第19讲 导数的概念及其运算-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

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第19讲 导数的概念及其运算

1. 导数的几何意义
(1) 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
(2) 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)　.
2. 基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝　0　
f(x)＝xα(α是实数)
f′(x)＝　αxα－1　
f(x)＝sinx
f′(x)＝　cosx　
f(x)＝cosx
f′(x)＝　－sinx　
f(x)＝ex
f′(x)＝　ex　
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝　axlna　
f(x)＝lnx
f′(x)＝　　
f(x)＝logax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝　　
3. 导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则：
(1) [f(x)±g(x)]′＝　 f′(x)±g′(x)　；
(2) [f(x)·g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　；
(3) ′＝　(g(x)≠0)．
4. 复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝　f′(g(x))·g′(x)　.
5. 设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的　瞬时速度　; 设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的　瞬时加速度　.

1、【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)
【解析】∵y=(x+a)ex，∴y'=(x+1+a)ex，
设切点为(x0,y0),则y0=x0+aex0,切线斜率k=x0+1+aex0,
切线方程为：y−x0+aex0=x0+1+aex0(x−x0),
∵切线过原点，∴−x0+aex0=x0+1+aex0(−x0),
整理得：x02+ax0−a=0,
∵切线有两条，∴∆=a2+4a>0,解得a<−4或a>0,
∴a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞),
故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)
2、【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】     y=1ex     y=−1ex
【解析】
解： 因为y=lnx，
当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
当x<0时y=ln−x，设切点为x1,ln−x1，由y'=1x，所以y'|x=x1=1x1，所以切线方程为y−ln−x1=1x1x−x1，
又切线过坐标原点，所以−ln−x1=1x1−x1，解得x1=−e，所以切线方程为y−1=1−ex+e，即y=−1ex；
故答案为：y=1ex；y=−1ex
3、【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
4、【2020年新课标1卷理科】函数的图像在点处的切线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
5、【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（       ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
6、【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
：
，
将代入得，故选D．


1、下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：D．
2、若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
．
故选：C．
3、(2022·珠海高三期末)若函数f(x)＝ln x＋的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则a＝________．
【答案】 －1
【解析】 由题意，得f′(x)＝，则f′(1)＝1－a，所以(1－a)·＝－1，解得a＝－1.
4、函数y＝x sin x－cos x的导数为______________________．
【答案】 y′＝2sin x＋x cos x
【解析】 y′＝sin x＋x cos x＋sin x＝2sin x＋x cos x.
5、（2022·福建·莆田二中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】由，得，
所以切线的斜率为，
所以所求的切线方程为，即，
故答案为:
6、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】，
则曲线在处的切线斜率，
∴切线方程为，即．
故答案为：．


考向一　基本函数的导数
例1、求下列函数的导数.
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；(4)y＝xsincos.
【解析】　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′
＝－.
(3)y′＝′＝
＝－.
(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
变式1　已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f(1)＝1，f′(x)＋2x>0，其中f′(x)是f(x)的导数，写出满足上述条件的一个函数　　.
【答案】f(x)＝x3＋2x－(答案不唯一)
【解析】 可令f′(x)＝x2＋2，满足f′(x)＋2x>0，则f(x)＝x3＋2x＋C，f(1)＝＋2＋C＝1，
故C＝－，f(x)＝x3＋2x－.
变式2　求下列函数的导数：
(1) f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x；
(2) f(x)＝ln.

【解析】（1） f′(x)＝(x2＋2x－1)′e1－x＋(x2＋2x－1)(e1－x)′
＝(2x＋2)e1－x＋(x2＋2x－1)(－e1－x)
＝(－x2＋3)e1－x.
【解析】（2） 因为f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1)，
所以f′(x)＝[ln(x－1)－ln(x＋1)]′＝－＝.
变式3、求下列函数的导数：
(1) f(x)＝x3＋x sin x；
(2) f(x)＝x ln x＋2x;
(3) f(x)＝excos x；
(4) f(x)＝.
【答案】 (1) f′(x)＝3x2＋sin x＋x cos x.
(2) f′(x)＝ln x＋3.
(3) f′(x)＝ex cos x－ex sin x.
(4) f′(x)＝.

方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
考向二 求导数的切线方程
例2、（1）（2022·河北衡水中学一模）已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为______．
（2）（2022·福建·三模）已知是定义在上的函数，且函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】（1）；（2）【答案】D
【详解】（1）设，，因为函数是偶函数，
所以，
当时，，，，
所以在处的切线方程为，
即.故答案为：
（2）令，因为为奇函数，故，
故即.
即，
当时，，
故，
故时，，
此时，故，而
故切线方程为：，
故选：D.
变式1、　(1) 若函数f(x)＝2的图象在点(a，f(a))处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，求该切线的方程；
(2) 求过点P(2，5)与曲线f(x)＝x3－x＋3相切的直线方程；
(3) 若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求实数a的值．
【解析】 (1) 因为f(x)＝2，x≥0，所以f′(x)＝.
因为f(x)＝2的图象在点(a，f(a))处的切线与 2x＋y－4＝0垂直，
所以f′(a)＝＝，解得a＝4，所以f(a)＝2×＝4，
所以切线的方程为y＝(x－4)＋4，
即x－2y＋4＝0.
(2) 因为f(x)＝x3－x＋3，
所以f′(x)＝3x2－1.因为f(2)＝9，所以点P不在曲线f(x)上，
设切点为(x0，f(x0))，
则切线方程为y＝(3x－1)(x－x0)＋x－x0＋3.
因为切线过点P(2，5)，
所以5＝(3x－1)(2－x0)＋x－x0＋3，
即2x－6x＋4＝0，
解得x0＝1±或x0＝1，
所以切线方程为y＝2x＋1或y＝(11－6)x＋12－17或y＝(11＋6)x－17－12.
(3) 因为y＝x3，所以y′＝3x2.
因为y＝ax2＋x－9，所以y′＝2ax＋.
因为过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切，
设切点为(x0，x)，所以切线方程为y＝3x(x－x0)＋x.
代入(1，0)，得3x(1－x0)＋x＝0，
解得x0＝0或x0＝，所以切线方程为y＝0或y＝＋.
设直线与曲线y＝ax2＋x－9相切于点(x1，ax＋x1－9)，
则切线方程为y＝(x－x1)＋ax＋x1－9＝x－ax－9.
①若切线方程为y＝0，
则解得
②若切线方程为y＝＋，
即y＝x－，
则解得
综上所述，实数a的值为－或－1.
变式2、（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设切点为，切线方程为，由，所以，所以，
则，所以，
令，则，
因为，所以当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，，
依题意有三个零点，所以且，即；
故选：B
方法总结： 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
考向三 导数几何意义的应用
例3、（1）已知函数是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为__________________．
（2）：若直线是曲线的切线，则实数的值为________．
【答案】：(1)3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0　(2)－e
【解析】：(1)由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
则a＝f′()＝3－2sin ＋2cos ＝1.由y＝x3得y′＝3x2，
当P点为切点时，切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)．
故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
当P点不是切点时，设切点为(x0，x)，∴切线方程为y－x＝3x(x－x0)，
∵P(a，b)在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.∴1－x＝3x(1－x0)，
∴2x－3x＋1＝0，∴2x－2x－x＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切点为，
∴此时的切线方程为，
综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
(2)设切点为(x0，x0ln x0)，
由y′＝(xln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1，得切线的斜率k＝ln x0＋1，
故切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，整理得y＝(ln x0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得
解得x0＝e，故m＝－e.
变式1、（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数，则函数___________.
【答案】
【解析】由题意得，且，
令，得，故
故答案为：
变式2、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数，则__________.
【答案】-2
【解析】由函数求导得：，当时，，解得，
因此，，所以.
故答案为：-2

方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．


1、（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．
故选：D．
2、（2022·湖南·雅礼中学二模）已知的一条切线与f（x）有且仅有一个交点，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设切点为，，，
所以切线方程为，
由，
得
，
整理得，
切线与f（x）的图象有且仅有一个交点，所以，，
所以切线方程为，所以，
故选：A．
3、（2022·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设切点为，，
曲线在切点处的切线方程为，
整理得，所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
则的取值范围是．
故选：C.
4、（2022·广东汕头·二模）已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设切点，
因为，
则，，
所以切线方程为，
因为切线过点，
所以，
即，
令，
则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，
因为存在3条直线与曲线相切，
所以方程有三个不同根，则，
故选：D
5、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知f (x)=cos x，g (x) = x，则关于x的不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】由题可得，即，
又，
所以，
所以，
∴原不等式的解集为.
故答案为：
6、（2022·山东·模拟预测）已知直线与曲线相切，则___________.
【答案】3
【解析】对求导，得，
设切点为，则，解得，
故答案为：3.