2025高考数学一轮课时作业第八章平面解析几何专题突破16圆锥曲线综合问题（附解析）

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（1） 求抛物线的方程.
解：是抛物线 上一点，且，所以,解得，即抛物线 的方程为.
（2） 若，为抛物线上异于的两点，且.记点，到直线的距离分别为，，求证：为定值.
证明：由 是抛物线 上一点，代入抛物线方程得，设直线 的方程为，，.
由 消去 得，即，
所以，从而.
因为，得，，所以，即 为定值.
2. [2023年全国甲卷]已知直线与抛物线交于,两点，且.
（1） 求；
解：设,.由 可得，所以,.
所以，所以.
因为，解得.
（2） 设的焦点为，，为上两点，，求面积的最小值.
[答案]
由（1）可知，显然直线 的斜率不可能为零，设直线，,.
由 可得，所以,，.
因为，所以，即，即.
将,代入，得，，所以，且，解得 或.
设点 到直线 的距离为，则，.
所以 的面积.
而 或，所以当 时，的面积最小，且为.
3. [2023年新课标Ⅱ卷]已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为.
（1） 求的方程.
解：设双曲线方程为.
由焦点坐标,可知，则由,可得，则.
所以双曲线 的方程为.
（2） 记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于点.
证明:点在定直线上.
证明：由（1）可得，.
设，.
如图，显然直线 的斜率不为0，所以设直线 的方程为，且.
联立 得，且.
则，.
直线 的方程为，直线 的方程为.
联立直线 与直线 的方程，可得
.
由 可得，即，
所以点 在定直线 上运动.
4. [2021年新课标Ⅱ卷]已知椭圆的方程为，右焦点为，且离心率为.
（1） 求椭圆的方程.
解：由题意，椭圆 的半焦距，且离心率，所以，.所以椭圆 的方程为.
（2） 设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切.证明：，，三点共线的充要条件是.
证明：由（1），得曲线为.
当直线 的斜率不存在时，直线，不合题意.
当直线 的斜率存在时，设,.
必要性：若，，三点共线，可设直线，即.
由直线 与曲线 相切，可得，解得.
联立 可得，所以,.
所以.
所以必要性成立.
充分性：设直线，即.
由直线 与曲线 相切，可得，所以.
联立 可得，所以,.
所以

，
化简得，所以.
所以 或
所以直线 或.
所以直线 过点，即，，三点共线，充分性成立.
所以，，三点共线的充要条件是.