2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何专题突破16圆锥曲线综合问题

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何专题突破16圆锥曲线综合问题，共13页。试卷主要包含了最值问题，定值问题，定点问题，探究与证明问题等内容，欢迎下载使用。

考点一 最值（范围）问题
例1 已知抛物线，过点任作一条直线与相交于，两点，连接并延长，交直线于点.
（1） 证明：轴.
证明：依题意，设直线 的方程为，点，.
则直线 的方程为.
令，可得.
联立 得.
显然，由韦达定理，可得.
所以，所以，从而 轴.
（2） 过抛物线上任一点（原点除外）作的切线，分别与直线，交于，两点，问的面积是否存在最小值？请说明理由.
[答案]
（方法一）设切点.
因为，所以.
则在点 处的切线方程为，
化简得.令，得.
则
因为切点 在抛物线 上，所以.
即，代入 式，得
，当且仅当 时取等号.
故 的面积存在最小值，且为.
（方法二）如图，设直线 与抛物线相交于点，
则.
将 代入，得，所以.
当点 与点 重合时，，从而.
故当点 为切点时，的面积存在最小值，且为.
【点拨】①求与直线或与圆锥曲线有关的某个量的取值范围问题,依据已知条件建立关于该量的函数表达式,转化为求函数值域问题，要正确确定定义域.考查数学建模、数学运算、逻辑推理以及函数与方程、化归与转化的数学思想等.②解析几何中的几何元素（点、直线、曲线）经常处于运动变化中,并且它们在运动变化中又互相联系、互相制约，这在数学上表现为相应变量之间的联系与制约.若问题中已知（或隐含）某变量的范围,则利用变量间的等量关系实现变量之间的相互转化,从而构造关于未知变量的不等式,即可求变量的取值范围或最值.
变式1 [2021年全国乙卷]已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
（1） 求的方程;
解：抛物线 的焦点,，准线方程为.由题意，抛物线焦点到准线的距离为，所以抛物线 的方程为.
（2） 已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.
[答案]
设，又，则，所以.
由 在抛物线上，得，即，所以直线 的斜率.
当 时，.当 时，.
当 时，因为，
此时，当且仅当，即 时，等号成立.当 时，.
综上，直线 斜率的最大值为.
考点二 定值问题
例2 已知椭圆的离心率，点在椭圆上.
（1） 求椭圆的标准方程.
解：设椭圆 的方程为 ，将 代入，得，故椭圆 的标准方程为.
（2） 直线与椭圆交于，两点，点在椭圆上,且.求证：四边形的面积为定值.
证明：由,得四边形 为平行四边形.①若直线 的斜率不存在，要构成平行四边形，直线 的方程必为 或，此时，，.
②若直线 的斜率存在，设直线 的方程为，，.
由 得，，则，.
由，得，即,.代入椭圆 的方程并化简，得.
点 到直线 的距离为，
因为
.
.
综合①②，知四边形 的面积为定值.
【点拨】由特殊到一般法求定值问题的两个常用技巧.
变式2 已知为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1） 求抛物线的方程.
解：设直线,与 联立并消去,得.设，，则，.
因为，
所以


，
解得.所以抛物线 的方程为.
（2） 过点作直线交抛物线于，两点，记，的面积分别为，，证明：为定值.
证明：由（1）知，是抛物线 的焦点，所以.
原点到直线 的距离，
所以.
因为直线 过点 且，所以.所以.即 为定值.
考点三 定点问题
例3 已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.
（1） 求抛物线的方程.
解：因为椭圆 的焦点为，
依题意，，则，所以 的方程为.
（2） 设，，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点.
证明：易知.设直线 的方程为，与抛物线的方程联立,得.由，知 设，，
则，.
由，则，
即，
即，
整理得.
所以，
化简得，
即，
解得 或.
当 时，满足，直线 的方程为，
即为，即直线过定点；
当 时，由 得，直线 的方程为，
即为，即直线过定点，此时与点 重合，故应舍去.
所以直线 过定点.
【点拨】圆锥曲线中定点问题有两种解法.①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点，在直线过定点问题中体现为寻找过定点直线系方程.②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
变式3 已知椭圆的离心率为，直线交于,两点；当时，.
（1） 求的方程.
解：由题意,得，整理得.当 时，，则.
因此，.故 的方程是.
（2） 设在直线上的射影为，证明：直线过定点，并求定点的坐标.
证明：设，，则.
将 代入，得
显然，所以，，
从而.
直线，恒过定点.
故直线 过定点.
考点四 探究与证明问题
例4 已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中.
（1） 求椭圆，抛物线的标准方程.
解：设抛物线，则有.据此验证4个点,知，在抛物线上，易求抛物线 的标准方程为.
设椭圆.
将点，代入,得 解得
所以椭圆 的标准方程为.
（2） 请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同两点，，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
[答案]
（方法一）假设存在这样的直线 过抛物线焦点.设直线 的方程为，两交点坐标为，.
由 消去,得，所以，.
.
由，得，
即.
将①②代入③式，得，解得.
所以存在直线 满足条件，且 的方程为 或.
（方法二）易验证当直线 的斜率不存在时，不满足题意.
当直线 的斜率存在时，假设存在直线 过抛物线焦点.
设其方程为，与椭圆 的交点坐标为，.
由 消去,
得.
于是，.
.
由，得，即.
将①②代入③式，得，解得.
所以存在直线 满足条件，且 的方程为 或.
【点拨】①解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤为：先假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出，然后列出关于待定系数的方程（组）,若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在.②反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.③求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算.若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.
变式4 [2021年八省联考]双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.
（1） 求的离心率.
解：设双曲线的半焦距为，则.当 时,,.因为，所以.故，即，解得.
（2） 若点在第一象限，证明：.
证明:设，其中,.
因为，所以，.则渐近线方程为，所以,，,.
易得，
.
所以


.
因为,，所以.
规范答题——解析几何解答题
【范例】 2023年全国乙卷文第21题理第20题
（12分）
已知椭圆的离心率是,点在上.
（1） 求的方程；
解：由题意可得 解得（3分）（列关于基本量的方程组、解方程组求得基本量.）
所以椭圆 的方程为.（4分）（写出椭圆方程.）
（2） 过点的直线交于,两点,直线,与轴的交点分别为,,证明：线段的中点为定点.
证明：由题意，可知直线 的斜率存在.（5分）（说明直线的斜率是否存在.）
设,,.
由 得（6分）
则,解得.
可得,.（8分）（联立直线与椭圆方程，消参，得 并用韦达定理.）
因为,所以直线.
令,解得,即,.
同理可得,.（10分）（求点,的坐标.）
则

.（11分）（应用韦达定理消元,得定值.）
所以线段 的中点是定点.（12分）（给出结论.）
【一题多解】此题也可设,,与椭圆方程联立后由韦达定理可得（由表示），进而得，.同理得,.由过点得,代入得关于,的方程,化简得.又,从而中点为定点.
【总结提升】圆锥曲线压轴题的解法,考生一般要经历猜想和假设、转化和化归、实验和论证等问题研究的过程.本题取为右顶点,可得定点,再进一步推理.在考场上若时间不允许,按照本题中“踩点”方法得到主体分数，也是一个不错的选择.
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【拆解】
分类
参考赋分
难易
审题要点
考查内容
第一问
4分
较易
本题第（1）问是“送分题”,难度较小,直接列方程组并求解即可.第（2）问虽为定点问题,实质是定值问题,即求线段的中点纵坐标为定值，求出坐标后代入计算化简是基本思路.
在基础性的层次上考查运算求解关键能力，以及椭圆标准方程等必备知识.
第二问
8分
难
在综合性和应用性的层次上考查了逻辑推理、运算求解等关键能力，考查数形结合思想、方程思想以及直线与椭圆的位置关系等必备知识.