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专题03 中点模型之三线合一模型、垂直平分线模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（北师大版）
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这是一份专题03 中点模型之三线合一模型、垂直平分线模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（北师大版），文件包含专题03中点模型之三线合一模型垂直平分线模型平行线夹中点模型原卷版docx、专题03中点模型之三线合一模型垂直平分线模型平行线夹中点模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，则BE=EC。
模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。
例1．（2023上·四川遂宁·八年级校考阶段练习）如图， 已知中，为内一点， 过点的直线分别交于点．若M在的中垂线上，在的中垂线上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知，以A，B两点为圆心的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则的周长为（ ）
A．8B．C．D．
例3．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，在中，点是内一点，连接垂直平分，若，则点之间的距离为（ ）
A．4B．8C．2D．6
例4．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在中，，，，，垂直平分BC，若为直线EF上的任意一点，则的最小值是（）
A．3B．4C．5D．6
例5．（2022上·山东威海·八年级统考期中）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点D，交于点E．的垂直平分线交于点G，交于点F．则的长为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点D，E．(1)若，求的大小；(2)若的平分线和边的垂直平分线相交于点F，过点F作垂直于的延长线于点G，求证：．
模型2：等腰三角形的“三线合一”
定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。
如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC边上的中点，则∠BAD =∠CAD，AD⊥BC， BD=CD。
模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。
例1．（2023上·广西崇左·八年级校联考阶段练习）如图，的垂直平分线为，垂足为点 O，点P在上，则下列结论中， 不一定正确的是（ ）
A．B． C．平分D．
例2．（2023上·湖南衡阳·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，且，则长为（ ）
A．1B．3C．2D．4
例3．（2023·广东梅州·九年级校联考期末）如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则 ．
例4．（2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，在中，D是上一点，，E，F分别是，的中点，，则的长为
例5．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在中，，为的角平分线，过点E作交于点F，若，则的周长为（ ）
A．12B．16C．18D．24
例6．（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）如图，与均为等边三角形，点在边上，，连接．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长．
模型3：“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型
我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”
如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。
模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。
例1．（2023上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知等边，过边上一点P作于点E，点Q为延长线上一点，取，连接，交于M，已知的长为2，则等边三角形的边长为 ．
例2．（2023下·江苏徐州·八年级统考期末）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023上·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若， ，则的长为 ．
例4．（2023下·福建泉州·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，，平分交于点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论∶①；②点是中点；③；④．一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出了下列问题．
(1)探究结论：在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______．
(2)应用结论在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_．
(3)拓展延伸：在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由．
课后专项训练
1．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若，则的长为（ ）
AI
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，中，是边上的中线，M是上的一个动点，作交于N，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．D．
4．（2023·安徽淮北·校考模拟预测）如图，在中，为上一点，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023下·内蒙古通辽·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB、点F是AD的中点，作CE⊥AB垂足E在线段AB上，连接 EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF； ③S△BCE＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2023上·重庆沙坪坝·八年级校考期中）中，，点是边的中点，则的度数为 ．
7．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是 ．
8．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点．，，垂足分别为，．则 ．
9．（2023上·河南·八年级校考期中）如图所示，点在的内部，点，分别是点关于直线，的对称点，线段分别交，于点，，若的周长是20，则线段的长是 ．
10．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在中，的垂直平分线相交于点O，若等于，则 ．
11．（2023·辽宁鞍山·统考三模）在中，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，直线与交于点，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ．
12．（2023·河北·统考模拟预测）如图，点在直线上，点在的同侧，，若，则的长为 ．
13．（2023上·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ．
14．（2022下·浙江温州·八年级统考期中）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 ．
15．（2023下·浙江杭州·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，，F是AD的中点，过点C作于点E，连接EF，CF，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填序号）．
16．（2023·江西·八年级校考阶段练习）在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，求的长．（提示：过点作，垂足为．）
17．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）在中，，，点为边上一动点，连接．(1)边上的高的长度为 ；(2)如图1，若点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设运动时间为秒．是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把沿着直线翻折，点的对应点为点，交边于点，当时，求的长度．
18．（2023上·吉林白山·八年级校联考期中）如图，在中，，，平分，D为的中点，且，E为BC延长线上一点，且．
(1)求ME的长；(2)求证：是等腰三角形．
18．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点E是BC边的中点．连接AE，DE，求∠AED的度数．
19．（2024下·成都市·八年级假期作业）如图，在中，E为DC的中点，连接AE并延长，与BC的延长线相交于点F，求证：．
20．（2023·河北·统考一模）如图，已知，，且，，是的中点.（1）请你用直尺（无刻度）作出一条与相等的线段，并利用三角形全等证明该线段与相等；
（2）求的长.
21．（2022下·江西抚州·八年级统考期末）(1)阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，CD之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝CF，从而把AB，AD，CD转化在一个三角形中即可判断：AB，AD，CD之间的等量关系为 ；
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)问题解决：如图③，ABCF，AE与BC交于点E，且点E是BC的中点，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE＝30°，若AB＝6，CF＝2，求CD的值．
22．（2023上·浙江绍兴·八年级统考期中）[方法呈现]
（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是 ．
[探究应用]（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
23．（2023上·湖北宜昌·八年级校联考期中）已知：如图，在中，，于点D，E是上的一动点，点F在直线上，且．
(1)求证：；(2)如图1，求证：；(3)如图2，如果，，当正好平分时，直接写出的长为_____．（用含m的代数式表示）
24．（2023·吉林长春·八年级期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合下图，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：（1）如下图，在中，直线分别是边的垂直平分线，直线交于点，过点作于点．求证：．
（2）如下图，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，则的长为_________．
线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等．
已知：如图，，垂足点为，点是直线的任意一点．
请写出完整的证明过程
求证：．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明．
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，则BE=EC。
模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。
例1．（2023上·四川遂宁·八年级校考阶段练习）如图， 已知中，为内一点， 过点的直线分别交于点．若M在的中垂线上，在的中垂线上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，已知，以A，B两点为圆心的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则的周长为（ ）
A．8B．C．D．
例3．（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，在中，点是内一点，连接垂直平分，若，则点之间的距离为（ ）
A．4B．8C．2D．6
例4．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在中，，，，，垂直平分BC，若为直线EF上的任意一点，则的最小值是（）
A．3B．4C．5D．6
例5．（2022上·山东威海·八年级统考期中）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点D，交于点E．的垂直平分线交于点G，交于点F．则的长为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点D，E．(1)若，求的大小；(2)若的平分线和边的垂直平分线相交于点F，过点F作垂直于的延长线于点G，求证：．
模型2：等腰三角形的“三线合一”
定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。
如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC边上的中点，则∠BAD =∠CAD，AD⊥BC， BD=CD。
模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。
例1．（2023上·广西崇左·八年级校联考阶段练习）如图，的垂直平分线为，垂足为点 O，点P在上，则下列结论中， 不一定正确的是（ ）
A．B． C．平分D．
例2．（2023上·湖南衡阳·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，且，则长为（ ）
A．1B．3C．2D．4
例3．（2023·广东梅州·九年级校联考期末）如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则 ．
例4．（2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，在中，D是上一点，，E，F分别是，的中点，，则的长为
例5．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在中，，为的角平分线，过点E作交于点F，若，则的周长为（ ）
A．12B．16C．18D．24
例6．（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）如图，与均为等边三角形，点在边上，，连接．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长．
模型3：“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型
我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”
如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。
模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。
例1．（2023上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知等边，过边上一点P作于点E，点Q为延长线上一点，取，连接，交于M，已知的长为2，则等边三角形的边长为 ．
例2．（2023下·江苏徐州·八年级统考期末）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023上·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若， ，则的长为 ．
例4．（2023下·福建泉州·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，，平分交于点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论∶①；②点是中点；③；④．一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出了下列问题．
(1)探究结论：在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______．
(2)应用结论在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_．
(3)拓展延伸：在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由．
课后专项训练
1．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若，则的长为（ ）
AI
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，中，是边上的中线，M是上的一个动点，作交于N，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．D．
4．（2023·安徽淮北·校考模拟预测）如图，在中，为上一点，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023下·内蒙古通辽·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB、点F是AD的中点，作CE⊥AB垂足E在线段AB上，连接 EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF； ③S△BCE＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2023上·重庆沙坪坝·八年级校考期中）中，，点是边的中点，则的度数为 ．
7．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是 ．
8．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点．，，垂足分别为，．则 ．
9．（2023上·河南·八年级校考期中）如图所示，点在的内部，点，分别是点关于直线，的对称点，线段分别交，于点，，若的周长是20，则线段的长是 ．
10．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在中，的垂直平分线相交于点O，若等于，则 ．
11．（2023·辽宁鞍山·统考三模）在中，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，直线与交于点，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ．
12．（2023·河北·统考模拟预测）如图，点在直线上，点在的同侧，，若，则的长为 ．
13．（2023上·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为 ．
14．（2022下·浙江温州·八年级统考期中）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 ．
15．（2023下·浙江杭州·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，，F是AD的中点，过点C作于点E，连接EF，CF，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填序号）．
16．（2023·江西·八年级校考阶段练习）在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，求的长．（提示：过点作，垂足为．）
17．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）在中，，，点为边上一动点，连接．(1)边上的高的长度为 ；(2)如图1，若点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设运动时间为秒．是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把沿着直线翻折，点的对应点为点，交边于点，当时，求的长度．
18．（2023上·吉林白山·八年级校联考期中）如图，在中，，，平分，D为的中点，且，E为BC延长线上一点，且．
(1)求ME的长；(2)求证：是等腰三角形．
18．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点E是BC边的中点．连接AE，DE，求∠AED的度数．
19．（2024下·成都市·八年级假期作业）如图，在中，E为DC的中点，连接AE并延长，与BC的延长线相交于点F，求证：．
20．（2023·河北·统考一模）如图，已知，，且，，是的中点.（1）请你用直尺（无刻度）作出一条与相等的线段，并利用三角形全等证明该线段与相等；
（2）求的长.
21．（2022下·江西抚州·八年级统考期末）(1)阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，CD之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝CF，从而把AB，AD，CD转化在一个三角形中即可判断：AB，AD，CD之间的等量关系为 ；
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)问题解决：如图③，ABCF，AE与BC交于点E，且点E是BC的中点，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE＝30°，若AB＝6，CF＝2，求CD的值．
22．（2023上·浙江绍兴·八年级统考期中）[方法呈现]
（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是 ．
[探究应用]（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
23．（2023上·湖北宜昌·八年级校联考期中）已知：如图，在中，，于点D，E是上的一动点，点F在直线上，且．
(1)求证：；(2)如图1，求证：；(3)如图2，如果，，当正好平分时，直接写出的长为_____．（用含m的代数式表示）
24．（2023·吉林长春·八年级期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合下图，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：（1）如下图，在中，直线分别是边的垂直平分线，直线交于点，过点作于点．求证：．
（2）如下图，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，则的长为_________．
线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等．
已知：如图，，垂足点为，点是直线的任意一点．
请写出完整的证明过程
求证：．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明．
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