当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)在(0,1),(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
所以当x=e时,f(x)有极小值,且极小值为e,则函数f(x)的大致图象如图所示.
由方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0得f(x)=-a或f(x)=-a+3,
若方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三个不等实根,则有-a<0,-a+3>e或-a=e,-a+3>e,
解得0【思维导图·构网络】
解题思维拓广角度❸ 复合函数零点、方程根的问题
复合函数涉及内外两层函数,问题的解决往往涵盖函数与方程、数形结合、分类整合和化归与转化等数学思想.复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强的特点,对考查学生思维能力、运算能力有较高的要求.
[常见方法]先将复合函数的解析式写出,再根据函数的解析式画出函数的图象,根据函数的图象研究零点问题.
类型一 确定复合函数零点的个数或方程解的个数
[典例1](1)已知函数f(x)=ax+1,x≤0,lg2x,x>0,则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数判断正确的是( )
A.当a>0时,有4个零点;a<0时,有1个零点
B.当a>0时,有3个零点;a<0时,有2个零点
C.无论a为何值,均有2个零点
D.无论a为何值,均有4个零点
解析：选A.所求函数的零点,
即方程f(f(x))=-1的解的个数,
令t=f(x),先作出y=f(t)的图象,
直线y=ax+1为过定点(0,1)的一条直线,但需要对a的符号进行分类讨论.当a>0时,如图1所示,先拆外层可得t1=-2a<0,t2=12,如图2所示,而t1有两个对应的x,t2也有两个对应的x,共计4个;当a<0时,如图3所示,先拆外层可得t=12,如图4所示,t=12只有一个满足的x,所以共1个零点.结合选项,可判断出A正确.
(2)已知f(x)=|lgx|,x>0,2|x|,x≤0,则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是 .
解析：由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.
由图象知y=12与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.
答案:5
【方法提炼】
求复合函数y=f(g(x))的零点的个数或方程解的个数的策略:
(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.
(2)由y=f(t)的图象观察有几个t的值满足条件,结合t的值观察t=g(x)的图象,求出每一个t与几个x对应,将x的个数汇总后即为y=f(g(x))的零点或方程解的个数,即“从外到内”.
类型二 已知函数零点的个数,求参数的取值范围
[典例2](1)已知函数f(x)=kx+3,x≥0,(12) x,x<0,若方程f(f(x))-2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是( )
A.[0,+∞) B.[1,3]
C. (-1,-13] D. [-1,-13]
解析：选C.因为f(f(x))-2=0,所以f(f(x))=2,所以f(x)=-1或f(x)=-1k(k≠0).
(i)当k=0时,作出函数f(x)的图象如图①所示,由图象可知f(x)=-1无解,所以k=0不符合题意;
(ii)当k>0时,作出函数f(x)的图象如图②所示,由图象可知f(x)=-1无解且f(x)=-1k无解,即f(f(x))-2=0无解,不符合题意;
(iii)当k<0时,作出函数f(x)的图象如图③所示,由图象可知f(x)=-1有1个实数根,
因为f(f(x))-2=0有3个实数根,
所以f(x)=-1k有2个实数根,
所以1<-1k≤3,解得-1综上,k的取值范围是(-1,-13].
(2)已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=x+14x,x>0,x+1,x≤0.若方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是 .
解析：令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,
由方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,
易知方程f(x)=t在t<1时有2个不同的解,
则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象如图,由图象可知,当1≤a<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是[1,54).
答案: [1,54)
【方法提炼】
已知复合函数y=f(g(x))零点的个数,求参数的取值范围的问题的方法:
(1)先换元解套,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.
(2)由零点个数结合t=g(x)与y=f(t)的图象特点,从而确定t的取值范围,进而确定参数的范围,即“从内到外”.此法称为双图象法(换元法+数形结合).
【加练备选】
已知函数f(x)=|x2-4x+3|,若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰有七个不相同的实根,则实数b的取值范围是( )
A.(-2,0) B.(-2,-1)
C.(0,1) D.(0,2)
解析：选B.通过图象变换作出t=f(x)的图象(如图),因为[f(x)]2+bf(x)+c=0最多只能解出2个f(x),若要解出七个根,
则t1=1,t2∈(0,1),所以-b=t1+t2∈(1,2),
解得b∈(-2,-1).
教材改编
结论应用
易错易混
2,3
1
4,5
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
-74
24.5
-36.7
-123.6