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专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）
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这是一份专题01 双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用），文件包含专题01双中点线段模型与双角平分线角模型原卷版docx、专题01双中点线段模型与双角平分线角模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
模型1. 线段的双中点模型
图1 图2
1）双中点模型（两线段无公共部分）
条件：如图1，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
2）双中点模型（两线段有公共部分）
条件：如图2，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
例1．（2023·广东七年级期中）如图，是的中点，是的中点，若，，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，线段，长度为2的线段在线段上运动，分别取线段、的中点、，则 ．
例3．（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：①，②，③，④．其中正确的等式序号是 ．
例4．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ．
例5．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）直线l上有三点A、B、C，其中，，M、N分别是、的中点则的长是 ．
例6．（2023·河南周口·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，点N是的中点．
(1)若，求的长；(2)若，，求的长；(3)若，求的长．
例7．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点．
(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
例8．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________；
(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立．
例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
模型2. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：.
例1．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
例3．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．
例4．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
例5．（2023·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；(2)若，是平面内两个角，，
，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）
例6．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．
(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________．
(2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）．
例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点是直线上一点，∠是直角，平分∠．
（1）如图1，若∠=40°，求∠的度数；
（2）如图1，若∠=，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠和∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
课后专项训练
1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
4．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（ ）
甲：当点B与点O重合时，；
乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；
丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变
A．甲、乙B．只有乙C．只有丙D．乙、丙
6．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A．B．C．D．
7．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
8．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
9．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角B．图中只有∠DOE是直角
C．图中∠AOC的补角有3个D．图中∠AOE的余角有2个
10．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．
有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号）
12．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)．
13．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ．
14．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）．
15．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 ．
16．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
17．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
18．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒．
(1)若点在线段上运动，当时， ；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
19．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________．
(2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，．
20．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，，分别是，的中点，则______．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则______．
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数．
22．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；
（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数；
（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
23．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知，平分，平分．
(1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．
24．（2023·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点．(1)若 ，则 ；(2)当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若度，度，求．
25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．
（1）如图1，OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ ，∠BOD﹣∠AOC＝ ；
（2）如图2，OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（3）如图3，∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上，将∠AOB绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过程时间记为t秒．若∠MON＝5∠BOC时，求出对应的t值及∠AOD的度数．
27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；（3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值．
模型1. 线段的双中点模型
图1 图2
1）双中点模型（两线段无公共部分）
条件：如图1，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
2）双中点模型（两线段有公共部分）
条件：如图2，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.
例1．（2023·广东七年级期中）如图，是的中点，是的中点，若，，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期末）如图，线段，长度为2的线段在线段上运动，分别取线段、的中点、，则 ．
例3．（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：①，②，③，④．其中正确的等式序号是 ．
例4．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为 ．
例5．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）直线l上有三点A、B、C，其中，，M、N分别是、的中点则的长是 ．
例6．（2023·河南周口·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，点N是的中点．
(1)若，求的长；(2)若，，求的长；(3)若，求的长．
例7．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，点在线段上，，，点、分别是、的中点．
(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
例8．（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________；
(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立．
例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
模型2. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：.
例1．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
例3．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．
例4．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
例5．（2023·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；(2)若，是平面内两个角，，
，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）
例6．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．
(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________．
(2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）．
例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点是直线上一点，∠是直角，平分∠．
（1）如图1，若∠=40°，求∠的度数；
（2）如图1，若∠=，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠和∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
课后专项训练
1．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
4．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（ ）
甲：当点B与点O重合时，；
乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；
丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变
A．甲、乙B．只有乙C．只有丙D．乙、丙
6．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A．B．C．D．
7．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
8．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
9．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角B．图中只有∠DOE是直角
C．图中∠AOC的补角有3个D．图中∠AOE的余角有2个
10．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：
①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．
有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号）
12．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)．
13．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 ．
14．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）．
15．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 ．
16．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
17．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
18．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒．
(1)若点在线段上运动，当时， ；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
19．（2023秋·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________．
(2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，．
20．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，，分别是，的中点，则______．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则______．
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数．
22．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；
（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数；
（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
23．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知，平分，平分．
(1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．
24．（2023·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究
【背景知识】如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点．(1)若 ，则 ；(2)当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若度，度，求．
25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．
（1）如图1，OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ ，∠BOD﹣∠AOC＝ ；
（2）如图2，OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（3）如图3，∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上，将∠AOB绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过程时间记为t秒．若∠MON＝5∠BOC时，求出对应的t值及∠AOD的度数．
27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；（3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值．
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